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高中数学 二项式定理精品课件同步导学_图文

? 1.3 二项式定理 ? 1.会证明二项式定理. ? 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. ? 3.能解决与二项展开式有关的简单问题. ? 1.二项式定理的证明.(难点) ? 2.利用通项公式求特定项或其系数.(重点) ? 3.二项式系数与二项展开式中某项的系数.(易混点) ? 牛顿善于在日常生活中思考,他取得了科学史上一个个重 要的发现.有一次,他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差 ,他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理,他抓住姑娘的手 指,错误地把它当成通烟斗的通条,硬往烟斗里塞,痛得姑 娘大叫,离他而去.牛顿也因此终生未娶. ? 那么,什么是二项式定理? ? 二项式定理的无穷魅力在哪里? ? 二项式定理 二项式定理 概念 公式 (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnr· an-rbr+…+ 称为二项式定理. Cnn· bn 二项 式 系数 二项 式 通项 二项 展 开式 Cn0an+Cn1· an-1· b+…+Cnran-r· br+…+Cnn· bn. Cnran-rbr是展开式中的第 各项的系数Cnr(r=0,1,2,…,n). r+1 项,可记作 Tr+1=Cnr· an-r· br. 备注:在二项式定理中,如果令a=1,b=x, 则得到公式(1+x)n= 1+Cn1x+Cn2x2+?+Cnrxr+?+ Cnnxn . ? 1.(1-x)10展开式中x3项的系数为( ? A.-720 ? C.-120 ? 解析: Tr+1=C10r(-x)r, B.720 D.120 ) ? 令r=3,则T4=-C103x3=-120x3. ? 答案: C ?1 ? 3 n 2.对于二项式? x+x ? (n∈N*),有以下四种判断: ? ? ①存在n∈N*,展开式中有常数项; ②对任意n∈N*,展开式中没有常数项; ③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项; ④存在n∈N*,展开式中有x的一次项. 其中正确的是( A.①与③ C.②与④ ) B.②与③ D.①与④ 解析: 二项式 - ?1 ? 3 n ? +x ? 的展开式的通项公式为Tr+1= ?x ? Cnrx4r n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈ N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项,故选D . ? 答案: D 3. 答). ? 1? ?2x- ? 2x? ? 6 的展开式的常数项是________(用数字作 解析: ? 1 ?6 由题知?2x-2x? 的通项为 ? ? Tk+1=(-1)kC6k26-2kx6-2k. 要求常数项,只需令6-2k=0,解得k=3. 故常数项为(-1)3C63=-20. ? 答案: -20 ? 4.已知(1-2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3项 1 0 ,求x的取值范围. ? ?C5 ?-2x?>C5 解析: 由题意可得? 1 2 2 ? ? ?C5 ?-2x?≥C5 ?-2x? 1 ? ?x<-10 ? ?-1≤x≤0 ? 4 1 1 ?-4≤x<-10. ? ? ?. ? ? ? ? ? 1 1 所以x的取值范围是?x?-4≤x<-10 ? ? ? 1 ? ? ? x- ?8 求? 4 ? 的展开式. 2 x? ? 1 ? ? ? x- ? [解题过程] 方法一: ? 4 ? 2 x? ? 8 =C80( x )8+ 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ?- ? ?2 ?8 2 6 ?- 8 ?- C81( x)7· + C ( x ) · + ? + C · 8 8 ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? ? 2 x? ? 2 x? ? 2 x? 1 1 13 1 2 5 1 3 7 1 4 1 5 1 4 =x -2C8 · x 4 + 4 C8 · x 2 - 8 C8 · x4 +16C8 x-32C8 x4 + 1 6 1 1 7 5 1 -2 C x- - C8 x- + x . 64 8 2 128 4 256 ? ? 方法二:? ? ? 3 ? 1 ? ?2· x -1? 1 38 ?8 ? 4 ?8 x- = 8 2(1-2· x ) 4 ?= 2 · x 4 2 x? ? 4 ? ? 2 x ? 1 1 3 2 2 3 3 3 9 7 7 21 = 256x2 (1-2· C8 x 4 +2 · C8 x 2 -2 · C8 x 4 +?-2 C8 x 4 +28C88· x6). ? [题后感悟] 方法二较为简单,在展开二项式之前根据二 项式的结构特征进行适当变形,可使展开多项式的过程简化 .记准、记熟二项式(a+b)n的展开式,是解答好与二项式定 理有关问题的前提,对较复杂的二项式,有时可先化简再展 开,会更简便. 1.(1)求(a+2b)4的展开式; ? 3 ?5 (2)求?2x-2x2? 的展开式. ? ? ? 解析: (1)(a+2b)4 ? =C40a4+C41a3(2b)+C42a2(2b)2+C43a(2b)3+C44(2b)4 ? =a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4. ? ? 3 ?5 3? 0 5 1 4 ?- 2?+ (2)方法一:?2x-2x2? =C5 (2x) +C5 (2x) · ? ? ? 2x ? C52(2x)3?- ? ? ? ? 3 ?2 3 ?3 3 ?4 3 2 4 2? +C5 (2x) ?- 2? +C5 (2x)?- 2? + 2x ? ? 2x ? ? 2x ? C55?- ? ? 3 ?5 2? 2x ? 2 180 135 405 243 =32x -120x + - 4 + 7 - 10. x x 8x 32x 5 ? 3 ?5 ?4x3-3?5 方法二:?2x-2x2? = 32x10 ? ?

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