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2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(6)函数的奇偶性及其性质的综合应用B)


课时作业(六)B

[第 6 讲 函数的奇偶性及其性质的综合应用] [时间:35 分钟 分值:80 分]

基础热身 1.[2011· 湖北卷] 若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x) =( ) 1 - - A.ex-e x B. (ex+e x) 2 1 - 1 - C. (e x-ex) D. (ex-e x) 2 2 2.函数 f(x)=x3+sinx+1 的图象( ) A.关于点(1,0)对称 B.关于点(0,1)对称 C.关于点(-1,0)对称 D.关于点(0,-1)对称 3.[2011· 陕西卷] 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图象 可能是( )

图 K6-1 - 4. [2010· 江苏卷] 设函数 f(x)=x(e +ae x)(x∈R)是偶函数, 则实数 a 的值为________. 能力提升 5. 函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数, 函数 y=f(x+2)是偶函数, 则下列结论正确的是( ) 5? ?7? A.f(1)<f? ?2?<f?2? 7? ?5? B.f? ?2?<f(1)<f?2? 7? ?5? C.f? ?2?<f?2?<f(1) 5? ?7? D.f? < f (1)< f ?2? ?2? 6.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 7.[2011· 大连模拟] 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 g(x)=f(x-1),则 f(2009)+f(2011)的值为( ) A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 x2+1 8.关于函数 f(x)=lg (x∈R,x≠0),有下列命题: |x| ①函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称; ②在区间(-∞,0)上,f(x)是减函数; ③函数 y=f(x)的最小值是 lg2; ④在区间(-∞,0)上,f(x)是增函数. 其中正确的是( ) A.①② B.②④ C.①③ D.③ 9.偶函数 f(x)(x∈R)满足:f(-4)=f(1)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递 增,则不等式 xf(x)<0 的解集为________. 10.设 a 为常数,f(x)=x2-4x+3,若函数 f(x+a)为偶函数,则 a=________;f[f(a)] =________.
x

11.[2011· 合肥模拟] 设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=f? 的所有 x 之和为________.

?x+1? ? ?x+4?

ax2+1 12.(13 分)设函数 f(x)= 是奇函数(a,b,c 都是整数),且 f(1)=2,f(2)<3,f(x) bx+c 在(1,+∞)上单调递增. (1)求 a,b,c 的值; (2)当 x<0 时,f(x)的单调性如何?证明你的结论. 难点突破 13.(12 分)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x)满足:①?x,y∈(-∞,0) ∪(0,+∞),f(x· y)=f(x)+f(y);②当 x>1 时,f(x)>0,且 f(2)=1. (1)试判断函数 f(x)的奇偶性; (2)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (3)求函数 f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值; (4)求不等式 f(3x-2)+f(x)≥4 的解集.

