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浙江省温州市瑞安市八校联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

浙江省温州市瑞安市八校联考 2014-2015 学年高一下学期期中数 学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题中只有一个选项是符合题目要求) 1.sin75°=() A. B. C. D.

2.以下说法正确的是() A.零向量没有方向 C. 共线向量又叫平行向量

B. 单位向量都相等 D.任何向量的模都是正实数

3.函数 f(x)=sin2x﹣cos2x 的最小正周期是() A. B. π C.2π D.4π

4.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是()

A.

B.

C.

D.

5.已知 tanα=2,则 sin2α 的值为() A. B. C. D.

6.已知:在△ ABC 中,acosB=bcosA,则此三角形的形状为() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形

7.设向量 , 满足:| |=1,| |=2, ?( + )=0,则 与 的夹角是() A.30° 8.△ ABC 中,A= B.60° C.90° D.120°

,BC=3,则△ ABC 的周长为()

A.4

sin(B+

)+3

B.

4

sin(B+

)+3

C. 6sin(B+

)+3

D.6sin(B+

)+3

9.在△ ABC 中,若





,则

=()

A.﹣
2 2

B. ﹣

C.

D.

10.已知:x +y =2,则 x﹣2y 的最小值为() A.﹣ B. ﹣ C.

D.﹣

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.sin72°sin42°+cos72°cos42°=.

12.若向量 =(1,k) , =(﹣2,6) ,且 ∥ ,则实数 k=. 13.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,若 a +c ﹣ac≥b ,则角 B 的取 值范围是.
2 2 2

14. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 则 ? 的值是.

, BC=2, 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 且

=2



15.△ ABC 中,6sinA=4sinB=3sinC,则 cosC=.

三、解答题(共 5 小题,共 45 分,要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知:sinθ= ,θ 是第二象限角,求: (Ⅰ)cosθ;

(Ⅱ)sin(θ+

)的值.

17.在△ ABC 中,A= (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求 AB 的长.

,B=

,BC=2.

18.已知:平面向量 =(sinα,1) , =(1,cosα) ,﹣ (Ⅰ)若 ⊥ ,求:α; (Ⅱ)求:| + |的最大值.

<α <



19.已知:△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A 为锐角,且 (Ⅰ)求:角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=7,b +c =89,求△ ABC 的面积. 20.已知:函数 f(x)=sinxcosx﹣ (Ⅰ)求 f( )的值; )= ﹣ ,求 sinα 的值. sin x
2 2 2

b=2asinB.

(Ⅱ)设 α∈(0,π) ,f(

浙江省温州市瑞安市八校联考 2014-2015 学年高一下学 期期中数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题中只有一个选项是符合题目要求) 1.sin75°=() A. B. C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由两角和的正弦公式和特殊角的三角形函数易得. 解答: 解:由题意可得 sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45°

=

+

=

故选:B 点评: 本题考查两角和的正弦公式,属基础题. 2.以下说法正确的是() A.零向量没有方向 C. 共线向量又叫平行向量

B. 单位向量都相等 D.任何向量的模都是正实数

考点: 向量的物理背景与概念. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的基本概念,对每一个命题进行分析、判断即可. 解答: 解:对于 A,零向量的方向是任意的,∴A 错误; 对于 B,单位向量的模长相等,方向不一定相同,∴B 错误; 对于 C,共线向量是方向相同或相反的向量,也叫平行向量,∴C 正确; 对于 D,零向量的模长是 0,∴D 错误. 故选:C. 点评: 本题考查了平面向量的基本概念的应用问题,是基础题目. 3.函数 f(x)=sin2x﹣cos2x 的最小正周期是() A. B. π C.2π D.4π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 利用两角差和的余弦函数, 化简函数为一个角的一个三角函数的形式, 然后求出函 数的最小正周期. 解答: 解:函数 f(x)=sin2x﹣cos2x= cos(2x+ ) =π

所以函数 f(x)=sin2x﹣cos2x 的最小正周期是:T=

故选 B. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的最小正周期的求法,三角函数的化简,考查计算能 力,常考题型. 4.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义.

分析: 应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题,这种问题只要代入验证即可, 有的答案非常清晰比如 A 和 D 答案,B 符合平行四边形法则. 解答: 解:在平行四边形 ABCD 中,根据向量的减法法则知 ,

所以下列结论中错误的是 C. 故选 C. 点评: 数学思想在向量中体现的很好, 向量是数形结合的典型例子, 向量的加减运算是用 向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题. 5.已知 tanα=2,则 sin2α 的值为() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴sin2α=

二倍角的正弦. 三角函数的求值. 由万能公式即可求值. 解:∵tanα=2, = = ,

故选:D. 点评: 本题主要考查了三角函数求值, 熟练记忆和应用相关公式是解题的关键, 属于基本 知识的考查. 6.已知:在△ ABC 中,acosB=bcosA,则此三角形的形状为() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理化简 acosB=bcosA,利用两角差的正弦公式化简,根据三角形内角的 范围判断出△ ABC 的形状. 解答: 解:由题意知,在△ ABC 中,acosB=bcosA, ∴根据正弦定理得:sinAcosB=sinBcosA, ∴sinAcosB﹣sinBcosA=0,则 sin(A﹣B)=0, ∵A、B∈(0,π) ,∴﹣π<A﹣B<π, ∴A﹣B=0,则 A=B, ∴△ABC 是等腰三角形, 故选:A. 点评: 本题考查正弦定理, 以及两角差的正弦公式的应用, 注意内角的范围, 属于中档题.

