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2014年高考理科数学总复习试卷第34卷题目及其答案


2014 年高考理科数学总复习试卷第 34 卷题目及其答 案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1、设集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R? , B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R?.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取 值范围是( )

A、 ?a | 0 ? a ? 6? B、 a | a ? 2, 或a ? 4 2、已知关于 x 的二项式 ( x ?

?

?

C、 a | a ? 0, 或a ? 6

?

?

D、 ?a | 2 ? a ? 4?

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之和为 32, 常数项为 80,

则 a 的值为( ) A、1 B、 ? 1 C、2 D、 ? 2 3、如图,设 D 是图中边长分别为 2 和 4 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y=x2 图象下方的区域(阴影部分),向 D 内随机抛掷 30 个点,则落在 E 内 的点的个数约为( ) A、15 B、20 C、5 D、10 2 4、已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 1 平行,若数列 { ) } 的前 n 项和为 Sn,则 S2009 的值为( f (n) A、
2007 2008

B、

2009 2010

C、

2008 2009

D、

2010 2011

?x ? 2 ? 且目标函数z ? 3 x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值 5、已知 x, y满足? x ? y ? 4, ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?
A、10 B、12 C、14 D、15 6、一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回, 当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为( ) A.

5 81

B.

14 81

C.

22 81

D.

25 81

7、定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,且 f( 则满足 f( log 1 x )<0 的集合为(
4

1 )=0, 2

) B、 (

A、 (-∞, C、 (

1 )∪(2,+∞) 2

1 ,1)∪(2,+∞) 2

1 ,1)∪(1,2) 2 1 D、 (0, )∪(2,+∞) 2

8、为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个 彩灯彩只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯闪亮的颜色各不相同。 记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯 闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 妙。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的 时间至少是( )
1

A、 1205 秒 B、1200 秒 C、1195 秒 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

D、1190 秒

9、已知 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? a, (a 为常数)在 [?2,2] 上有最小值 3,那么 f ( x) 在 [?2,2] 上 的最大值为_________. 10、已知 X ~ N (?1, ? 2 ),若P(?3 ? X ? ?1) ? 0.4, 则P(?3 ? x ? 1) ? 11、按下图所示的程序框图运算:若输出 k=2,则输入 x 的取值范围是 . .

12、 观察下列等式:

(1 ? x ? x 2 )1 ? 1 ? x ? x 2 , (1 ? x ? x2 )2 ? 1 ? 2 x ? 3x2 ? 2 x3 ? x4 , (1 ? x ? x2 )3 ? 1 ? 3x ? 6x2 ? 7 x3 ? 6x4 ? 3x5 ? x6 ,

(1 ? x ? x2 )4 ? 1 ? 4 x ? 10 x2 ? 16 x3 ? 19 x4 ? 16 x5 ? 10 x6 ? 4 x7 ? x8 ,
由以上等式推测:对于 n ? N ? ,若 (1 ? x ? x2 )n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ?

? a2 n x2 n 则 a2 ?

.

13、在△ABC 中有如下结论:“若点 M 为△ABC 的重心,则 MA + MB + MC =0”,设 a,b,

c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,点 M 为△ABC 的重心.如果 a MA +b MB +
0,则内角 A 的大小为 ; a=3,则△ABC 的面积为 14、给出下列四个命题: ①命题“ ?x ? R, x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 0 ” ;
2 2

3 c MC = 3

.

②线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1,表明两个随机变量线性相关性越强; ③若 a,b ? ?0,1?, 则不等式 a 2 ? b 2 ? 1 成立的概率是 ? ; 4 4 ④函数 y ? log2 ( x ? ax ? 2) 在 ?2, ? ?? 上恒为正,则实数 a 的取值范围是 ? ? ?, ? ,其
2

? ?

5? 2?

中真命题的序号是 。 (请填上所有真命题的序号) 三、解答题 (共 6 小题,80 分,须写出必要的解答过程) 15、 (本题12分)已知向量 a ? (cos x,sin x), b ? (? cos x,cos x), c ? (?1,0). (1)若 x ?

