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句容市第三中学2015届高三数学上学期 三角函数与解三角形 15正弦定理与余弦定理(3)教学案(无答案)


正弦定理与余弦定理(3)
【教学目标】正、余弦定理进行边角关系相互转化,初步掌握与三角函数等方面的综合应用和联系. 【教学重点】正弦定理,余弦定理解任意三角形的方法. 【教学难点】三角公式解决与边角相关的数学问题. 【教学过程】 一、知识梳理: 1.由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断. 2.在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. 3.把握三角形中的边角关系: 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大, 即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 4.选用正弦定理或余弦定理的原则 如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边 的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 二、基础自测: 1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a cos A ? b sin B , 则 sin A cos A ? cos 2 B ? .

2.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若( 3b-c) cosA=acosC,则 cosA=_______. 3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 sin A ? sin C ? sin A ? sin C ? sin B ,
2 2 2

则角 B ?



三、典型例题: 例 1.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a,b,c. (1)若 sin( A ?

?

6

) ? 2 cos A ,求 A 的值;

(2)若 cos A ?

1 , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

例 2.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc.

反思:

(1)求角 A ;

(2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值.

【变式拓展】在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

例 3.在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 (1)求角 A 的大小; (2)若

b2 ? a 2 ? c 2 cos( A ? C ) ? . ac sin A cos A

sin B ? 2 ,求角 C 的取值范围. cos C

2

【变式拓展】在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 2b ? a ? c , 求角 B 的取值范围.

四、课堂反馈: 1.已知△ABC 中, a ? c ? 2 ,A=30°,则 b ?
0

. .

2.若△ABC 的周长等于 20,面积为 10 3 , A ? 60 ,则 BC 边的长是

3. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 若 a2 ? b2 ? 3bc,sin C ? 2 3sin B , 则 A ? ________. 4.在△ABC 中,若 9cos 2A-4cos 2B=5,则 的值为________.

BC AC

五、课后作业: 1.在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ? 7 ,则 c ?
2 2 2

学生姓名:___________ . .

2.在 ?ABC 中,已知 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ? 0 ,则 ? A 的大小为 3.已知△ABC 中, a , b, c 分别是角 A,B,C 的对边, a ? 2 ,A = 45°,B = 60°, 那么△ABC 的面积 S ?ABC ?
2 2

.
2

4.在△ABC 中,若 sin A+sin B-sinAsinB=sin C,且满足 ab=4,则该三角形的面积为________. 5.在△ABC 中, a cos
2

C A 3 ? c cos 2 ? b 且△ABC 的面积 S ? a sin C ,则 a ? c 的值为_______. 2 2 2


6.在锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边分别为 a , b ,若 2a sin B ? 3b ,则角 A 等于

3 7.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,如果 2b=a+c,∠B=30°,△ABC 的面积为 ,那 2 么 b=________.

8.在△ABC 中,BC=1,B=

π ,当△ABC 的面积等于 3时,tan C=________. 3

9.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是_________三角形. 10.已知在△ABC 中, sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) . π (1)若 B ? ,求 A ; (2)若 tan A ? 2 ,求 tan B 的值. 6

11.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求

sin C 的值; sin A

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b 1 (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 4

12.如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该 曲线段为函数 y=Asin ω x(A>0,ω >0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3);赛道 的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°. (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

4


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