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志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修2-2 3.1.2 函数的极值_图文

1.2 函数的极值

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1.结合函数的图像,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.理解函数极值的概念,理解函数的极值与导数的关系,会求函数的极值,并 能确定是极大值还是极小值. 3.增强学生数形结合的思维意识,提高学生运用导数的基本思想去分析和 解决实际问题的能力.

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1.函数的极值的有关概念 (1)在包含 x0 的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都小 于或等于 x0 点的函数值,称点 x0 为函数 y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为 函数的极大值. 在包含 x0 的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都大于或 等于 x0 点的函数值,称点 x0 为函数 y=f(x)的极小值点,其函数值 f(x0)为函数 的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 说明 1.极值是一个局部性概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内 最大或最小,即反映的是函数在某一点附近的大小情况. 2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. 3.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上极大值或极小值可 以不止一个.
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4.如果函数 f(x)在[a,b]上有极值的话,它的极值点的分布是有规律的.相 邻两个极大值点之间必有一个极小值点.同样,相邻两个极小值点之间必有 一个极大值点.一般地,当函数 f(x)在[a,b]上的图像连续且有有限个极值点 时,函数 f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的. 5.极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于 极小值,如图所示,x1 是极大值点,x4 是极小值点,而 f(x4)>f(x1).

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(2)如果函数 y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,那 么 x0 是极大值点,f(x0)是极大值. 如果函数 y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,那么 x0 是极小值点,f(x0)是极小值. 【做一做 1】 函数 y=2-x2-x3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值 答案:D

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2.求函数极值点的步骤 (1)求出导数 f'(x); (2)解方程 f'(x)=0; (3)对于方程 f'(x)=0 的每一个解 x0,分析 f'(x)在 x0 左、 右两侧的符号(即 f(x)的单调性),确定极值点; ①若 f'(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”,则 x0 为极大值点; ②若 f'(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”,则 x0 为极小值点; ③若 f'(x)在 x0 两侧的符号相同,则 x0 不是极值点. 说明 1.导数值为 0 的点不一定是函数的极值点.例如,对于函数 f(x)=x3, 我们有 f'(x)=3x2.显然 f'(0)=0,但无论 x>0,还是 x<0,恒有 f'(x)>0,即函数 f(x)=x3 是单调递增的,所以 x=0 不是函数 f(x)=x3 的极值点.一般地,函数 y=f(x)在一点的导数存在,且导数值为 0 是函数 y=f(x)在这点取极值的必要 条件,而非充分条件. 2.使 f'(x)无意义的点也要讨论,即可先求出 f'(x)=0 的根和使 f'(x)无意义的点, 这些点都称为可疑点,再用定义去判断.
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【做一做 2】 函数 f(x)=x3-6x+a 的极大值为 . 解析:由题意,得 f'(x)=3x2-6,列表:
(-∞,- 2) f'(x) + x f(x) ↗ - 2 0 极大值 (- 2, 2) ↘ 2 0 极小值

,极小值

( 2,+∞) + ↗

故 f(x)极大值=f(- 2)=4 2+a, f(x)极小值=f( 2)=-4 2+a. 答案:4 2+a -4 2+a

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1.导数为零的点与极值点之间是等价关系吗? 剖析:可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是 极值点,即点 x0 是可导函数 f(x)的极值点是 f'(x0)=0 的充分不必要条件,如函 数 f(x)=x3,有 f'(0)=0,但 x=0 不是极值点. 2.极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值之间有怎样的 关系? 剖析:曲线在极值点处切线的斜率为 0,曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.

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题型一

题型二

题型三

题型一

求函数的极值
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【例 1】 求函数 y=f(x)=2x+ 的极值,并结合单调性、极值作出该函数的图 像. 分析:求函数 f(x)的极值的步骤:(1)先求函数 f(x)的定义域;(2)求 f'(x);(3) 求方程 f'(x)=0 的根;(4)检查 f'(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右 负,那么 f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得 极小值.

