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2.7 函数的图象


双击自测

核心考点

学科素养

2.7

函数的图象

考纲要求

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核心考点

学科素养

-2-

考纲要求:1.掌握基本初等函数的图象的特征,能熟练运用基本初等 函数的图象解决问题. 2.掌握图象的作法:描点法和图象变换法. 3.会运用函数图象理解和研究函数性质,解决方程解的个数或与不 等式相关的问题.

知识梳理

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-3-

1.利用描点法作函数图象的流程

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-4-

2.函数图象间的变换 (1)平移变换

对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上 加下减.

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-5-

(2)对称变换

(3)伸缩变换

y=f(x) y=f(x)

y=f(ax). y=Af(x).

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-6-

3.常用结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称. (3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足f(a+x)=f(a-x),则函 数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

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1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)将函数y=f(x)的图象先向左再向下各平移1个单位得到函数 y=f(x+1)+1的图象. ( × ) (2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同. ( × ) (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. ( √ ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1 对称. ( √ ) (5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图 象. ( × )

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-8-

1 2 3 4 5

2.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则 下列结论成立的是( ) A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1

关闭

由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y>0,即

logac>0,所以0<c<1.
D 解析

关闭

答案

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-9-

1 2 3 4 5

3.函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为(

)

关闭

因为f(-x)=f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 所以f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=logax+1(0<a<1)单调递减,并由y=logax的
关闭

图象向上平移 1个单位而得到.故选A. A
解析 答案

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1 2 3 4 5

4.(教材习题P112T2)点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的图 形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如 图,那么点P所走的图形是 ( )

关闭

由题意可知,当P位于A,B图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部 是曲线,由此可排除A,B,对于D,由于OP不是椭圆的对称轴,其图象变化不 会是对称的 ,由此排除D. D
解析 答案
关闭

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-11-

1 2 3 4 5

5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围 是 .

关闭

在同一个坐标系中画出函数 y=|x|与 y=a-x 的图象 ,如图所示 . 由图象知 ,当 a>0 时 ,方程 |x|=a-x 只有一个解 .

关闭

(0,+∞)
解析 答案

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-12-

1 2 3 4 5

自测点评 1.在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y变换”的原则. 2.注意含绝对值符号的函数图象的对称性,如y=f(|x|)与y=|f(x)|的 图象一般是不同的. 3.不可混淆条件“f(x+1)=f(x-1)”与“f(x+1)=f(1-x)”的区别,前者可 得f(x)的周期为2,后者可得f(x)的图象关于直线x=1对称.

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-13-

考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混

考点1作函数的图象 例1分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; lg, ≥ 1, x+ 2 (1) 图象如图 1. (2) y=y= 2 ; -lg,0 < < 1. 2 (3) y=x 2|x|. (2) 将-y= 2x1 的图象向左平移 2 个单位 .图象如图 2.
2 -2-1, ≥ 0, (3)y= 2 图象如图 3. + 2-1, < 0.

关闭

答案

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-14-

考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混

思考:作函数的图象一般有哪些方法? 解题心得:作函数图象的一般方法: (1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等 函数时,就可根据这些函数的特征直接作出. (2)图象变换法.变换包括:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻 折变换. (3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过 描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、 奇偶性等性质作出.

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考点1

考点2

考点3

知识方法

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对点训练1 作出下列函数的图象: (1)y=10|lg x|;
+2 (2)y= . -1

解 :(1)当 x≥1 时 ,lg x≥ 0,y=10|lg x|=10lg x=x; 当 0<x<1 时 ,lg x<0, y=10
| lg x|

∴y=

=10 =10 , ≥ 1,
- lg x

lg

1

= .


1

1

,0 < < 1.

这是分段函数,每段函数的图象可根据正比例 函数或反比例函数图象作出(如图).

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-16-

考点1

考点2

考点3

知识方法

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(2)y=

+2 -1

=1+

3 -1

,先作出 y= 的图象,将其图象向右平移 1 个单
+2 -1

3

位 ,再向上平移 1 个单位,即得 y=

的图象,如图 .

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-17-

考点1

考点2

考点3

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考点2知式判图、知图判图问题 例2(1)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是(

)

关闭

∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x),

∴f(x)是偶函数,排除C.
∵x2+1≥1,则ln(x2+1)≥0,且当x=0时f(0)=0,
所以排除 B,D,选A. A
解析 答案
关闭

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-18-

考点1

(2)函数y= -2sin x的图象大致是( 2

考点2

考点3

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)

关闭

由 f(-x)=-f(x)知,函数 f(x)为奇函数,所以排除 A;又 f'(x)= -2cos x ,当 x=2π 时,f'(2π)= -2cos 2π=- <0,所以 x=2π 应在函数的减区间上,所以 选 C C.
2 2 1 3 2
关闭

1

解析

答案

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-19-

考点1

考点2

考点3

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(3)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(2-x)的图象为( )
关闭

(方法一)由 y=f(x)的图象知 f(x)=

,0 ≤ ≤ 1, 1,1 < ≤ 2.

