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江苏省徐州市2015届高三上学期期中考试数学试题_Word版含答案

徐州市 2014—2015 学年度第一学期期中考试
10. 已 知 {a n } 是 分 比 为 q 的 正 项 等 比 数 列 , 不 等 式 x 2 ? a3 x ? a4 ? 0 的 解 集 是

{ x a1 ? x ? a2 }, 则 q ?

.

11.在平面直角坐标系中,已知角 ? ?

?
4

的终边经过点 P (3,4), 则 cos? ?

.

12.已知点 A, B 分别在函数 f ( x ) ? e x 和 g( x ) ? 3e x 的图象上,连接 A, B 两点,当 AB 平行 于 x 轴时, A, B 两点的距离是 .

13. 已知三个实数 a, b, c ,当 c ? 0 时满足: b ? 2a ? 3c , 且 bc ? a 2 , 则 是 .

b 的取值范围 a ? 2c

2 14.已知函数 f ( x ) ? x x ? 3 , x ? [0, m ] ,其中 m ? R, 当函数 f ( x ) 的值域为 [0,2] 时,则实

数 m 的取值范围 18.(本小题满分 16 分)

.

如图, P 为某湖中观光岛屿, AB 是沿湖岸南北方向道路, Q 为停车场, PQ ?

26 km, 某 5

旅游团浏览完岛屿后,乘游船回停车场 Q , 已知游船以 13 km / h 的速度沿方位角 ? 的方向行 驶, sin? ?

5 . 游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及 13

时赶到停车地点 Q 与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖岸南北大道 M 处,然后乘出租 车到停车场 Q 处(设游客甲到达湖滨大道后立即乘到 出租车).假设游客甲乘小船行驶的方位角是 ? ,出租 车的速度为 66 km / h. (1) 设 si n? ?

A

Q

4 , 问小船的速度为多少 km / h 时, 5

?
?
P

M

游客甲才能和游船同时到达点 Q; (2) 设小船速度为 10 km / h ,请你替该游客设计小 船行驶的方位角 ? , 当角 ? 的余弦值的大小是 多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q

B

19.(本小题满分 16 分) 已知二次函数 h( x) ? ax2 ? bx ? c (其中 c ? 3), 其中导函数 y ? h' ( x ) 的图象如图,设

f ( x ) ? 6 ln x ? h( x )
(1) 求函数 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线斜率; 若函数 f ( x ) 在区间 (1, m ? 数 m 的取值范围; (3) 若 函 数 y ? ? x , x ? (0,6) 的 图 象 总 在 函 数

y

h' ( x )

(2)

1 ) 上是单调函数, 求实 2

O

(4,0) (0,?8)

x

y ? f ( x ) 图象的上方,求 c 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 设等比数列 {a n } 的首项为 a1 ? 2, 公比为 q ( q 为正整数) , 且满足 3a 3 是 8a 1 与 a5 的等差中项; 数列 {bn } 满足 2n ? ( t ? bn )n ?
2

3 bn ? 0( t ? R, n ? N * ). 2

(1) (2)

求数列 {a n } 的通项公式; 试确定 t 的值,使得数列 {bn } 为等差数列;

(3) 当 {bn } 为等差数列时,对每个正整数 k , 在 a k 与 a k ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新 数列 {c n } .设 Tn 是数列 {c n } 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2c m?1 的所有正整数 m.

10.

1? 5 2

11.

7 2 10

12. ln 3 14. ?1, 2?

13. ? ??,0? ??9, ???

A
18.解:(Ⅰ) 如图,作 PN ? AB , N 为垂足.

5 4 sin ? ? , sin a ? , 5 13
在 Rt △ PNQ 中,

Q

PN ? PQ sin ? ?

26 5 ? ? 2 (km), 5 13

26 12 QN ? PQ cos? = ? ? 4.8 (km). 5 13
在 Rt △ PNM 中,
MN ? PN 2 ? ? 1.5 (km) .……………………… 3 tan a 4 3

?
P

?