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题型二

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解:函数的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. y'=2- 2,令 y'=0,得 x=± 2. 当 x 变化时,y',y 的变化情况如下表:
x (-∞,-2) y' + y ↗ -2 0 极大值 (-2,0) ↘ 0 (0,2) 2 ↘ 0 极小值
8 8

(2,+∞) + ↗

因此当 x=-2 时,y 取得极大值-8;

当 x=2 时,y 取得极小值 8.由表易得 y=2x+ 的草图如图所示.

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题型二

题型三

反思 1.列表时应将定义域内的间断点(如 x=0)考虑进去;2.极大值不一定 比极小值大,这是因为极值是相对某一区间讨论的;3.借助函数的性质(如奇 偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图像是重要手段.

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【变式训练 1】 求下列函数的极值. (1)y=x2-7x+6;(2)y=x2ln x. 解:(1)y'=(x2-7x+6)'=2x-7. 令 y'=0,得 x= . 当 x 变化时,y',y 的变化情况如下表:
x y' y
7 2 7 2

7 -∞, 2

0
25 4

7 2

+ ↗

7 ,+∞ 2



极小值

故当 x= 时,y 取得极小值- .

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(2)定义域为(0,+∞).

y'=(x2ln x)'=2xln x+x2· =2xln x+x=x(2ln x+1). 令 y'=0,得 x=e 当 x 变化时,y',y 的变化情况如下表:
x y' y ↘
1 2 时 ,y

1

-

1 2.

0,

-

1 2

0 极小值
1 2e

-

1 2

+ ↗

-

1 2,

+∞

故当 x=e

取得极小值- .

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题型二

题型三

题型二

函数的极值的综合应用

【例 2】 已知函数 f(x)=x3-x2-x+a, (1)求函数 f(x)的极值; (2)若函数 f(x)的图像与 x 轴有且仅有一个交点,求实数 a 的取值范围. 分析:第(1)小题考查函数极值的概念及求法,注意说明函数的极值为极 大值还是极小值.第(2)小题主要考查函数的极值、单调性及与 x 轴交点的 情况,可用数形结合的方法分析得出. 解:(1)由函数 f(x)=x3-x2-x+a,得 f'(x)=3x2-2x-1. 令 f'(x)=0,则 x=- 或 x=1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) + f(x) ↗ 1 -∞,3 1 3

1 3

0 极大值



1 - ,1 3

1 0 极小值

(1,+∞) + ↗

由表可知,函数 f(x)的极大值是 f -

1 3

=

5 +a,极小值是 27

f(1)=a-1.

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(2)根据(1)中 x 与函数 f(x)的变化表可画出函数的大体图像如图所示.

根据图像结合函数 f(x)的单调性可知,当函数 f(x)的极大值 +a<0,即 a ∈ -∞,交点在(1,+∞)上; 当函数 f(x)的极小值 a-1>0 时,即 a∈(1,+∞)时,它的极大值也大于 0,因 此曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,且交点在 -∞,则 a 的取值范围是 -∞,5 27 1 3 5 27

5 27

时,它的极小值也小于 0,因此曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,且

上.

综上所述,若函数 f(x)的图像与 x 轴有且仅有一个交点, ∪(1,+∞).

反思注意求极值的步骤及数形结合方法的应用.
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【变式训练 2】 设函数 f(x)=ax2+bln x,其中 ab≠0.证明:当 ab>0 时,函 数 f(x)没有极值点;当 ab<0 时,函数 f(x)有且只有一个极值点,并求出极值. 证明:因为 f(x)=ax2+bln x,ab≠0,所以 f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=2ax+

=

当 ab>0 时,如果 a>0,b>0,则 f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增加的; 如果 a<0,b<0,那么 f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上是减少的. 所以当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点. 当 ab<0 时,f'(x)=
2 + -2 - -2


22+ .

. ∈(0,+∞). 2

令 f'(x)=0,得 x1=- -

?(0,+∞)(舍去),x2= 2

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当 a>0,b<0 时,f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:
x f'(x) f(x)
2 2

0, -

b 2a 0

b 2a + ↗

-

b ,+∞ 2a


2

极小值

由表可知,函数 f(x)有且只有一个极小值点,极小值为 f =- 1-ln .

