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运筹学实验


实验二用 MATLAB 解决动态规划问题
问题:有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下 6 箱货物, 如果各零售店 出售该货物所得利润如下表所示,试求在各零售店卸下几箱货物,能使获得总利 润最大?其值为多少?

零售店 箱数 0 1 2 3 4 5 6 1 0 4 6 7 7 7 7 2 0 2 4 6 8 9 10 3 0 3 5 7 8 8 8 4 0 4 5 6 6 6 6

解: 1)将问题按售货店分为四个阶段 2)设 sk 表示为分配给第 k 个售货店到第 n 个工厂的货物数, xk 设为决策变量,表示为分配给第 k 个售货店的货物数, 状态转移方程为 sk+1=sk-xk。 Pk(xk)表示为 xk 箱货物分到第 k 个售货店所得的盈利值。 fk(sk)表示为 sk 箱货物分配给第 k 个售货店到第 n 个售货店的最大盈利值。 3)递推关系式: fk(sk)=max[ Pk(xk)+ fk+1(sk-xk) ] k=4,3,2,1 边界条件:f5(s5)=0 4)从最后一个阶段开始向前逆推计算。 第四阶段: 设将 s4 箱货物(s4=0,1,2,3,4,5,6)全部分配给 4 售货店时,最大盈利值为:f4(s4) =max[P4(x4)] 其中 x4=s4=0,1,2,3,4,5,6x4*表示使得 f4(s4)为最大值时的最优决策。 x4 s4 P4(x4)

0 0

1 4

2

3

4

5

6

f4(s4)

x4*

0 1 2 3 4 5

5 6 6 6

0 4 5 6 6 6

0 1 2 3 4 5

6

6

6

6

第三阶段: 设将 s3 箱货物(s3=0,1,2,3,4,5,6)分配给 3 售货店和 4 售货店时,对每一个 s3 值, 都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:f3(s3)=max[ P3(x3)+ f4(s3-x3) ] ,x3 =0,1,2,3,4,5,6 x3 s3 P3(x3)+f4(s3-x3)

0 0+0 0+4 0+5 0+6 0+6 0+6 0+6

1 3+0 3+4 3+5 3+6 3+6 3+6

2

3

4

5

6

f3(s3)

x3*

0 1 2 3 4 5 6

5+0 5+4 5+5 5+6 5+6

7+0 7+4 7+5 7+6

8+0 8+4 8+5

8+0 8+4

8+0

0 4 7 9 11 12 13

0 0 1 2 3 3/4 3/4

第二阶段: 设将 s2 箱货物(s2=0,1,2,3,4,5,6)分配给 2 售货店、3 售货店和 4 售货店时,则最 大盈利值为:f2(s2)=max[ P2(x2)+ f3(s2-x2) ] 其中,x2=0,1,2,3,4,5,6 x2 s2 P2(x2)+f3(s2-x2)

0 0+0 0+4 0+7 0+9 0+11 0+12 0+13

1 2+0 2+4 2+7 2+9 2+11 2+12

2

3

4

5

6

f2(s2)

x2*

0 1 2 3 4 5 6

4+0 4+4 4+7 4+9 4+11

6+0 6+4 6+7 6+9

8+0 8+4 8+7

9+0 9+4

0 4 7 9 11 13 10+0 15

0 0 0 0/1 0/1/2 1/2/3 2/3/4

第一阶段: 设将 s2 箱货物(s1=0,1,2,3,4,5,6)分配给 1 售货店、2 售货店、3 售货店和 4 售货 店时,则最大盈利值为:f1(s1)=max[ P1(x1)+ f2(s1-x1) ] 其中,x1=0,1,2,3,4,5,6 x1 s1 P1(x1)+f2(s1-x1)

0 0+0 0+4 0+7 0+9 0+11 0+13 0+15

1 4+0 4+4 4+7 4+9 4+11 4+13

2

3

4

5

6

f1(s1)

x1*

0 1 2 3 4 5 6

6+0 6+4 6+7 6+9 6+11

7+0 7+4 7+7 7+9

7+0 7+4 7+7

7+0 7+4

7+0

0 4 8 11 13 15 17

0 0/1 1 1 1/2 1/2 1/2

按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有 6 个:

1) x1*=1,x2*=1,x3*=3,x4*=1。 2) x1*=1,x2*=2,x3*=2,x4*=1。 3) x1*=1,x2*=3,x3*=1,x4*=1。 4) x1*=2,x2*=0,x3*=3,x4*=1。 5) x1*=2,x2*=1,x3*=2,x4*=1。 6) x1*=2,x2*=2,x3*=1,x4*=1。 以上 6 种最优方案的总利润均为 17。 使用 Matlab 解决上面的问题: 在 matlab 命令窗口输入下面的程序:

图 1 程序及其运行结果-1

图 2 程序及其运行结果-2

图 3 程序及其运行结果-3

m=1; A=[0 4 6 7 7 7 7]; B=[0 2 4 6 8 9 10]; C=[0 3 5 7 8 8 8]; D=[0 4 5 6 6 6 6]; for a=1:7 for b=1:7 for c=1:7 for e=1:7 if a+b+c+e==10 d(m)=A(a)+B(b)+C(c)+D(e); E(m,1)=a; E(m,2)=b; E(m,3)=c; E(m,4)=e;

m=m+1; else continue; end end end end end MAXNum=d(1); for l=1:size(d,2) if d(l)>MAXNum MAXNum=d(l); p=l; else continue; end end for l=1:size(d,2) if d(l)==MAXNum E(l,:)-1 else continue; end end MAXNum 按回车后可以得到以下的结果: ans = 1 1 3 1 ans = 1 2 2 1 ans = 1 3 1 1 ans = 2 0 3 1 ans = 2 1 2 1 ans = 2 2 1 1 MAXNum = 17 由运行结果可知最优方案有 6 个: 1) x1*=1,x2*=1,x3*=3,x4*=1。 2) x1*=1,x2*=2,x3*=2,x4*=1。 3) x1*=1,x2*=3,x3*=1,x4*=1。

4) x1*=2,x2*=0,x3*=3,x4*=1。 5) x1*=2,x2*=1,x3*=2,x4*=1。 6) x1*=2,x2*=2,x3*=1,x4*=1。 最大总利润为 17。 这与之前的计算结果一致。


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