M N B


设游船从 P 到 Q 所用时间为 t1 h,游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 t 2 h,小船的速度为 v1 km/h,
26 PM MQ 2.5 3.3 5 1 PQ 2 ? ? ? ? ? ? 5 ? (h), t2 ? 则 t1 ? (h) . v1 66 v1 66 2v1 20 13 13 5

…………5 分

由已知得: t2 ? ∴小船的速度为

5 1 1 2 1 25 ? ? ? ,∴ v1 ? .………………………7 分 ? t1 , 2v1 20 20 5 20 3

25 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 Q . 3

(Ⅱ)在 Rt △ PMN 中,

PM ?

PN 2 PN 2cos a (km), MN ? (km). ? ? sin a sin a tan a sin a 2cos a (km). sin a
………………………9 分

∴ QM ? QN ? MN ? 4.8 ? ∴t ? ∵ t? ?

PM QM 1 4 cos a 1 33 ? 5cos a 4 = .…………………11 分 ? ? ? ? ? ? 10 66 5sin a 55 33sin a 165 sin a 55

1 5sin 2 a ? (33 ? 5cos a )cos a 5 ? 33cos a , ? ? 165 sin 2 a 165sin 2 a

…………………13 分

∴令 t ? ? 0 得: cos a ? 当 cos a ?

5 . 33

5 5 时, t ? ? 0 ;当 cos a ? 时, t ? ? 0 . 33 33

∵ cos a 在 ? ? (0,

?
2

) 上是减函数,
5 时,t 最小,即游客甲能按计划以最短时间到达 Q .…16 分 33

∴当方位角 a 满足 cos a ?

19.解:⑴ f ' ( x) ? 2 x ? 8 ------------------------------------------------------------------------------- 2 分

? f ( x) ? 6 ln x ? x 2 ? 8x ? c
? f ' ( x) ? 6 ? 2x ? 8 x
------------------- 4 分

f ' (2) ? ?1 ,所以函数 f ( x)在点(3, f (3)) 处的切线斜率为-1
⑵ f ' ( x) ?

6 2( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? 8 ? x x
(0,1) + ↗ 1 0 (1,3) - ↘ 3 0

?x ?0

x
f ' ( x)
f ( x)

(3,??)
+ ↗

? f ( x) 的单调递增区间为(0,1)和 (3,??) ? f ( x) 的单调递减区间为(1,3)
------------------------------------------------- 7 分

要使函数 f ( x) 在区间 (1, m ? ) 上是单调函数,

1 2

1 ? 1? m ? ? 1 5 ? 2 则? ,解得 ? m ? 2 2 ?m ? 1 ? 3 ? ? 2
⑶ 由题意, 得

--------------------------------------------------- 9 分

恒成立, 恒成立,

即 c ? ? x 2 ? 7 x ? 6ln x
2

恒成立,

设 g ( x) ? ?x ? 6ln x ? 7 x, x ? ? 0,6?, 则c ? g( x)min ------------------------------ 13 分

g ' ( x) ? ?2 x ?

6 ? 2 x 2 ? 7 x ? 6 ? (2 x ? 3)(x ? 2) ?7 ? ? x x x
3 2

因为 x ? 0,?当x ? ( ,2)时,? g ' ( x) ? 0, g ( x)为增函数 当 x ? (0, )和(2, ??)时,? g '( x) ? 0, g ( x)为减函数

3 2

3 ? g ( x) 的最小值为 g ( )和g (6) 的较小者. 2

3 9 3 3 33 3 g ( ) ? ? ? 6 ln ? 7 ? ? ? 6 ln , 2 4 2 2 4 2 g (6) ? ?36 ? 6 ln 6 ? 42 ? 6 ? 6 ln 6, 3 9 3 9 g ( ) ? g (6) ? ? 6 ln ? 6 ln 6 ? ? 12 ln 2 ? 0, 2 4 2 4

? g ( x) min ? g (6) ? 6 ? 6 ln 6.
又已知 c ? 3 ,

--------------------------------------------------- 15 分

? c ? 6 ? 6 ln 6 . -------------------------------------------------------------------------------- 16 分

20.【解析】(Ⅰ)因为
解得

,所以 (舍),则

, ------------3分



,所以

----------------------------5 分

(Ⅱ)由 ,则由

,得

, -----------8分 10 分

所以

,得

而当

时,

,由

(常数)知此时数列

为等差数列 -------------