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2三角函数(教师版)


第二讲 三角函数
知识点一:三角函数的定义及性质 1.[2010]函数 f (x)=2sinxcosx 是 (A)最小正周期为 2π 的奇函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 解析:本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π 的奇函数 2.[2010]下列函数中,周期为 ? ,且在 [ (A) y ? s in ( 2 x ? (C) y ? s in ( x ?
?
2

[C] (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (D)最小正周期为π 的偶函数

? ?
, 4 2

] 上为减函数的是

?
2 )

)

(B) y ? c o s( 2 x ? (D) y ? c o s ( x ?
?
2

?
2 )

)

解析:C、D 中函数周期为 2 ? ,所以错误 当x?[
? ?
, 4 2 ] 时, 2 x ?

?

? ? 3? ? ? ?, ,函数 y ? s in ( 2 x ? ) 为减函数 ? ? 2 2 2 ? ?

而函数 y ? c o s( 2 x ? 3.[2010]函数 f(x)= A.
?
2
2? 1 2

?
2

) 为增函数,所以选 A

3 s in (

x 2

?

?
4

), x ? R 的最小正周期为

B.x |=4π ,故 D 正确.

C.2 ?

D.4 ?

【解析】由 T=|

4. (2011 全国新课标文) (7)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 co s 2? = (A) ?
4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

5.(2011 全国新课标文) (11)设函数 f ( x ) ? sin ( 2 x ? (A) y ? f ( x ) 在 (0 , (B) y ? f ( x ) 在 (0 , (C) y ? f ( x ) 在 (0 , (D) y ? f ( x ) 在 (0 ,
?
2

?
4

) ? co s( 2 x ?

?
4

) ,则

) 单调递增,其图象关于直线 x ?

?
4

对称

?
2

) 单调递增,其图象关于直线 x ?

?
2

对称

?
2

) 单调递减,其图象关于直线 x ?

?
4

对称

?
2

) 单调递减,其图象关于直线 x ?

?
2

对称
??

6. (2011 山东文)6.若函数 f ( x ) ? sin ? x (ω>0)在区间 ? 0 , ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减, ? 3? ?3 2?
1

?

? ?

? ?

则 ω= (A)
2 3

(B)

3 2

(C) 2

(D)3
??x ? ? ? 2 sin ? ? ? (0 ? x ? 9 ) 3 ? ? 6

7.【2012 高考山东文 8】函数 y (A) 2 ? 【答案】A
3

的最大值与最小值之和为

(B)0

(C)-1

(D) ? 1 ?

3

【解析】因为 0 ? x ? 9 ,所以 0 ?
?
6 x?

?
6

x ?

9? 6

,?
?
3

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

9? 6

?

?
3

,即 ?

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

7? 6

,所

以当

?
3

? ?

?
3

时,最小值为 2 sin( ?
3 ,选 A.

) ? ?

3 ,当

?
6

x?

?
3

?

?
2

时,最大值为 2 sin

?
2

? 2 ,所

以最大值与最小值之和为 2 ?

8.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x ) ? s in (A)
?
2

x?? 3

(? ? [0 , 2 ? ]) 是偶函数,则 ? ? 3? 2

(B)

2? 3

(C)

(D)

5? 3

【答案】C
x?? 3 x 3

【解析】 函数 f ( x ) ? sin 所以 ? ?
3? 2

? sin(

?

?
3

), 因为函数 f ( x ) ? sin(

x 3

?

?
3

) 为偶函数, 所以

?
3

?

?
2

? k? ,

? 3 k ? , k ? Z ,又 ? ? [ 0 , 2 ? ] ,所以当 k ? 0 时, ? ?

3? 2

,选 C.

9.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x=
?
4

?
4

)的图像的一条对称轴是 D.x=?
2

B.x=

?
2

C.x=-

?
4

【答案】C. 【 解 析 】 因 为 y ? sin x 的 对 称 轴 为 x ? k ? ?
x?

?
2

, k ? Z , 所 以 f ( x ) ? sin( x ?

?
4

) 的对称轴为

?
4

? k? ?

?
2

, k ? Z ,即 x ? k ? ?

3? 4

, k ? Z ,当 k ? ? 1 时,一条对称轴是 x ? ?