?
6

,求向量 a 与 c 的夹角;

(2)当 x ? [

? 9?
2 , 8

] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1的最大值。

2

(3)设 f (x) ?2a ?b ?1 ,将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

π 个单位后,再将得到的图 6

象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 求 y ? g ( x) 的单调递减区间

16、 (14 分)为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验, 将这 200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。 (Ⅰ)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只,求甲、乙分在不同组的概率; (Ⅱ)下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2)

(ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(ⅱ)完成下面 2×2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积 与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

3

17、 (12 分)沪杭高速公路全长 166 千米,假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不 低于 60 千米/时且不高于 120 千米/时的速度匀速行驶到杭州。已知该汽车每小时的运输成 本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正 比,比例系数为 0.02;固定部分为 200 元。 (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米/时)的函数,并指出函数的定义域; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本为多少元?

18、 (14 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的 正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点。 (1)求证: B1C // 平面 A1 BD ; (2)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (3)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值.

19、 (14 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? 2an ?1(n ? 1) (1)设 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,3 (2)求数列 {an } 的通项公式

) ,求证:数列 {bn } 是等比数列;

1 2n (3)设 cn ? ,求证:数列 {cn } 的前 n 项和 S n ? . 3 an ? an ?1

4

20、 (14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? lnx . 2

(1)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程

1 g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有 e x

两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

5

参考答案

16、解: (Ⅰ)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为

P?
(Ⅱ) (i)

99 2C198 100 ? 100 C200 199

??4 分

图Ⅰ注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频 率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间, 而注射药物 B 后的疱疹面积的 中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的 中位数。 ??8 分 (ii)表 3:

6

K2 ?

200 ? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 ? 24.56 100 ?100 ?105 ? 95

由于 K2>10.828, 所以有 99.9%的把握认为 “注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱 疹面积有差异” 。

设 n 与 AA1 所成角为 ? , 则 cos? ?

n ? AA1 n ? AA1

?

1 , 2

?? ?

?
3

? 二面角 A1 ? BD ? A 的大小是

? 3

(3)由已知,得 AB1 =(-1, 3 , 3 ) ,n=( ? 3 ,0,1)
7

则 cos? ?

AB1 ? n AB1 n

?

21 7

? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为 21 7

(2)把方程

g ( x) lnx ? f ?( x) ? (2a ? 1) 整理为 ? ax ? 2 ? (2a ? 1) , x x

2 2 即为方程 ax ? (1 ? 2a) x ? lnx ? 0 . 设 H ( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? lnx ( x ? 0) ,

原方程在区间 ( ,e ) 内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数 H ( x ) 在区间 ( ,e ) 内有且只有两个零点.H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ?

1 e

1 e

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x x
1 (舍) 2a


令 H ?( x) ? 0 ,因为 a ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ? 当 x ? (0,1) 时, H ?( x) ? 0 ,

H ( x ) 是减函数;

x ? (1, ??)



,

H ?( x) ? 0 , H ( x ) 是增函数.
1 H ( x ) 在( , e )内有且只有两个不相等的零点, 只需 e

8

? 1 ? H ( e ) ? 0, ? ? H ( x) min ? 0, ? H (e) ? 0, ? ?

?

1? a ?

e2 ? e 2e ? 1

????????14 分

P( X ?2)? P( BC D)?P( BC D)?P( BC D) ?P( B) P(C) P( D)?P( B) P(C) P( D)?P( B) P(C) P( D)

1 3 1 1 5 1 3 3 1 17 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 8 2 4 8 2 4 8 2 64
3 . ?? 10 分 P ( X ?3) ? P 1? 64

故 X 的分布列是

X P

0

1
29 64

2
17 64

3

15 64

3 64

X 的数学期望 EX ? 0 ? 15 ? 1 ? 29 ? 2 ? 17 ? 3 ? 3 ? 9 . ?? 12 分 64 64 64 64 8

9

参 考 数 据 : x ? 77.5 , y ? 84.875 ,

? ( xi ? x) 2 ? 1050 ,
i ?1

8

? ( xi ? x)( yi ? y) ? 688 ,
i ?1

8

1050 ? 32.4 , 457 ? 21.4 , 550 ? 23.5 )
25

解: (1)抽取男生数 40
5 3

?8 ? 5

15

人, 40

?8 ? 3

??????????1 分

则共有 C 25 C15 个不同样本??????????3 分

10

11


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