7.设向量 , 满足:| |=1,| |=2, ?( + )=0,则 与 的夹角是() A.30° B.60° C.90° D.120°

考点: 平面向量的综合题;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;数量积表示两个向量 的夹角. 分析: 由已知中向量 结合向量夹角公式,求出 , 满足| |=1,| |=2,且 与 ?( + )=2,我们易得到 与 的夹角. ? =1,

的夹角的余弦值,进而求出

解答: 解:∵| |=1,| |=2, ∴( ) =1, + )=( ) + ? =1+ ? =0
2 2

又∵ ?( ∴ ? = ﹣1

∴cos< , >=

=﹣

∴< , >=120° 故选 D. 点评: 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,熟练掌握公式 cos< , > = 是解答这类问题的关键.

8.△ ABC 中,A= A.4 sin(B+

,BC=3,则△ ABC 的周长为() )+3 B. 4 sin(B+ )+3 C. 6sin(B+ )+3

D.6sin(B+

)+3

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据正弦定理分别求得 AC 和 AB,最后三边相加整理即可得到答案. 解答: 解:根据正弦定理 ∴AC= =2 sinB,AB= sinB+3cosB+ sinB+3=6sin(B+ , =3cosB+ )+3 sinB

∴△ABC 的周长为 2

故选 D. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.

9.在△ ABC 中,若





,则

=()

A.﹣

B. ﹣

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 运用向量的三角形法则和向量垂直的条件, 以及向量的数量积的定义, 结合直角三 角形的勾股定理和锐角三角函数的定义,计算即可得到. 解答: 解:由于 即有| + |=| ﹣ ? |, =0, , = ﹣ ,

两边平方可得 即有 ⊥ ,

由勾股定理得| 则 =

|=

=2,

=﹣|

|cos∠ABC=﹣1× =﹣ .

故选 B. 点评: 本题考查向量的三角形法则和向量垂直的条件, 同时考查向量的数量积的定义, 属 于基础题和易错题. 10.已知:x +y =2,则 x﹣2y 的最小值为() A.﹣ B. ﹣ C.
2 2

D.﹣

考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设出圆的参数方程, 代入所求的式子中, 利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦 函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域即可得到 x﹣2y 的最小值. 解答: 解:设 x= cosα,y= sinα,α∈R 则 x﹣2y= cosα﹣2 sinα= sin(α﹣φ) , 由 sin(α﹣φ)∈[﹣1,1], 可得 x﹣2y 的最小值为:﹣ . 故选:A. 点评: 此题考查学生掌握圆的参数方程, 灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值, 是一 道中档题.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.sin72°sin42°+cos72°cos42°= .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由两角差的余弦公式和特殊角的三角函数可得. 解答: 解:由题意可得 sin72°sin42°+cos72°cos42° =cos72°cos42°+sin72°sin42° =cos(72°﹣42°) =cos30°= 故答案为: 点评: 本题考查两角差的余弦公式,属基础题.

12.若向量 =(1,k) , =(﹣2,6) ,且 ∥ ,则实数 k=﹣3.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量共线的充要条件求解即可. 解答: 解:向量 =(1,k) , =(﹣2,6) ,且 ∥ , 可得﹣2k=6.解得 k=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查向量各项的充要条件的应用,基本知识的考查. 13.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,若 a +c ﹣ac≥b ,则角 B 的取 值范围是(0, ].
2 2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理. 解三角形. 直接利用余弦定理,求出 B 的余弦函数值,即可求解角 B 的取值范围. 2 2 2 2 2 2 解:由余弦定理:b =a +c ﹣2accosB,以及 a +c ﹣ac≥b , .

可得 cosB

∵B 是三角形内角,0<B<π 所以 B∈(0, 故答案为: (0, ]. ].

点评: 本题考查余弦定理的应用,三角形的解法,属于基本知识的考查.

14. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 则 ? 的值是 .

, BC=2, 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 且

=2



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过以 A 为原点,AB 为 x 轴、AD 为 y 轴建系,利用向量的坐标形式计算即可. 解答: 解:以 A 为原点,AB 为 x 轴、AD 为 y 轴建系如图, ∵AB= ,BC=2, ∴A(0,0) ,B( ,0) ,C( ,2) ,D(0,2) , ∵点 E 为 BC 的中点, ∴E( ,1) , ∵点 F 在边 CD 上,且 ∴F( ∴ ∴ =( ? ,2) , ,1) , =2﹣ = , =(﹣ ,2) , =2 ,

故答案为: .