?
4

.故选 C.

10.【2012 高考全国文 15】当函数 y ? sin x ? 【答案】
5? 6

3 co s x (0 ? x ? 2 ? ) 取得最大值时, x ? ___________.

【解析】函数为 y ? sin x ? 角函数图象可知,当 x ?
?
3 ?

3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

) ,当 0 ? x ? 2 ? 时, ? 5? 6

?
3

? x?

?
3

?

5? 3

,由三

?
2

,即 x ?

5? 6

时取得最大值,所以 x ?

.

知识点二:三角公式应用—诱导公式和恒等变换 1. [2010]已知 s in ? ?
2 3
2

,则 cos( ? ? 2? ) ?

(A) ?

5 3

(B) ?

1 9

(C)

1 9

(D)

5 3

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,
c o s( ? ? 2 ? ) ? ? c o s 2 ? ? ? (1 ? 2 sin ? ) ? ?
2

1 9

∴ 2.【2010】计算 1 ? 2 sin 2 2 .5 的结果等于(
1 2
?

)
3 3 3 2

A.

B.

2 2

C.

D.

【答案】B 【解析】原式= c o s 4 5 = 3.【2010】 co s 3 0 0 ? ? (A) ?
3 2
?

2 2

,故选 B.

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2
1 2

【解析】 c o s 3 0 0 ? ? c o s ? 3 6 0 ? ? 6 0 ? ? ? c o s 6 0 ? ?

4(2011 湖北文)6.已知函数 f( )? 3i x cs , ? ,若 f ( x ) ? 1 ,则 x 的取值范围为 x s ?oxx R n A. ? |2? x k ? ? ? k ? ,k Z x 2? ? ? ?
? 3 ? ?

?

?

B. ? |k ? ? ? ?? ,k? ? x ? x k ? Z
? 3 ?

?

?

?

C. ? |2? x k ? ? ?k ? x 2?
? 6

?

?

5 ? ? ,k Z ?? 6 ?

D. ? |k ? ? ? ? x ? x k ?
? 6
1 4

?

?

5 ? ? ,k Z ?? 6 ?

5.(2011 福建文)9.若 a∈(0,
2 2

?
2

) ,且 sin2a+cos2a=

,则 tana 的值等于

A. 答案:D

B.

3 3

C.

2

D.

3

6.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, s in ? ? (A) ?
24 25

3 5

,则 sin 2 ? ? (D)
24 25
4 5

(B) ?

12 25

(C)

12 25

【答案】B
2 【解析】因为 ? 为第二象限,所以 cos ? ? 0 ,即 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ?

,所以

sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? ?

4 5

?

3 5

? ?

12 25

,选 B.

3

7.【2012 高考重庆文 5】

s in 4 7 ? s in 1 7 c o s 3 0 cos 17
?

?

?

?

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

【答案】C

【解析】

sin 4 7 ? sin 1 7 c o s 3 0 cos 17
?

?

?

?

?

sin (3 0 ? 1 7 ) ? sin 1 7 c o s 3 0 cos 17
?

?

?

?

?

?

sin 3 0 c o s 1 7 ? c o s 3 0 sin 1 7 ? sin 1 7 c o s 3 0 cos 17
?

?

?

?

?

?

?

?

sin 3 0 c o s 1 7 cos 17
?

?

?

? sin 3 0 ?

?

1 2

,选 C.

8.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? co s ? ?
2 2

2 , ? ? (0,π ),则 sin 2 ? =
2 2

(A) ? 1 【答案】A

(B) ?

(C)

(D) 1

【解析】? sin ? ? co s ? ? 9.【2012 高考江西文 4】若 A. 3 4

2 ,? (sin ? ? co s ? ) ? 2, ? sin 2 ? ? ? 1, 故选 A
2

s in ? ? c o s ? s in ? ? c o s ? 4 3

?

1 2

,则 tan2α=

B.

3 4

C. -

4 3

D.

【答案】B
sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?
2

【 解 析 】 由
t a 2? ? n 2t a? n

? ?

1 2 3 4

, 得 2 ( s i n? c o ? ) ? s i ? ? c o ? , 即 t a ? ? ? 3 。 又 ? s n s n ,选 B.

1? t a n ?

?

?6 1? 9

?

