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专题15 以解析几何中与圆相关的综合问题为解答题 2018届高考数学百日冲刺讲义

专题 15 以解析几何中与圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及 与其它知识之间的综合,圆不会单独出大题,一般是结合椭圆、抛物线一起考查,预计在 15 年高考中解答 题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设 置了两个问,第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要 涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题 时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了 解析几何与其他数学知识的密切联系 .这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题 目,从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想. 类型一 以圆的切线为背景的相关问题 典例 1 如图,已知 M(x0,y0)是椭圆 C: 两条切线,分别交椭圆于点 P,Q. 上的任一点,从原点 O 向圆 M:(x-x0) +(y-y0) =2 作 2 2 (1)若直线 OP,OQ 的斜率存在,并记为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (2)试问|OP| +|OQ| 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由. 【解析】 2 2 (1)证明:因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x 与圆 M 相切,所以 化简得: ,同理: , ,所以 k1,k2 是方程(x -2)k - 2 2x0y0k+y -2=0 的两个不相等的实数根, 所以 , 因为点 M(x0, y0)在椭圆 C 上, 所以 , 即 ,所以 为定值. 【名师指点】圆的切线的应用,往往从两个方面进行考查,一是设切线方程,利用圆心到切线的距离等于 半径列方程求解;二是结合切线长定理与勾股定理求解. 【举一反三】已知椭圆 C : x ? 2 y ? 4 . 2 2 (1)求椭圆 C 的离心率; 2 2 (2) 设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y ? 2 上, 且 OA ? OB , 试判断直线 AB 与圆 x ? y ? 2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 ? ?1, 【解析】 (1)由题意椭圆 C 的标准方程为 4 2 所以 a ? 4 , b ? 2 ,从而 c ? a ? b ? 4 ? 2 ? 2 , 2 2 2 2 2 所以 e ? c 2 ? . a 2 2 2 (2)直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切,证明如下: 设点 A( x0 , y0 ) , B(t ,2) ,其中 x0 ? 0 , 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ? 2 y0 , x0 当 x0 ? t 时, y0 ? ? 2 t2 ,代入椭圆 C 的方程得 t ? ? 2 , 2 2 此时直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切. 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? y0 ? 2 (x ? t) , x0 ? t 即 ( y0 ? 2) x ? ( x0 ? t ) y ? 2x0 ? ty0 ? 0 , 圆心到直线 AB 的距离为 d ? 2 2 y0 | x0 | 2 x0 ? ty0 | ( y0 ? 2) 2 ? ( x0 ? t ) 2 2 2 ,又 x0 ? 2 y0 ? 4,t ? ? 2 y0 , x0 | 2 x0 ? 故d ? | ? 2 4 ? x0 | x0 4 y2 2 2 x0 ? y0 ? 20 x0 2 4 2 x0 ? 8 x0 ? 16 2 2 x0 ? 2. 故此直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切. 2 类型二 与圆有关的面积问题 典例 2 已知圆 M 过 C (1, ?1) , D(?1,1) 两点,且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设点 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面 积的最小值. 【答案】 (1)圆 M 的方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4 ; (2)四边形 PAMB 面积的最小值为 2 5 . 2 2 【解析】 (1)设圆 M 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0) , 2 2 2 ?(1 ? a) 2 ? (?1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(?1 ? a) ? (1 ? b) ? r ? a?b?2 ? 0 根据题意得: ? , 解得: a ? b ? 1, r ? 2 ,故所求圆 M 的方程为: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4 . 2 2 (2)由题知,四边形 PAMB 的面积为 S ? S ?PAM ? S ?PBM ? 又 | AM |?| BM |? 2 , | PA |?| PB | , 所以 S ? 2 | PA | , 1 (| AM || PA | ? | BM || PB |) , 2 而 | PA |2 ?| PM |2 ? | AM |2 ?| PM |2 ?4 ,即 S ? 2 | PM |2 ?4 . 因此要求 S 的最小值,只需求 | PM | 的最小值即可,即在直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上找一点 P,使得 | PM | 的值 最小,所以 | PM |min ? 3 , 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 2 | PM |2 ?4 ? 2 5 . 【名师指点】对于平面图形的面积问题,可以直接表示或者可以利用割补的办法,以及弦长公式等,将面 积科学有效表示,其中通过设直线和曲线的交点,利用韦达定理是解决该种

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