点评: 本题考查平面向量数量积运算, 考查数形结合, 注意解题方法的积累, 属于中档题. 15.△ ABC 中,6sinA=4sinB=3sinC,则 cosC=﹣ .

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理可得 6a=4b=3c,进而可用 a 表示 b,c,代入余弦定理化简可得. 解答: 解:∵6sinA=4sinB=3sinC, ∴由正弦定理可得 6a=4b=3c ∴b= ,c=2a,

由余弦定理可得 cosC=

=

=﹣ .

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查正余弦定理的应用,用 a 表示 b,c 是解决问题的关键,属中档题. 三、解答题(共 5 小题,共 45 分,要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知:sinθ= ,θ 是第二象限角,求: (Ⅰ)cosθ; (Ⅱ)sin(θ+ )的值.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由同角三角函数关系式可求 cosθ; (Ⅱ)利用两角和与差的正弦函数公式即可求 sin(θ+ 解答: (本题 7 分) 解:∵sinθ= ,θ 在第二象限, (Ⅰ)cosθ=﹣ (Ⅱ)sin(θ+ = )=sinθcos =﹣ .…. +cosθsin = sinθ+ cosθ= + (﹣ ) )的值.

….

点评: 本题主要考查了同角三角函数关系式, 两角和与差的正弦函数公式的应用, 属于基 本知识的考查.

17.在△ ABC 中,A= (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求 AB 的长.

,B=

,BC=2.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理列出关系式,将 sinA,sinB,以及 BC 的长代入即可求出 AC 的长; (Ⅱ)利用余弦定理列出关系式,将 AC,BC,以及 cosB 的值代入即可求出 AB 的长. 解答: 解: (Ⅰ)∵在△ ABC 中,A= ,B= ,BC=2,

∴由正弦定理

=

得:AC=

=

=



(Ⅱ)∵AC=

,BC=2,cosB= ,
2 2 2 2

∴由余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cosB,即 6=AB +4﹣2AB, 解得:AB=1+ 或 AB=1﹣ (舍去) , 则 AB=1+ . 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键.

18.已知:平面向量 =(sinα,1) , =(1,cosα) ,﹣ (Ⅰ)若 ⊥ ,求:α; (Ⅱ)求:| + |的最大值.

<α <



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由 ⊥ ,得到数量积为 0,根据角度范围,求 a; (Ⅱ)利用向量的平方等于其模的平方,首先将| + |两边平方,利用三角函数公式化简变 形,根据正弦函数的有界性求最值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得: ∵﹣ ∴ <α< . … =0 即:sinα+cosα=0∴tanα=﹣1,

(Ⅱ)由已知得:| + | =(sinα+1) +(1+cosα) =3+2(sinα+cosα)=3+2 ∵﹣ ∴ ∴ 即:| + | ≤3+2
2

2

2

2

sin(

) ,

<α<



, .….

所以,| + |的最大值为

点评: 本题考查了向量的坐标运算以及三角函数的化简求值; 注意角度范围; 属于基础题. 19.已知:△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A 为锐角,且 (Ⅰ)求:角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=7,b +c =89,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由已知和正弦定理得 sinA,结合 A 的范围,即可得解. (Ⅱ)由余弦定理得 bc 的值,从而由三角形 ABC 的面积公式即可得解. 解答: (本题 10 分) 解: (Ⅰ)由已知和正弦定理得: ,
2 2

b=2asinB.

∴sinA=



∵A 为锐角, ∴A= .…

(Ⅱ)由余弦定理得:cosA= ∵a=7,b +c =89 且 A= ∴bc=40, 从而,三角形 ABC 的面积 S= bcsinA=
2 2





40×

=10

. …

点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理的综合应用,属于基本知识的考查. 20.已知:函数 f(x)=sinxcosx﹣ (Ⅰ)求 f( )的值; sin x
2

(Ⅱ)设 α∈(0,π) ,f(

)= ﹣

,求 sinα 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由特殊角的三角函数值即可得解. (Ⅱ)由三角函数中的恒等变换应用化简已知等式可得 16sin α﹣4sinα﹣11=0, 结合范围 α∈ (0,π) ,即可求得 sinα 的值. 解答: (本题 10 分) 解: (Ⅰ)∵ ∴f( )=sin cos ﹣ sin +
2 2

, =0 … ,… , ,… .….

(Ⅱ) f(x)= ∴f(
2

cos2x﹣

)=

cosα﹣

+ sinα=

∴16sin α﹣4sinα﹣11=0,解得 sinα= ∵α∈(0,π) ,∴sinα>0,故 sinα=

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,属于基本知识的考查.


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