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【高考领航】2017届高三数学(理)大一轮复习课件第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4课时


高三大一轮复习学案

主干回顾 考点研析 素能提升

夯基固源 题组冲关 学科培优

课时规范训练

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第4课时

数系的扩充与复数的引入

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1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.会进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的 加、减运算的几何意义.

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1.复数的有关概念
内容 复数的 概念 意义 形如 a+bi(a,b∈R)的数 备注 若 b=0 ,则a+bi为实数,

叫做复数,其中实部为 a, 若 a=0且b≠0 ,则a+bi为 虚部为 b a+bi=c+di? a=c且b=d (a、b、c、d∈R) 纯虚数

复数相等

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a+bi与c+di共轭? ?a=c 共轭复数 ? ? (a,b,c,d∈R) ? d =- b ? 建立平面直角坐标系来表 示复数的平面,叫做复平 复平面 面.x轴叫做 实轴,y轴叫 做虚轴 → 向量 OZ 的模r叫作复数z=a 复数的模 +bi的模

实轴上的点都表示实数;除 了原点外,虚轴上的点都表 示纯虚数 |z|=|a+bi|= a2+b2

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2.复数的几何意义 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 → 是一一对应的关系. 向量OZ

Z(a,b)

与平面

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3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; ; ;

(a-c)+(b-d)i

③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ac+bd bc-ad z1 a+bi ?a+bi??c-di? 2 2+ 2 2i c +d ④除法:z = = = c +d c+di ?c+di??c-di? 2 (c+di≠0).
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(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3∈C, 都有z1+z2=

z2+z1 ,(z +z )+z = 1 2 3

z1+(z2+z3)



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(3)乘法的运算律

z1 (交换律), z1· z2= z2· ( z2 · z3 ) (z1· z2)· z3= z1·
z1(z2+z3)= z1z2+z1z3 (4)正整数指数幂的运算律
m+n z z · z= ,(zm)n= zmn
m n

(结合律), (乘法对加法的分配律.)



n n z2 (z1z2)n= z1·

(m,n∈N+).

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[基础自测] 1.若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)· z=( A.1+3i C.3-i B.3+3i D.3 )

解析:(1+z)· z=(2+i)(1+i)=2+3i+i2=1+3i. 答案:A

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-i 2.(教材改编题)复数 (i是虚数单位)的实部是( 1+2i 1 A.5 1 C.-5i 1 B.-5 2 D.-5

)

-i ?-i?×?1-2i? -i-2 2 1 2 解析: = = =-5-5i,实部为-5. 1+2i ?1+2i??1-2i? 1+4

答案:D

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5+3i 3.i是虚数单位,复数 =( 4-i A.1-i C.1+i

)

B.-1+i D.-1-i

5+3i ?5+3i??4+i? 解析: = =1+i.故选C. 4-i ?4-i??4+i?

答案:C

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4.若|log3m+4i|=5,则实数m=________.
2 解析:由log2 m + 16 = 25 ,∴ log 3 3m=9,

1 ∴log3m=3或-3,∴m=27或27.

1 答案:27或27

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5.已知复数z=m+(m2-1)i(m∈R)满足z<0,则m=______.
2 ? ?m -1=0 解析:∵z<0,∴? ? ?m<0



∴m=-1.
答案:-1

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考点一

复数的有关概念

[例1] (1)(2014· 高考重庆卷)复平面内表示复数i(1-2i)的点 位于( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

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10 (2)设i是虚数单位,若复数a- (a∈R)是纯虚数,则a的值 3-i 为( ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

审题视点 把条件化简,将所求复数写成a+bi,再求解相应 问题.

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解析 (1)i(1-2i)=2+i,在复平面内对应点的坐标为(2,1), 位于第一象限. 10?3+i? 10?3+i? 10 (2)因为a- =a- =a- 10 3-i ?3-i??3+i? =(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,所以a=3.
答案 (1)A (2)D

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处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚 部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数 z=a+bi(a,b∈R),由它的实部与虚部唯一确定,故复数还可用 点Z(a,b)来表示.

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1+z 1.(2015· 高考课标卷Ⅰ)设复数z满足 =i,则|z|=( 1-z A.1 C. 3 B. 2 D.2

)

1+z -1+i ?-1+i??1-i? 2i 解析:由 =i,得z= = = 2 =i,所以 2 1-z 1+i |z|=|i|=1,故选A.
答案:A
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2i 2.(2015· 高考安徽卷)设i是虚数单位,则复数 在复平面 1-i 内所对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

2i?1+i? 2?i-1? 2i 解析: = = 2 =-1+i,由复数的几何 1-i ?1-i??1+i? 意义知-1+i在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象 限,故选B.
答案:B
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考点二 i2+i3+i4 [例2] (1)复数 =( 1-i 1 1 A.-2-2i 1 1 C.2-2i

复数的运算 )

1 1 B.-2+2i 1 1 D.2+2i

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z (2)设复数z的共轭复数为 z ,若z=1-i(i为虚数单位),则 z + z2的值为( A.-3i C.i
审题视点

) B.-2i D.-i
(1)先利用i的性质,再进行除法运算.

z (2)先计算 z 和z2,再进行加法.

