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高中数学上课用PPT-圆的标准方程1


问题1:具有什么性质的点的轨迹称为圆? 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆. 问题2:图中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么 性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点? 圆心C是定点,圆周上的点M是 y 动点,它们到圆心距离等于定长 r M |MC|=r,圆心和半径分别确定了圆 C 的位置和大小. x o

y
问题3:求曲线的方程的一般步骤是什么? 其中哪几个步骤必不可少?

C

r M x

o (1)建立适当的坐标系,用有序实数对例如(x,y)表示曲 线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件 p 的点M的集合P={M|p(M)}; (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

其中步骤(1)(3)(4)必不可少.

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.

求圆心是C(a, b),半径是r的圆的方程。
解:设M(x,y)是圆上任意一点, 根据圆的定义|MC|=r 由两点间距离公式,得

y C o r M x

? x ? a?

2

? ? y ? b? ? r
2



说明: 1.特点:明确给出了圆心和 半径。 2.确定圆的方程必须具备三个 独立的条件。

把①式两边平方,得

? x ? a?

2

? ? y ? b? ? r
2

2

练习 1.写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是3; 2 2

x ? y ?9
2

(2)圆心在点C(3,4),半径是 5 ;

? x ? 3?
? x ? 8?
2

? ? y ? 4? ? 5
2
2

(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)

? ? y ? 3? ? 25

练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径 (1)

? x ? 1?
2

2

?y ?6
2
2

?1, 0?
? ?a,0?

6
3

(2) x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 9 ?

(-1,2)

x ? a ? ? y2 ? a2 (3) ?
2

|a|

例1.求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆 的方程。
解:设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切, 所以圆心到直线的距离等于半径r 根据点到直线距离公式,得
y C r o M x

r?

3 ?1 ? 4 ? 3 ? 7 32 ? (?4) 2
2

16 ? 5

因此,所求的圆的方程是

? x ? 1?

? ? y ? 3?

2

256 ? 25

解决切线问题
[例2]圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切 线方程。 通过前两例,让学生大胆猜想一般给论。 [例3] 已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点P(xo,yo) 的切线的方程。 学生运用观察、类比自主给出证明。 归纳总结:圆的方程可看成 x*x+y *y=r2,将其中一个x、y用 切点的坐标xo、yo 替换,可得到切线方程:xo x+ yo y=r2 问题延伸:点P(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2= r2上,試求过P 点的圆的切线方程。

y

例2.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上 一点M(x0,y0)的切线的方程. 解:如图,设切线的斜率为k 半径OM的斜率为k1,

r o

M (x 0 ,y 0 ) x

x0 y0 ?k ? ? ? k1 ? x0 y0
经过点M的切线方程是

因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是

1 k?? k1

整理得,x0x+y0y=x02+y02 因为点M(x0,y0)在圆上,所以x02+y02=r2 所求切线方程是x0x+y0y=r2 当点M在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用.

x0 y ? y0 ? ? ? x ? x0 ? y0

例2.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上

y

一点M(x0,y0)的切线的方程. 解法二(利用平面几何知识):
在直角三角形OMP中 由勾股定理:|OM|2+|MP|2=|OP|2

P(x , y )
M ( x0 , y0 )
O

x

x0x +y0 y = r2

例2.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上y 一点M(x0,y0)的切线的方程. 解法三(利用平面向量知识):

P(x , y )
M ( x0 , y0 )

OM

MP

OM MP= 0

O

x

x0x +y0 y = r2

练习3.写出过圆x2+y2=10上一点M 2, 6 的切线的方程

?

?

2 x ? 6 y ? 10

练习4.已知圆的方程是x2+y2=1,求 (1)斜率等于1的切线的方程; (2)在y轴上截距是 2 的切线的方程。 提示:设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半 径1,得: |b| =1 解得b=± 2 12+(-1)2

所以切线方程为:y = x± 2
(2)在y轴上截距是 2 的切线方程. y = ± x+ 2

例3.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑, 求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) y 解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程 是x2+(y-b)2=r2 。 x 把P(0,4)、 B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 解得:b= -10.5 102+(0-b)2=r2 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52

r2=14.52

y

所以圆的方程是:

x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得

x

(-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答:支柱A2P2的长度约为3.86m.

小结: (1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为: x2 + y2 = r2

(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,因此 必须具备三个独立的条件才能确定圆;对于由已知条件容 易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问 题一般采用圆的标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解 决实际问题。

课后思考题:

1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 4 2 50 4 2 (x+ ) +(y+ )= 3 9 3
2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线,求切线方 程。

x+3y=10 或 3x-y=10

3.圆心在y=-x上,且过两点(2,0),(0,-4)的圆的方程.

?x ? 3? ? ? y ? 3?
2

2

? 10.

4.圆心在直线2x+y=0上,且与直线x+y-1=0切于点(2,-1) 的圆的方程.

?x ?1? ? ? y ? 2?
2

2

? 2.

5.圆心在直线5x-3y=8上,且与坐标轴相切的圆的方程.

?x ? 4? ? ? y ? 4?
2

2

? 16或?x ?1? ? ? y ?1? ? 1.
2 2


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