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福建省晋江市季延中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试卷 理 新人教A版


福建省晋江市季延中学 2013-2014 学年高二数学上学期期末考试试 卷 理 新人教 A 版

考试时间:120 分钟

满分:150 分

一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题) 1.抛物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程是 ( 8
B. y ? 2

) C. y ?

1 32

1 32

D. y ? ?2 )

2.已知集合 A ? ?1, a? , B ? ?1,2,3? ,则“ a ? 3 ”是“ A ? B ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知两点 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹 方程是( A. ) B.

x2 y 2 ? ?1 16 9

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

4.若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是( A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形



5.曲线 y ? cos x, x ? [0, ? ] 与坐标轴围成的面积是( A.4 B.2 C.

3 2

) D.3

6. 若平面 ? 的法向量为 n1 ? (3, 2,1) ,平面 ? 的法向量为 n2 ? (?2,0,1) ,则平面 ? 与 ? 夹 角(锐角)的余弦是( A. )

?

5 2

70 14

B.

70 10

C. ?

70 14


D. -

70 10

7.直线 y ? 2 x 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 截得的弦长是( 8 4

1

A.

4 10 3

B.

4 10 9

C.

2 10 3

D.

16 9

8.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 ( A.1 B. 2 C.2 D .2 2 )



9.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f / ( x) ? 0 ,则必有( A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

10.设函数 f ( x ) 的定义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x ) 的极大值点,以下结论一定正确的是 ( ) B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题)

11.命题“ ?x ? R , x ? ax ? 1 ? 0 ”为真命题,则 a 的取值范围为
2

12.双曲线

x2 y2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为 a2 b2
2

13.抛物线 y ? 12 x 上一点 M 到焦点的距离是 9 ,则点 M 的横坐标是 14.已知函数 f ( x) ? e ? mx在 (0,??) 单调递增,则实数 m 的取值范围为
x

15.已知 x ? 0 ,观察下列两个不等式:

x?

1 1 4 x x 4 x x 4 ? 2 x ? ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3? 3 ? ? 2 ? 3。 x x 2 2 x 2 2 x x
a ? n ? 1(n ? N * ) ,则实数 a = n x

问:若 x ?

2

三、解答题(共6小题,总分75分。解答必须写出解答过程和步骤。 )
2 16. (满分 12 分)已知命题 p : “直线 y ? x ? 2 与椭圆 x ?

y2 ? 1(a ? 0且a ? 1) 有公 a

共点” ,命题 q : “有且只有一个实数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ” 。 若命题“p 或 q”
2

是假命题,求实数 a 的取值范围。

17.(满分 12 分)已知向量 a ? ( x 2 , x ? 1),b ? (1 ? x,1) ,函数 f ( x) ? a ? b 。 (1)求 f ( x) 在 x ? [0,2] 的值域; (2)若 f ( x) ? t ? 0 至少有两个实数解,求的取值范围。

E 18.(满分 13 分)如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 2 ,点
在棱 AD 上移动. (1)证明: D1E ? A 1D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)是否存在点 E,使得二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 在,说明理由。

? ?若存在,求 AE 长度;若不存 4

3

19.(满分12分)若数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 (n ? N * ) ,记 (n ? 1) 2

f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) 。
(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)猜测 f ( n) 的表达式,并证明。

20.(满分 12 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点。 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线的斜率 k 的取值范围。

???? ???? ?

21.(满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? a ? x ?

? ?

1? ? ? ln x, x ? R . x?

⑴ 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; ⑵ 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间;

?

?

4

⑶ 设函数 g ? x ? ? ? 的取值范围。

a . 若至少存在一个 x0 ??1, ??? , 使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立, 求实数 a x

5

福建省晋江市季延中学 2013-2014 学年高二上学期期末考试数学(理)试题答案

18. 解:解:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AE ? x ,则 A 1 (1,0,1), D 1 (0,0,1), E(1, x,0), A(1,0,0), C(0, 2,0) (1) 因为DA ,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. 1, D 1 E ? (1 (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

6

? ?n ? AC ? 0, AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ?n ? AD1 ? 0,

3 4 5 , f (2) ? , f (3) ? 4 6 8 n?2 (II) 猜测 f ( n) ? ,现用数学归纳法证明如下: 2n ? 2 ①当 n ? 1 时,显然成立; k?2 ②假设当 n ? k ( k ? 1 )时,结论成立,即 f ( k ) ? . 2k ? 2
19.证明: (I) f (1) ? ∴当 n ? k ? 1 时, f (k ? 1) ? (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? (1 ? a k )(1 ? a k ?1 ) ?

k?2 1 2 ? [1 ? ( ) ] 2k ? 2 k?2

?

(k ? 1) ? 2 2(k ? 1) ? 2
k?2 对一切正整数都成立. 2k ? 2

∴当 n ? k ? 1 时,结论成立.[] ∴由①、②可得, f ( k ) ?

20.解: (Ⅰ)易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 ? x 2 ? 1 ?

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8 ? 4 4
7

?2 因为 x ?? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF2 有最小值
当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF2 有最大值

???? ???? ?

???? ???? ?

21.解:函数的定义域为 ? 0, ??? , f

'

? x? ? a ? ?1 ?
?

1 ? 1 ax 2 ? x ? a ?? ? x2 ? x x2

(1)当 a ? 2 时,函数 f ? x ? ? 2 ? x ?

? ?

1? ' ? ? ln x ,由 f ?1? ? 0 , f ?1? ? 3. x?

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3? x ?1? ,即 3x ? y ? 3 ? 0 . (2)函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? . (ⅰ)若 0 ? a ?
2 由 a ? 0 , ? ? 1 ? 4a ,

1 , 2

8

由 f ' ? x ? ? 0 ,即 h ? x ? ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 或x? ; 2a 2a

由 f ' ? x ? ? 0 ,即 h ? x ? ? 0 ,得

1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 . ?x? 2a 2a
? 1 ? 1 ? 4a 2 ? 2a ? ? ?. ? ? ? ? 1 ? 1 ? 4a 2 ? , ?? ? , ? 和? ? ? ? 2a ? ? ?

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

单调递减区间为 ? (ⅱ) 若a ?

? 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4 a 2 , ? 2 a 2a ?

1 , 则 f ' ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立, 此时 f ( x ) h ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立, 2

在 ? 0, ??? 上单调递增.

9


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