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i2+i3+i4 -i 解析 (1) = 1-i 1-i -i?1+i? = 2 1 1 =2-2i.

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z 1+i (2) z =1+i,∴ z = =i 1-i z2=(1-i)2=-2i z ∴ z +z2=i-2i=-i.

答案 (1)C (2)D

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(1)复数的代数运算技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单 位i的看作一类,不含i的看作另一类,分别合并即可,但要注意 把i的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉i的特点及熟 练应用运算技巧.

(2)一般先乘方、再乘除、最后为加减,有括号者可先算括号 里面的.
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(3)几个常用结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速 度. 1+i 1-i ①(1± i) =± 2i; =i; =-i; 1-i 1+i
2

②-b+ai=i(a+bi); ③i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;i4n+i4n+1+i4n+2+ i4n 3=0,n∈N+.


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1.(2015· 高考北京卷)复数i(2-i)=( A.1+2i C.-1+2i B.1-2i D.-1-2i

)

解析:i(2-i)=2i-i2=1+2i. 答案:A

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2 2.(2015· 高考四川卷)设i是虚数单位,则复数i - i =(
3

)

A.-i C.i
3

B.-3i D.3i

2 2 2i 解析:i - i =-i- i =-i- i2 =-i+2i=i.

答案:C

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考点三 复数的几何意义 1-i a [例3] 设a是实数,若复数 + 2 (i为虚数单位)在复平面 1-i 内对应的点在直线x+y=0上,则实数a的值是( A.-1 C.1 B.0 D.2 )

审题视点 把复数化简为a+bi,找出对应点的坐标(a,b).

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1-i a?1+i? 1-i a+1 a-1 a 解析 依题意得, + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 1-i
?a+1 a-1? a+1 ? ? i,其在复平面内对应的点的坐标是 ? ,于是有 2 + , ? 2 ? ? 2

a-1 2 =0,解得a=0,选B.
答案 B

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除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注 意 (1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a; (2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.

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1.虚数(x-2)+yi,其中x、y均为实数,当此虚数的模为1 y 时,x的取值范围是(
? A.? ?- ?

)
? B.? ?- ? ? ? 3 3? ? ? ? ∪ , 0 0 , ? ? 3 3? ? ? ?

3 3? ? , 3 3? ?

C.[- 3, 3]

D.[- 3,0)∪(0, 3 ]

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2 2 ? ??x-2? +y =1, 解析:∵? ? ?y≠0,

y 设k=x,

则k为过圆(x-2)2+y2=1上点及原点的直线的斜率,如图, 设圆(x-2)2+y2=1的圆心过M,过原点作圆M的切线OA,则sin 1 ∠AOM=2.

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π ∴∠AOM=6. π 3 ∴k≤tan6= 3 .又∵y≠0, ∴k≠0.由对称性可知选B.

答案:B

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2.(2016· 湖北省八校联考)已知i是虚数单位,z=1+i, z 为z z2 的共轭复数,则复数 在复平面上对应的点的坐标为________. z 2 z2 ?1+i? 2i 解析:z=1+i,则 = = 1-i 1-i z

2i?1+i? = =-1+i, ?1-i??1+i? z2 则复数 在复平面上对应的点的坐标为(-1,1). z
答案:(-1,1)
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复数的有关概念不明致误 [典例] 2 下面是关于复数z= 的四个命题: -1+i

p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚 部为-1,其中的真命题为( A.p2,p3 C.p2,p4
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) B.p1,p2 D.p3,p4

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解题指南 利用复数的有关概念及复数运算求解.
解析 2 ∵z= =-1-i, -1+i

∴|z|= ?-1?2+?-1?2= 2.∴p1是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i, ∴p2是真命题;

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∵ z =-1+i, ∴p3是假命题; ∵z的虚部为-1,∴p4是真命题. 其中的真命题共有2个:p2,p4.

答案 C

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易错分析 易错警示 复数的有关概念及复数的运算法则掌握不透彻. (1)对复数的除法,乘方法则掌握不清,不会运算.

(2)不会求共轭,导致p3无法判断. 备考建议 解决复数的综合问题在备考时要高度关注:

(1)掌握好复数的有关概念、复数的运算法则,是解答该类题的关 键. (2)对于复数综合题只要明确复数在其中的作用即可.

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◆一条规律 对于两个复数,若不全是实数,则不能比较大小,在复数集 里一般没有大小之分,但却有相等与不等之分.

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◆两个策略 (1)证明复数是实数的策略: ①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R); ②z+ z =2a∈R; ③z= z ?z∈R.

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(2)证明复数是纯虚数的策略: ①z=a+bi为纯虚数?a=0,b≠0(a,b∈R); ②b≠0时,z- z =2bi为纯虚数; ③z是纯虚数?z+ z =0且z≠0.

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