6 8

知识点三:图像变换 1. 【2010】 ? ? 0 ,函数 y ? s in ( ? x ? 设
?
3 ) ? 2 的图像向右平移 4? 3

个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值是 (A)
2 3

(B)

4 3
2?

(C)
? 4? 3

3 2

(D) 3
3 2 .

解析:选 C.由已知,周期 T ?

?

,? ? ?

( 2.【2010】 右 图 是 函 数 y ? A sin ? x + ? ) ( x ? R ) 在 区 间 ? ?
4

? ?

5? ? , 上的图象, 为了得到这个函数 6 6 ? ?

的图象,只要将 y ? sin x ( x ? R ) 的图象上所有的点 (A)向左平移
?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
?
3

1 2

倍,纵坐标不变

(B) 向左平移 (C) 向左平移 (D) 向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1 2

?
6

倍,纵坐标不变

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识,属于中等题。 由图像可知函数的周期为 ? ,振幅为 1,所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ? ).代入(一个值为
?
3

?
6

,0)可得 ? 的

,故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+
?
6

?
3

),即 y=sin2(x+

?
6

),所以只需将 y=sinx(x∈R)
1 2

的图像上所有的点向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
?
10

倍,纵坐标不变。

3.【2010】将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长

到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是高^考#资*源^网 (A) y ? s in ( 2 x ? (C) y ? s in (
1 2 x?

?
10

) )

(B) y ? s in ( 2 x ? (D) y ? s in (
1 2

?
5

)

?
10

x?

?
20

)

解析: 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 -
?
10

?
10

个单位长度, 所得函数图象的解析式为 y=sin(x

)

w_w w. k#s5_u.c o*m

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)所得图像的函数解析式是 y ? sin ( , 答案:C ( 4 2011 辽宁文)12) ( 已知函数 f ( x ) =Atan ? x+ ? ) ? ? 0 , | ? |? ( ( (A)2+ 3
3 3
?
2

1 2

x?

?
10
?
24

).

)y= f ( x ) 的部分图像如下图, f ( , 则

)?

(B) 3

(C)

(D) 2 ?

3

5(2011 湖南文)7.曲线 y ?

s in x s in x ? c o s x

?

1 2

在点 M (
5

?
4

, 0 ) 处的切线的斜率为(



A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2

答案:B 解析: y ' ?
c o s x (sin x ? c o s x ) ? sin x (c o s x ? sin x ) (sin x ? c o s x )
1 (s in ? )
2

2

?

1 (sin x ? c o s x )
2

,所以

y '|

x?

?
4

?

1 2

?
4

? cos

?
4



6. 【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos( 2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 【答案】C 【解析】 y ? co s 2 x ? y ? co s( 2 x ? 1) 左+1,平移
1 2 1 2

(B) 向右平移 1 个单位 (D) 向右平移
1 2

个单位

个单位



7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然 后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【答案】A 【解析】由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,即解析式为 y=cosx+1,向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos(x-1),利用特殊点 ?
?? ? ? 1, 0 ? ,选 A. ? 2 ? ?? ? ,0?变 ? 2 ?

为?

知识点四:解三角形 1.【2010】若△ A B C 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 : 1 1 : 1 3 ,则△ A B C (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形. (C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 解析:由 sin A : sin B : sin C ? 5 : 1 1 : 1 3 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 cos c ?
5 ? 11
2 2

? 13

2

2 ? 5 ? 11

? 0 ,所以角 C 为钝角

6

2.【2010】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c= 2 a,则 A.a>b C. a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

3. (2011 重庆文)8.若△ A B C 的内角, A , B , C 满足 6 sin A ? 4 sin B ? 3 sin C ,则 co s B ?
15 4
3 4

A.

B.

C.

3 15 16

D.

11 16

4. ( 2011 浙 江 文 ) 5 ) 在 ? A B C 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 a , b , c . 若 a co s A ? b sin B , 则 (
s i nA c o A? s c o B? s
2

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C) -1

(D) 1

【答案】D 【解析】∵ a cos A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin ∴ sin A cos A ? cos
2 2

B,

B ? sin

2

B ? cos

2

B ?1.

