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根式函数的性质及其应用


根式函数 y ?
摘要: 关键词:

ax2 ? b

的性质及其应用

1、

引言

高考题中经常会出现含根式函数 y ? ax2 ? b 的相关试题,根据试题的条件 和结论的内在联系,抓住关键的结构特征,借助其图象和性质,即可快速准确地 解决试题. 下面,我们对形如 y ? ax2 ? b (a, b ? 0) 的根式函数的性质进行归纳,以期 抛砖引玉.

2、
性质 1(定义域) R 性质 2( 值域 ) [b,??)

性质归纳

性质 3(单调性) 在 ?? ?,0? 上单调递减,在 ?0,??? 上单调递增 性质 4(奇偶性) 偶函数 性质 5(对称性) 关于 y 轴对称 将根式函数 y ? ax2 ? b (a, b ? 0) 变形为 y 2 ? ax2 ? b(a, b ? 0, y ? b) ,得 性质 6(特殊性) ① 该函数的图象是焦点在 y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线,方程为 y ? ? a x ③ 该函数是 R 上的凹函数 有了性质作辅助,遇题便有章可依.

3、
例1

典例分析

已知 a, b ? R ? ,且 a ? b ? 1 ,求证: 4a 2 ? 1 ? 4b 2 ? 1 ? 2 2
x2 ? 1 的上支(如右图) 1 4

证明:设函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 1 ,它的图象是双曲线 y 2 ?

? f ( x) 是 R 上的凹函数, ? ?

f (a) ? f (b) a?b ? f( ) 2 2
2

4a 2 ? 1 ? 4b 2 ? 1 ?a?b? 2 2 ? 4? ? ? 1 即得 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 2 2 证毕. 2 ? 2 ?
n n

推广: 若 xi ? Ri (i ? 1,2,?, n) ,且 ? xi ? 1 ,则有 ? axi2 ? b ? a ? bn2
i ?1 i ?1

例2

已知 a, b ? R ,求证: | 4a 2 ? 1 ? 4b 2 ? 1 |? 2 | a ? b |

证明:① 若 a ? b ,显然成立. ② 若 a ? b ,原不等式等价于 |

4a 2 ? 1 ? 4b 2 ? 1 |? 2 a ?b

设函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 1 ,则

4a 2 ? 1 ? 4b 2 ? 1 可看作函数 f ( x) 图象上任意两点 a ?b

P a, 4a 2 ? 1 , Q b, 4b 2 ? 1 ?a ? b ? 连线的斜率, 即转化为求导函数 f ' ( x) 的值
域问题. ? f ' ( x) ?

?

? ?

?

4x 4x ? 1
2

,? | f ' ( x) |?

4| x| 4x ? 1
2

?

4| x| ?2 2| x|

? |

4a 2 ? 1 ? 4b 2 ? 1 |? 2 . 综上所述, | 4a 2 ? 1 ? 4b 2 ? 1 |? 2 | a ? b | a ?b

点拨: 本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜 率 ? 2 与 2 之间. 当 0 ? a ? b 时,求证: 4b 2 ? 1 ? 4a 2 ? 1 ?
4b 2 ? 1 ? 4a 2 ? 1 ? b?a 4a 4a 2 ? 1

例3

4a?b ? a ? 4a 2 ? 1

证明:原不等式等价于

设函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 1 ,则

4b 2 ? 1 ? 4a 2 ? 1 可看作函数 f ( x) 图象上任意两点 b?a

P?a, f ?a ?? , Q?b, f ?b?? 连线的斜率 .由高等数学中的拉格朗日中值定理可知,在

?a, b ? 上存在一点 ? ,使得

f (b) ? f (a ) ? f ' (? ) . b?a

? f ' ( x) ?

4x 4x ? 1
2

且 f '' ( x) ?

4

?4 x

2

?1

?

3 2

? 0 ,? f ' ( x) 在 ?a, b ? 上单调递增.
f (b) ? f (a) ? f ' (a) b?a

又? 0 ? a ? ? ? b ,? f ' (? ) ? f ' (a) ?
4b 2 ? 1 ? 4a 2 ? 1 ? 即 b?a 4a 4a ? 1
2

?

4b 2 ? 1 ? 4a 2 ? 1 ?

4a?b ? a ? 4a 2 ? 1

证毕.

4、
例4

高考竞赛在线

(2000 年全国高考试题) 设函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 ,求 a 的取 值范围,使函数 f ( x) 在区间 [0,??) 上是单调函数.

解:不妨设 C1 : y1 ? ax , C 2 : y 2 ? x 2 ? 1 ,
2 整理得 C1 : y1 ? ax , C 2 : y2 ? x 2 ? 1 ? y ? 0?

则函数 f ( x) 表示双曲线 y 2 ? x 2 ? 1 ? y ? 0? 及直线 y ? ax 对应

x 的点的纵坐标之差,又双曲线 C2 的渐近线为 y ? ? x ,从图理解可知,当且仅
当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [0,??) 上是单调递减函数.

例5

(2001 年全国联赛试题) 求函数 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域.

解: 因为 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ? ?? x ? , 不妨设 C1 : y1 ? ? x , C 2 : y2 ? x 2 ? 3x ? 2
3 1 2 整理得 C1 : y1 ? ? x , C2 : ( x ? ) 2 ? y 2 ? ? y ? 0? 2 4 3 (x ? )2 2 2 ? y ? 1? y ? 0? 及直线 则本题可转化为求双曲线 1 1 4 4
y ? ? x 对应 x 的点的距离差,其中( x ? 2 或 x ? 1 ).

3? ? 又双曲线 C2 的渐近线为 y ? ?? x ? ? ,其中一条与 y ? ? x 平行. 2? ?
3 从图立即可得函数的值域为 [1, ) ? [2,?? ) . 2

5、

拓宽延伸

通过对根式函数 y ? ax2 ? b 图象和性质的研究,有助于遇到同类型题目时 消除陌生感,减弱畏惧心,

6、

总结提炼

参考文献 1 江建平.导数的另类应用[J].中学数学研究,2009 年第 6 期 2 陆建.把握特征 诱发直觉[J].中学数学教学参考,2005 年第 6 期


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