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第一讲 随机变量、离散型随机变量及其分布律


第二章 随机变量及其分布
第一讲
一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布律

§1

随机变量

例1 :将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T 出现的情况。其样本空间为 S= { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,TTH, TTT } 以X表示三次抛掷得到正面H的总数 ,则 X 的可能 取值为0,1,2,3.因此, X 是一个变量.但是, X 取什么值依赖于试验结果,即 X的取值带有随机 性,所以,我们称 X 为随机变量.X 的取值情况 可由下表给出:

试验结果

X的值

试验结果

X的值

HHH HHT
HTH THH
?3 ? ?2 X ? X (e ) ? ? ?1 ?0 ?

3 2
2 2

HTT THT
TTH TTT
e ? HHH

1 1
1 0

e ? H H T , H TH ,TH H e ? H TT ,TH T ,TTH e ? TTT

定 义 : 设 随 机 试 验 的 样 本 空 间 为 S ? { e } , X ? X ( e )是 定 义 在 样 本 空 间 S上 的 一 个 实 值 单 值 函 数 , 称 X ? X ( e )为 随 机 变 量 。

定义了随机变量后,就可以用随机变量的取值情 况来刻划随机事件. 如例1 中,{X=2}表示事件“恰好出现两次正面H” {X=1}表示事件“恰好出现1次正面 H” {X=0}表示事件“三次都出现反面 T”≥1}表示事件“至少出现1次正面H” {X




用 小 写 英 文 字 母 x 、 y、 z、 ? 表 示 实 数

⑴ 随 机 变 量 常 用 大 写 的 英 文 字 母 X 、 Y 、 Z 、? 表 示



对于随机变量,我们常常关心的是它的取值.

⑶ 设立随机变量的目的,是要用随机变量的取值来 描述随机事件.

例2 掷一颗骰子,令:X表示出现的点数.则 X就 是一个随机变量.它的取值为1,2,3,4,5,6.
?X
? 3 ? 表 示 事 件 “ 掷 出 的 点 数 不 超 过 3”

? X =偶 数 ? 表 示 事 件 “ 掷 出 偶 数 点 ”

例3 一批产品有 50 件,其中有 8 件次品,42 件正品.现从中取出 6 件,令: X表示取出 6 件产品中的次品数.则 X 就是一个随机变量. 它的取值为 0,1,2,…,6.
?X ?X
? 0? 表 示 事 件 “ 取 出 的 产 品 全 是 正 品 ”
? 1? 表 示 事 件 “ 取 出 的 产 品 中 至 少 有 一 件 是 次 品 ”

例4 掷一枚硬币,令:
?1 X ? ? ?0 掷硬币出现正面H 掷硬币出现反面T

X是一随机变量

引进随机变量后,对随机现象统计规律性的研 究,就由对事件与事件概率的研究转化为对随 机变量及其取值规律的研究。

§2

离散型随机变量及其分布律

随机变量通常分为两类:离散型随机变量 和非离散型随机变量。如果随机变量的所有取 值可以逐个列举出来,则称之为离散型随机变 量。如前面例子中“取到次品的个数” 等都是 离 散型随机变量。非离散型随机变量范围很广, 其中最重要、实际工作中经常用到的是所谓连 续型随机变量,如 “某种电子元件的寿命”等 对离散型随机变量仅仅知道它的所有取值是 不够的,更重要的是要知道它取各个值的概率, 也就是说,必须知道它的概率分布情况。

例1 袋中有3只黑球,2只白球,从中任意取出3 只球,则取出的3只球中的白球的个数X是一个随 机变量,它的可能取值为 0,1,2。运用概率知识可 求出 2 1
P { X ? 0} ? C3 C5
3 3

?

1

P { X ? 1} ?
C 3C 2 C5
3 1 2

C3C2 C5
3

?

6

10 ? 3 10

10

P { X ? 2} ?

或者列成一张表 X 0 1

2

p

0.1

0.6

0.3

定 义 : 设 离 散 型 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 的 值 为 xk ( k ? 1, 2 , ? ), X 取 各 个 可 能 值 的 概 率 为 P { X ? x k } ? p k , ( k ? 1, 2 , ? ) 称 为 随 机 变 量 X 的 分 布 律 。

分布律也可用表格形式表示:
X pk x1 p1 x2 p2 ? ? xk pk ? ?

