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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (2)

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 适用学科 适用区域 知识点 高中数学 全国通用 适用年级 课时时长(分钟) 高中三年级 60分钟

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词、命题的否定 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;

教学目标

理解全称量词与存在量词的含义; 能正确对含有一个量词命题进行否定

教学重点 教学难点

“或”、“且”、“非”、全称命题和特称命题 “或”、“且”、“非”的命题的判断和其否定的判断,全称命题、特称命题的否定及其判断

教学过程
一、 课堂导入
1.带有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的判断和其否定的判断,全称命题、特称命题的否定及其判断是考查的重点; 2. 多以选择题、填空题的形式出现,而考查的形式是多与其他知识相结合,在知识的交汇处命题,都是中档题.

二、复习预习
1. 简单的逻辑联结词 2. 全称量词与存在量词 3. 含有一个量词的否定

三、知识讲解 考点 1 简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词。 (2)不含逻辑联结词的命题叫简单命题; (3)由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。 注意:p∧q:两真才真,一假全假;p∨q:一真则真,两假才假;p 与?p 必定是一真一假。

考点 2 全称量词与存在量词及其否定
( 1 ) “ 对所有的 ”、 “ 对任意一个 ” 等词在逻辑中被称为全称量词,记作 “? ”,含有全称量词的命题叫做全称命题。 ( 2 )对于含有一个量词的全称命题 p : “ ?x ? M , p( x) ”的的否定是 ?p : “ ?x ? M , ?p( x) ” ( 3 ) “ 存在一个 ”、 “ 至少有一个 ” 等词在逻辑中被称为存在量词,记作 “? ” ,含有存在量词的命题叫做特称命题。 ( 4 )对于含有一个量词的特称命题 p : “ ?x ? M , p( x) ”的否定 ?p : “ ?x ? M , ?p( x) ”.

考点 3 常见结论的否定形式

四、例题精析
考点一 命题真假的判断 【例题 1】 判断下列命题的真假: (1)已知 a, b, c, d ? R, 若 a ? c, 或b ? d , 则a ? b ? c ? d .
2

(2) ?x ? N , x ? x
3

2

(3)若 m ? 1, 则方程 x ? 2 x ? m ? 0 无实数根; (4)存在一个三角形没有外接圆。

【答案】 (1)假命题;

(2)假命题;

(3)真命题;

(4)假命题
3 2

【解析】 (1)反例: 1 ? 4,或5 ? 2,而1 ? 5 ? 4 ? 2 ; (2)反例: x ? 0, x ? x 不成立; (3)因为 m ? 1 ? ? ? 4 ? 4m ? 0 ? 无实数根; (4)因为每个三角形都有唯一的外接圆

【例题 2】
x ?x x ?x 已知命题 p1 :函数 y ? 2 ? 2 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2 ? 2 在 R 为减函数,则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 :? ?p1 ? ? p2 和 q4 :

p1 ? ? ?p2 ? 中,真命题是(
A. q1 , q3

) B. q2 , q3 C. q1 , q4 D. q2 , q4

【答案】C
x ?x x ?x 【解析】因为 y ? 2 为增函数, y ? 2 为减函数,易知 p1 :函数 y ? 2 ? 2 在 R 为增函数是真命题,

p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数为假命题.故 q1 , q4 为真命题。

【例题 3】 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是“乙降落在指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指 定范围”可表示为( A. (?p) ∨ (?q) ) B. p ∨ (?q) C. (?p) ∧ (?q) D. p ∨ q

【答案】A 【解析】“至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”,可知选 A.

考点 2 命题的否定 【例题 4】 命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是____________________
2

【答案】“ ?x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ” 【解析】对于含有一个量词的特称命题 p : " ? x ∈ M , p(x)" 的否定 ┐p 是: " ? x ∈ M , ┐p(x)"

【例题 5】
2 2 已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。

【答案】 0 ? a ? 3 【解析】 ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10或x ? ?2, A ? x | x ? ?2或x ? 10

?

?

q : x2 ? 2x ?1? a2 ? 0,x ? 1? a或x ? 1? a, 记B ? ?x | x ? 1? a或x ? 1? a?
而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 ?a ? 0 ?

【例题 6】 已知命题 p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题 ? p 是真命题,那么实数 a 的取值范围是________.

1 【答案】(-∞,3] 【解析】∵命题 ? p 是真命题,∴命题 p 是假命题,而当命题 p 是真命题时,不等式 ax2+2x+3>0 对一切 x∈R 恒成立, 这时应有?

? ?a>0,

1 1 解得 a> .因此当命题 p 是假命题,即命题 ? p 是真命题时,实数 a 的范围是 a≤ . 3 3 ?Δ=4-12a<0, ?

五、课堂小结
1. 简单的逻辑联结词 2. 全称量词与存在量词 3. 含有一个量词的否定 4. 命题真假的判断


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