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当 a<0,b>0 时,f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:
x f'(x) + f(x)
2 2

b 0, 2a 0 ↗
2

b 2a ↘ 极大值

b - ,+∞ 2a

由表可知,函数 f(x)有且只有一个极大值点,极大值为 f =- 1-ln .

综上所述,当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点; 当 ab<0 时,若 a>0,b<0,函数 f(x)有且只有一个极小值点,极小值为 - 1-ln 2 2

;
2 2

若 a<0,b>0,函数 f(x)有且只有一个极大值点,极大值为- 1-ln -

.
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易错辨析

易错点:已知极值条件求参数值,忽视求解后的检验致误 【例 3】 若 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 时有极值 10,求 a+b 的值. 错解:由当 x=1 时,f(x)有极值是 10 知, f(1)=10,f'(1)=0. (1) = 10, 1 + + + 2 = 10, 由 得 '(1) = 0, 3 + 2 + = 0, = 4, 解得 或 = -3, = -11 = 3. 故 a+b=-7 或 a+b=0. 错因分析:函数 y=f(x)上的点的导数值为 0 是函数 y=f(x)有极值的必要 非充分条件.错解中没有进行检验,导致出错.

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正解:(接错解)当 a=4,b=-11 时, f(x)=x3+4x2-11x+16, 得 f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1). 当 x∈ 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0. 故当 x=1 时,f(x)取得极小值. 当 a=-3,b=3 时, f'(x)=3(x-1)2≥0,即 x=1 为非极值点. 所以 a=-3,b=3 舍去,故 a+b=-7.
11 ,1 3

时,f'(x)<0;

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2

3

4

5

1 关于函数的极值,下列说法正确的是( ) A.导数为零的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D.若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内不是单调函数 解析:导数为零的点不一定是极值点,如 f(x)=x3,f'(0)=0,但 x=0 不是极值点. 极小值不一定小于极大值.f(x)在定义域内可能有多个极值点. 答案:D

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1

2

3

4

5

2 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f'(x)在(a,b)内的图像如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内的极小值有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:若导函数 f'(x)在某点两侧的符号为“左负右正”,则该点为极小值点,由 图像可知极小值点只有一个. 答案:A

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5

3 函数 f(x)=- x3+ x2+2x 的极小值点 x=( ) 3 2 A.2 B.2,-1 C.-1 D.-3 解析:f'(x)=-x2+x+2,令 f'(x)=0, 即-x2+x+2=0,解得 x1=-1,x2=2. 当 x<-1 时,f'(x)<0,f(x)是减少的;当-1<x<2 时,f'(x)>0,f(x)是增加的. 故 x=-1 是函数的极小值点. 答案:C

1

1

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1

2

3

4

5

4 关于函数 f(x)=x3-3x2 的下列命题,其中正确命题的序号是 ①f(x)是增函数; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 解析:f'(x)=3x2-6x, 令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=2. 利用极值的求法可得 x=0 是极大值点,x=2 是极小值点. 答案:③④

.

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1

2

3

4

5

5 求下列函数的极值. (1)f(x)=x2e-x; 2 (2)f(x)= 2 -2.
+1

解:(1)函数 f(x)的定义域为 R. f'(x)=2xe-x+x2· e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x. 令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (-∞,0) ↘ 0 0 极小值
4 e

(0,2) + ↗

2 0 极大值

(2,+∞) ↘

由表可知,当 x=0 时,函数有极小值 0; 当 x=2 时,函数有极大值 2.

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1

2

3

4

5

(2)函数 f(x)的定义域为 R. f'(x)=
2(2 +1)-42 (2 +1)
2

=-

2(-1)(+1) (2 +1)
2

.

令 f'(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f(x) (-∞,-1) ↘ -1 0 极小值 (-1,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,+∞) ↘ f'(x) -

由表可知,当 x=-1 时,函数有极小值-3; 当 x=1 时,函数有极大值-1.

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