更直观地表示了随机变量的取值及取各个值的 概率的规律 离散型随机变量分布律的性质:?
⑴ p k ? 0,k ? 1 , 2 , ? ) ⑵ (

?
k ?1

pk ? 1

例2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏 信号灯,每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽 车通过. 以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的盏数,求 X 的分布律. (信号灯的工作是相 互独立的).

P{X=3}=(1-p)3p

解:以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率, 则 X 的分布律为:
X pk 0 1 2 (1-p)2p 3 (1-p)3p 4 (1-p)4 p (1-p) p

或写成 P{X= k} = (1- p)kp,k = 0,1,2,3 P{X= 4} = (1-p)4 以 p = 1/2 代入得:
X pk 0 1 2 0.125 3 0.0625 4 0.0625 0.5 0.25

例3 设离散型随机变量 X 的分布律为
X P 0
1 16

1
3 16

2
1 16

3
4 16

4
3 16

5
4 16

P ? X ? 2 ? ? P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2 ?
? 1 16 ? 3 16 ? 1 16

?

5 16

P ? X ? 3? ? P ? X ? 4? ? P ? X ? 5?

?

3 16

?

4 16

?

7 16

一些常用的离散型随机变量

1)(0—1)分布
如果随机变量 X 的分布律为
P ? X ? 0 ? ? 1 ? p , P ? X ? 1? ? p , 0 ? p ? 1

则称 X服从以p为参数的(0—1)分布 (0—1)分布的分布律也可写成
X pk 0 1-p 1 p

2)二项分布 如果随机变量 X 的分布律为
P ? X ? k? ? C n p
k k

?1 ? p ?

n?k

( k ? 0 , 1, 2 , ? , n )

则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 ? n, p ?的 二 项 分 布 , 记 作 X ~ b ? n , p ? , 其 中 n 为 自 然 数 ,0 ? p ? 1 为 参 数

二项分布的概率背景——n重伯努利试验
设 试 验 E 只 有 两 个 可 能 结 果 : A 和 A, 则 称 E 为 伯 努 利 试 验
设 P ( A ) ? p , 此 时 P ( A ) ? 1 ? p . 将 E 独 立 重 复 地 进 行 n次 , 则 称 这 一 串 重 复 的 独 立 试 验 n重 伯 努 利 试 验 。 用 X 表 示 n重 伯 努 利 试 验 中 事 件 A发 生 的 次 数 , 则 X ~ b ? n , p ? .

例4 一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可 能答案,其中只有一个答案是正确的.某学生靠 猜测至少能答对4道题的概率是多少?
解:每答一道题相当于做一次伯努利试验
A ? ?答 对 一 道 题 ?, 则 P

? A? ?

0 .2 5

则答5道题相当于做5重伯努利试验.

设X=学生靠猜测答对题的数目,则 X
P

~ b ? 5 , 0 .2 5 ?

? 至 少 能 答 对 4道 题 ? ?

P? X ? 4?

? P? X ? 4?? P? X ? 5?

? C 5 0 .2 5 ? 0 .7 5 ? 0 .2 5 ? 0 .0 1 5 6 2 5
4 4 5

例5 对同一目标进行400次独立射击,设每次射 击的命中率均为0.02,试求400次射击至少击中 2次的概率
解:将一次射击看作是一次试验,设击中次数为X
X ~ b ? 4 0 0 , 0 .0 2 ?
P ? X ? k ? ? C 4 0 0 0 .0 2 0 .9 8
k k 400 ? k

( k ? 0 , 1, 2 , ? , 4 0 0 )

所求的概率为
P ? X ? 2 ? ? 1 ? P ? X ? 1 ? ? 1 ? P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 1?

? 1 ? 0 .9 8

400

? C 4 0 0 0 .0 2 ? 0 .9 8
1

399

? 0 .9 9 7 2

此例说明,虽然在一次试验中A发 生的概率很小,但将这一试验独立 重复很多次,事件A发生几乎是肯 定的!决不能轻视小概率事件。

小 结:
1、随机变量
2、离散型随机变量及其分布律
X pk x1 p1 x2 p2 ? ? xk pk ? ?

3、常见的几个离散性随机变量

1)(0—1)分布 2)二项分布
X ~ b ? n, p ?


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