5.(2011 全国新课标文) (15) ? A B C 中, B ? 1 2 0 ? , A C ? 7 , A B ? 5 ,则 ? A B C 的面积为________.
15 4 3

答案:

_
2 2 2

6.【2012 高考上海文 17】在△ A B C 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则△ A B C 的形状是( A、钝角三角形 【答案】A 【解析】根据正弦定理可知由 sin A?sin B ? sin C ,可知 a ?b ? c
2 2 2 2 2 2



B、直角三角形

C、锐角三角形

D、不能确定

,在三角形中

cos C ?

a

2

?b

2

?c

2

? 0 ,所以 C 为钝角,三角形为钝角三角形,选 A.

2 ab
7

7.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于
3 2 3 3 2 3? 2 6 3? 4 39

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】设 A B ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 A C ? A B ? B C ? 2 A B ? B C ? co s B ,
2 2 2

即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? co s 6 0 , c ? 2 c ? 3 ? 0, 即 ( c - 3)( c ? 1) = 0 .又 c ? 0,? c ? 3 .
2

?

2

设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S ? A B C ?
1 2 1 2

1 2

A B ?B C ?sin B ?

1 2

B C ?h ,知

? 3 ? 2 ? s in 6 0 ?

?

? 2 ? h ,解得 h ?

3 3 2

.

? ? 8.【2012 高考广东文 6】在△ A B C 中,若 ? A ? 6 0 , ? B ? 4 5 , B C ? 3 2 ,则 A C ?

A. 4 3 【答案】B

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

【解析】根据正弦定理,

BC s in A

?

AC s in B

,则 A C ?

B C ? sin B sin A

3 2? ? 3 2

2 2 ? 2 3.

9.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= 【答案】 90 ? 【解析】在△ABC 中,利用正弦定理
a sin A ? b sin B

?
3

,则∠C 的大小为_________。

,可得

3 sin

?
3

?

3 sin B

? sin B ?

1 2

,所以 B ? 30 ? 。

再利用三角形内角和 180 ? ,可得 ? C ? 90 ? .
c o 10. 【2012 高考重庆文 13】 设△ A B C 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c , a = 1 ,b = 2 ,s C 且 ? 1 4



则 sin B ? 【答案】
15 4

【解析】由余弦定理得 c ? a ? b ? 2 ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ?
2 2 2

1 4

? 4 ,所以 c ? 2 。所以 b ? c , B ? C ,

即 sin B ? sin C ? 知识点五:解答题

1 2 1? ( ) ? 4

15 4

.

8

2 2 2 1.【2010】设 ? A B C 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .

(Ⅰ) 求 sinA 的值;
2 s in ( A ?

?

) s in ( B ? C ?

?
4

)

(Ⅱ)求

4 1 ? cos 2 A

的值.

2.【2010】已知函数 f ( x ) ? 2 co s 2 x ? sin x
2

(Ⅰ)求 f (

?
3

) 的值;

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值 解: (Ⅰ) f (
?
3 ) ? 2 co s 2? 3
2

? sin

2

?
3

= ?1 ?
2

3 4

? ?

1 4

(Ⅱ) f ( x ) ? 2 ( 2 co s x ? 1) ? (1 ? co s x )
? 3 co s x ? 1, x ? R
2

因为 co s x ? ? ? 1,1 ? ,所以,当 co s x ? ? 1 时 f ( x ) 取最大值 2;当 co s x ? 0 时, f ( x ) 去最小值 -1。 3.【2010】在 ? ABC 中, (Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 co s A =1 3 AC AB ? cos B cos C



,求 sin ? 4 B ?
?

?

? ?

? 的值。 3 ?
s in B s in C
9

(Ⅰ)证明:在△ABC 中,由正弦定理及已知得

=

cosB cosC

.于是 sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin

(B-C)=0.因为 ? ? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C. (Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA=
2 3 4 9 2
7 9 1 3

.

又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? co s 2 B =
2

2

.

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

,cos4B= c o s 2 B ? s in 2 B ? ?
2 2

.

所以 sin ( 4 B ?

?
3

) ? sin 4 B co s

?
3

? co s 4 B sin

?
3

?

4 2 ?7 3 18

4.(2011 广东文)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 s in ( x ?
3 1

?
6

),x? R .

(1)求 f (0 ) 的值;
?

