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组合数的性质(2)_图文

1

复习巩固:
1、组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一 组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2、组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m m n Cn ? Cn ? m ? Am m! m !(n ? m)!

我们规定: C n ? 1.
0

定理 1:

C

m n

?Cn

n?m

引例

一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
3 ①从口袋里取出3个球,共有多少种取法? C8

? 56

②从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球, 2 有多少种取法? C ? 21
7

③从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有 3 多少种取法?C 7 ? 35
从引例中可以发现一个结论:C 3
8

? C7 ? C7
2

3

对上面的发现(等式)作怎样解释?

C

3 8

?C ? C
2 7

3 7

我们可以这样解释:从口袋内的 8个球中所取出的3个球,可以分为 两类:一类含有1个黑球,一类不含 有黑球.因此根据分类计数原理, 上述等式成立.

一般地,从a1 , a2 ,? , an?1这n ? 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn ?1, 这些组合可分成两类:一类含有a1,一类不含有a1,

含有a1的组合是从a2 , a3 ,? , an?1这n个元素中取出
m ?1 m ? 1个元素与a1组成的,共有C n 个;

不含a1的组合是从a2 , a3 ,? , an?1这n个元素中取出
m m个元素组成的,共有Cn 个

由分类计数原理,得
组合数性质2

Cn?1 ? Cn ? Cn
m m

m ?1

性质2
证明 :
m n

n! n! ? ? m!( n ? m)! ( m ? 1)![ n ? ( m ? 1)]! n!( n ? m ? 1) ? n! m ( n ? m ? 1 ? m) n! ? ? m!( n ? m ? 1)! m!( n ? 1 ? m)! ( n ? 1)! m ? ? C n ?1 . m![( n ? 1) ? m]!

C ?C

? ? c n ?1 c n c n
m ?1 n

m

m

m ?1

组合数性质2:

Cn?1 ? Cn ? Cn
m m

m ?1

说明: 1、公式特征:下标相同而上标差1的两个组合 数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今 后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主 要应用.

例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法? 100个不同元素中取3个元素的组合数
C
3 100

100 ? 99 ? 98 ? ? 161700 ?种? 3? 2

例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 从98件合格品中抽出2件的抽法有

C C

1 2 2 98

C ? C ? 9506
1 2 2 98

例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1
含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 ?种? C2 ? C98 ? C2 ? C98 ? 9604

法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 ?种? C100 ? C98 ? 9604


(1)

计算

C 200 ;

198

C
2
3 100

2 200

?

200 ? 199 2?1

? 19900

( 2)

( 3)

?C ? 2C ? C ? C .
3 3 2 8 9 8
3 3

C

3 99

? C 99;

100 ? 99 ? 98 3? 2?1

? 161700

? 2C 8 ? (C 8 ? C 8 ) ? C 8 ? C 8 ? 56

2

2

3

例.计算:

3 4 5 6 C7 ? C7 ? C8 ? C9

3 4 5 6 ( C ? C ) ? C ? C 解:原式= 7 7 8 9 4 5 6 ? C8 ? C8 ? C9 4 5 6 ? (C8 ? C8 ) ? C9 5 6 ? C9 ? C9 6 ? C10 4 ? C10

10 ? 9 ? 8 ? 7 ? ? 210 4!

巩固练习

1.方程 C ? C
x 28

3 x ?8 28 的解集为(

D



A . ?4?

B . ?9? D . ?4,9?
8 n ,则

C .?
2.若 C
10 n

?C

C 的值为

n 20

190

巩固练习 3.有3张参观券,要在5人中确定3人去参观,不同方法 5? 4 3 2 的种数是 10 C ?C ? ? 10
5 5

2!

4.6人同时被邀请参加一项活动,必须有人去,去几人自 行决定,共有多少种不同的去法? 解:有6类办法,第1类去1人,第2类去2人,第3类去3 人,第4类去4人,第5类去5人,第6类去6人,所以共 有不同的去法

C ? C ? C ? C ? C ? C ? 63
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

例、(1)求证:Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1
2 2 2 2 2 2

m

m-1

m

m-1

(2)求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值

练习:1、 C100-C99 =( )
11
9 10

90

89

C 99 C、 C99 D、 C100 B、 C100 A、

12

2、求 C ? 2C ? C 的值 7 7 x C = C + C 3、已知 12 11 11 , 求x的值
97 98 96 98 95 98
2

4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值

2

2

2

2

2

小结

1.组合数公式:
A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! C ? m !(n ? m)!
m n

2.组合数性质:
m n m n?1

⑴ C ?C m?1 ⑵ C ? C ? Cn

n ?m n m n


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