课时作业(六)B 【基础热身】 1.D [解析] 因为函数 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x) - ex-e x - =e x.又因为 f(x)+g(x)=ex,所以 g(x)= . 2 2. B [解析] 令 g(x)=f(x)-1=x3+sinx, 则 g(x)为奇函数, 所以 g(x)的图象关于原点(0,0) 对称,当 x=0 时,有 f(0)-1=0,此时 f(0)=1,所以对称中心为(0,1). 3.B [解析] 由 f(-x)=f(x)可知函数为偶函数,其图象关于 y 轴对称,可以结合选项 排除 A、C,再利用 f(x+2)=f(x),可知函数为周期函数,且 T=2,必满足 f(4)=f(2),排除 D,故只能选 B. - 4.-1 [解析] 设 g(x)=x,h(x)=ex+ae x,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知, -x x 函数 h(x)=e +ae 为奇函数.又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=-1. 【能力提升】 5.B [解析] 因为 y=f(x+2)是偶函数,所以 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,∴f(1) 7? ?5?. =f(3).又 f(x)在(0,2)上为增函数,∴f(x)在(2,4)上为减函数,∴f? < f (1)< f 2 ? ? ?2? x 6.B [解析] ∵f(x)=2 -4(x≥0),∴令 f(x)>0,得 x>2.又 f(x)为偶函数且 f(x-2)>0, ∴f(|x-2|)>0,∴|x-2|>2,解得 x>4 或 x<0,∴{x|x<0 或 x>4}. 7.C [解析] 由题意得 g(-x)=f(-x-1),又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是 定义在 R 上的奇函数,所以 g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=- f(x+2),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的周期为 4, ∴f(2009)=f(1),f(2011)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2009)+f(2011)=0. 8.C [解析] 由函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且 f(-x)=f(x),所以 f(x) x2+1 1? 为偶函数.当 x>0 时,f(x)=lg =lg? ?x+x?≥lg2,函数 f(x)在(-∞,-1),(0,1)上为 x 减函数,在(-1,0),(1,+∞)上为增函数.故①③正确. 9. (-∞, -4)∪(-1,0)∪(1,4) [解析] 通过 f(x)(x∈R)图象的草图(图略)得知函数 f(x)(x ∈R)在(-∞,-4),(-1,1),(4,+∞)上都为正,在(-4,-1),(1,4)上为负,故不等式 xf(x)<0 的解集为(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4). 10.2 8 [解析] 由题意得 f(x+a)=(x+a)2-4(x+a)+3=x2+(2a-4)x+a2-4a+3, 因为 f(x+a)为偶函数,所以 2a-4=0,a=2.f[f(a)]=f[f(2)]=f(-1)=8. ?x+1?, 11.-8 [解析] ∵f(x)是偶函数,f(2x)=f? ? ?x+4? ??x+1??, ∴f(|2x|)=f?? ?? ??x+4?? 又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数, ?x+1?, ∴|2x|=? ? ?x+4? x+1 x+1 即 2x= 或 2x=- , x+4 x+4 2 整理得 2x +7x-1=0 或 2x2+9x+1=0, 设方程 2x2+7x-1=0 的两根为 x1,x2,方程 2x2+9x+1=0 的两根为 x3,x4. 9 7 - ?=-8. 则(x1+x2)+(x3+x4)=- +? 2 ? 2? a+1 4a+1 12.[解答] (1)由 f(1)=2,得 =2,由 f(2)<3,得 <3.∵函数 f(x)是奇函数,∴函 b+c 2b+c ? c ? x∈R且x≠- ?, 数 f(x)的定义域关于原点对称.又函数 f(x)的定义域为?x? b ? ? ? a+1 4a+1 8b-3 c ax 1 3 则- =0,∴c=0,于是得 f(x)= + ,且 =2, <3,∴ <3,即 0<b< . b b bx b 2b 2b 2

又 b∈Z,∴b=1,则 a=1. a=1,b=1,c=0 符合 f(x)在(1,+∞)上单调递增. 1 (2)由(1)知 f(x)=x+ .已知函数 f(x)是奇函数,且在(1,+∞)上单调递增,根据奇函数的 x 对称性,可知 f(x)在(-∞,-1)上单调递增; 以下讨论 f(x)在区间[-1,0)上的单调性. ?1- 1 ?,显然 x1-x2<0,0<x1x2<1,1- 1 <0, 当-1≤x1<x2<0 时,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)· ? x1x2? x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0, ∴函数 f(x)在[-1,0)上为减函数. 综上所述,函数 f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在[-1,0)上是减函数. 【难点突破】 13.[解答] (1)令 x=y=1,则 f(1×1)=f(1)+f(1),得 f(1)=0;再令 x=y=-1,则 f[(- 1)· (-1)]=f(-1)+f(-1), 得 f(-1)=0.对于条件 f(x· y)=f(x)+f(y), 令 y=-1, 则 f(-x)=f(x) +f(-1),所以 f(-x)=f(x).又函数 f(x)的定义域关于原点对称,所以函数 f(x)为偶函数. x2? x2 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则有 >1.又∵当 x>1 时,f(x)>0,∴f? ?x1?>0.又 f(x2) x1 x2 x2 x1· ?=f(x1)+f? ?>f(x1),∴函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数. =f? x ? 1? ?x1? (3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又 f(2)=1,∴f(4)=2.又由(1)(2)知函数 f(x)在区间[-4,0) ∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数,∴函数 f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值为 f(4) =f(-4)=2. (4)∵f(3x-2)+f(x)=f[x(3x-2)],4=2+2=f(4)+f(4)=f(16),∴原不等式等价于 f[x(3x -2)]≥f(16).又函数 f(x)为偶函数,且函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴原不等式又等价 8 于|x(3x-2)|≥16,即 x(3x-2)≥16 或 x(3x-2)≤-16,解得 x≤-2 或 x≥ ,∴不等式 f(3x 3 ? ? 8 ? -2)+f(x)≥4 的解集为?x?x≤-2或x≥3 ?. ? ?


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