(2)设 ? , ? ? ? 0, ? , f (3? ? ) ? , f (3 ? ? 2 ? ) ? ,求 sin (? ? ? ) 的值. 2 13 5 ? 2? 解: (1) f (0 ) ? 2 sin ( ? (2) f (3? ?
?
2

? ?

?

10

6

?
6

) ? ?1 1 3 1 3 (3? ?

) ? 2 sin [

?
2

)?

?
6

] ? 2 sin ? ?

10 13

,即 s in ? ?
?
2 )? 6 5

5 13 3 5

f (3 ? ? 2 ? ) ? 2 s in [

(3 ? ? 2 ? ) ?

?
6

] ? 2 s in ( ? ?

,即 c o s ? ?

∵? , ? ? ? 0, ? , ? 2? ∴ cos ? ?
1 ? s in ? ?
2

?

? ?

12 13

, s in ? ?

1 ? cos ? ?
2

4 5 4 5 63 65

∴ sin (? ? ? ) ? sin ? c o s ? ? c o s ? sin ? ? 5.(2011 安徽文) (16) (本小题满分 13 分)

5 13

?

3 5

?

12 13

?

?

在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b= 2 ,1 ? 2 co s( B ? C ) ? 0 ,求 边 BC 上的高. (16) (本小题满分 13 分)本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,利用正弦定理或余弦 定理解三角形,以及三角形的边与角之间的对应大小关系,考查综合运算求和能力. 解:由 1 ? 2 cos( B ? C ) ? 0 和 B ? C ? ? ? A ,得
1 2 3 2

1 ? 2 cos A ? 0 , cos A ?

, sin A ?

.

10

再由正弦定理,得 sin B ?

b sin A a

?

2 2

.

由 b ? a 知 B ? A , 所以 B 不是最大角

,B ?

?
2

, 从而 cos B ?

1 ? sin B ?

2 2

.

由上述结果知 sin C ? sin( A ? B ) ?

2 2

(

3 2

?

1 2

).

设边 BC 上的高为 h,则有 h ? b sin C ? 6.(2011 北京文)15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 4 c o s x sin ( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期:
? ?

3 ?1 2

.

?
6

) ?1.

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
6

,

? ?
4? ?

上的最大值和最小值.
?
6

解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 4 cos x sin( x ?
3 2 1 2
2

) ?1

? 4 cos x (

sin x ?

cos x ) ? 1

?
?

3 sin 2 x ? 2 cos

x ?1

3 sin 2 x ? cos 2 x

? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f ( x ) 的最小正周期为 ? (Ⅱ)因为 ?
?
6 ? x ? ?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? 3

.

于是,当 2 x ? 当2x ?
?
6 ? ?

?
6

?
2

,即 x ?

?
6

时, f ( x ) 取得最大值 2;

?
6

,即 x ? ?

?
6

时 , f ( x ) 取得最小值—1.

7.(2011 湖南文)17. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 且满足 c sin A ? a co s C . (I)求角 C 的大小; (II)求 3 s in A ? c o s ( B ?
?
4 ) 的最大值,并求取得最大值时角 A , B 的大小.

解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A co s C .
11

因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0 .从 而 sin C ? c o s C .又 c o s C ? 0 , 所 以 ta n C ? 1, 则 C ? (II)由(I)知 B ?
3? 4 ? A . 于是

?
4

3 sin A ? c o s( B ? ?

?
4

)?

3 sin A ? c o s( ? ? A )

3 sin A ? c o s A ? 2 sin ( A ? 3? 4 ,?

?
6

). ,从 而 当 A ?

?0? A?

?
6

? A?

?
6

?

1 1? 12

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

时,

2 s in ( A ?

?
6

) 取最大值 2.

综上所述, 3 s in A ? c o s ( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? 12

.

8.(2011 天津文)16. (本 小题满分 13 分) 在△ A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 B ? C , 2 b ? (Ⅰ)求 co s A 的值; (Ⅱ) c o s ( 2 A ?
?
4 ) 的值.

3a.

(16)本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公 式等基础知识,考查基本运算能力,满分 13 分。 (Ⅰ)解:由 B ? C , 2 b ?
3a , 可 得 c ? b ? 3 2 a

3

所以 co s A ?

b ?c ?a
2 2

2

a ?
2

3 4

a ?a
2

2

?

4 2? 3 2

? 3 2 a

1 3

.

2bc

a?

(Ⅱ)解:因为 c o s A ?

1 3

, A ? (0 , ? ) ,所以 sin A ?

1 ? cos A ?
2

2 3

2

cos 2 A ? ?2 cos A ? 1 ? ?
2

7 9

.故 sin 2 A ? 2 sin A c o s A ?

4 9

2

.

2 所 以 c o?s A ? ?

?

?
4

? ? ? ?

cA s 2 o 4

?

?c o s A

?

4 2 ?7 ? 2 s i ?? 2? ? s i? n n ? 4 9? 2 9 ?

2 ? 2

?

8 7 2 ? ? 26.9. 1 8

【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

bsinA=

3 acosB。

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【答案】
12

【解析】 (1) ? bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ?
?B ?

3 sin A co s B ,即得 tan B ?

3 ,

?
3

.
2 2 2

( 2 ) ? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2 a , 由 余 弦 定 理 b ? a ? c ? 2 a c co s B ,
9 ? a ? 4 a ? 2 a ? 2 a cos
2 2

?
3

,解得 a ?

3 ,? c ? 2 a ? 2 3 .

10.【2012 高考安徽文 16】 (本小题满分 12 分) 设△ A B C 的内角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c , ,且有
2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 B C 的中点,求 A D 的长。 【答案】 【解析】

11.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 sin B (tan (Ⅰ)求证: a , b , c 成等比数列; (Ⅱ)若 a
? 1, c ? 2

A ? tan C ) ? tan A tan C

.

,求△ A B C 的面积 S.

【答案】 (I)由已知得:
sin B (sin A co s C ? co s A sin C ) ? sin A sin C sin B sin ( A ? C ) ? sin A sin C sin B ? sin A sin C
2






13

再由正弦定理可得: b 2 所以 a , b , c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b 2 ∴ co s B
? a ?c ?b
2 2 2

? ac



? ac ? 2



?

3 4



2ac
sin C ? 1 ? cos C ?
2

7 4


1 2 7 4 7 4

∴△ A B C 的面积 S

?

1 2

a c sin B ?

?1? 2 ?

?

.

12.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? )( x ? R , ? ? 0 , 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x ) ? f ( x ?
?
12 ) ? f (x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?
12

) 的单调递增区间.

【答案】 【解析】 (Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2 ( 因为点 (
5? 12 1 1? 12 , 0 ) 在函数图像上,所以 A s in ( 2 ? 5? 12 ? 5? 12 ? ? ) ? 0 , 即 s in ( ) ? ? ,? ? ? 2? T 5? 6 ??) ? 0. ? 2.

又? 0 ? ? ?

?
2

,?

5? 6

?

5? 6

?? ?

4? 3

,从 而

5? 6

? ? =?, ? = 即

?
6

.
?
6 ).

( 又点 0 ,1 ) 在函数图像上,所以 A s in

?
6

? 1, A ? 2 ,故函数 f(x)的解析式为 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?

? ? ? ? ? ? g ( x ) ? 2 s in ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2 s in (Ⅱ) 12 ? 6 ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 ? x ? 12 ? 6 ? ? ?

? 2 s in 2 x ? 2 s in ( 2 x ?

?
3

)

? 2 s in 2 x ? 2 (

1 2

s in 2 x ?

3 2

cos 2 x)

? sin 2 x ?

3 co s 2 x

14

? 2 s in ( 2 x ?

?
3

), ? 2x ?

由 2k? ?

?
2

?
3

? 2k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? 12

, k ? z.

? 5? ? ? , k? ? , k ? z. ? g ( x ) 的单调递增区间是 k ? ? ? 12 12 ? ? ?

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期 T ? 2 (
? ?
2? T

1 1? 12

?

5? 12

) ? ? , 从而求得

? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A ,从而求出 f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角

恒等变换及 y ? A sin (? x ? ? ) 的单调性求得. 13.【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? c o s
2

x 2

? sin

x 2

cos

x 2

?

1 2



(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?
3 2 10

,求 sin 2 ? 的值。

命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识,考查基本运算 能力以及化归与转化的数学思想. 【解析】

15


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