当 x∈[0,2]时 ,2-x∈[0,2], 1,0 ≤ ≤ 1, 所以 f(2-x)= 2-,1 < ≤ 2, -1,0 ≤ ≤ 1, 故 y=-f(2-x)= -2,1 < ≤ 2. 所以选 B. (方法二)当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1; B x=1 时 ,-f(2-x)=-f(1)=-1. 当
解析

关闭

答案

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-20-

考点1

考点2

考点3

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思考:已知函数解析式应从哪些方面对函数的图象进行判断辨识? 解题心得:函数图象的辨识可从以下方面入手: (1)从函数的定义域判断图象左右的位置;从函数的值域判断图象 的上下位置. (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性. (4)从函数的周期性判断图象的循环往复. (5)必要时可求导研究函数性质,从函数的特征点,排除不合要求 的图象. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.

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-21-

考点1

考点2

考点3

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对点训练2 (1)(2015北京海淀区质检)函数f(x)=2x+sin x的部分 图象可能是( )

关闭

因为x∈R,f(-x)=-2x-sin x=-f(x),所以函数图象关于原点对称,又f'(x)=2+cos

x>0,所以函数单调递增,因此选A.
A 解析

关闭

答案

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-22-

考点1

考点2

考点3

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(2)已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)· g(x)的部分 图象可能是( )

关闭

由已知图象可知,函数 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以函数 y=f(x)· g(x)是奇函数,并且当 x∈ -π,π 2

时 ,f(x)· g(x)<0,当 x∈ - ,0
2
关闭

π

时,f(x)· g(x)>0,同时 y=f(x)· g(x)在 x=0 处无定义, A 所以选 A.
解析

答案

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-23-

考点1

考点2

考点3

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(3)函数 y=

cos6 2 -2-

的图象大致为(

)

关闭

∵y=f(x)= ∴f(-x)=

cos6

2 -2- cos (-6 ) 2- -2

,

=-f(x),
cos6

∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除选项 A;
当 x 从正方向趋近 0 时 ,y=f(x)= 当 D x 趋近 +∞时 ,y=f(x)=
cos6 2 -2- 2 -2-

趋近 +∞,排除选项 B;
关闭

趋近 0,排除选项 C.故选 D.
解析

答案

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-24-

考点1

考点2

考点3

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考点3函数图象的应用(多维探究) 类型一 利用函数图象确定方程的根的个数 例3已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,g(x)=|lg x|, 那么方程f(x)=g(x)的解的个数共有( ) A.10个 B.9个 关闭 根据 x个 )的性质及 f(x)在 [-个 1,1]上的解析式 ,可作图如下: Cf.( 8 D.1
思考:函数图象与方程的根的个数有何关系?
可验证当 x=10 时 ,y=|lg 10|= 1; 当 0<x<10 时 ,|lg x|<1; 当 x>10 时 ,|lg x|>1. A 结合图象知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象交点共有 10 个 .
解析

关闭

答案

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-25-

考点1

考点2

考点3

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类型二 利用函数图象求参数的取值范围 例4(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取 关闭 值范围是 . 2 -2, ≥ 1, x 函数 f ( x ) 的零点个数即为函数 g ( x ) =| 2 2 |= 的图象与直 思考:若已知含参数的方程根的情况,如何求参数的范围 ? 2-2 , < 1 线 y=b 的交点个数 . 如图 ,分别作出函数 y=g(x)与直线 y=a 的图象 ,由图可知 ,当 0<a<2 时 ,直线 y=a 与 y=g(x)有两个交点 . 所以 a 的取值范围为(0,2).

关闭

(0,2)
解析 答案

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-26-

考点1

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类型三 利用函数图象求不等式的解集 例5如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的 如图 ,作出函数 解集是 ( ) f(x)与 y=log2(x+1)的图象 . A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}
易知直线 BC 的方程为 y=-x+2,由 = - + 2, 得 D 点坐标为 = log2 ( + 1)

关闭

(1,1). 由图可知 ,当 -1<x≤1 时 ,f(x)≥log2(x+1), C 所以所求解集为 {x|-1<x≤1}.

关闭

解析

答案

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-27-

考点1

考点2

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思考:函数不等式的解与不等式两端对应的函数图象有怎样的关 系? 解题心得:1.方程的根的个数为相应函数图象与x轴交点的个数, 或是方程变形后,转化为两个熟悉的函数的图象交点个数. 2.已知含参数的方程根的情况,可用数形结合法求参数的范围,一 般先把方程变形成一端含参数,然后转化为两个熟悉的函数的图象 交点个数问题. 3.有关函数不等式的问题,常常转化为两函数图象的上、下关系 来解.

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考点1

考点2

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对点训练3 (1)函数 y= 的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的 1- 图象所有交点的横坐标之和等于( ) 关闭 A.2 B.4 1 C.6 -1 D.8 由题意知 y= = 的图象是双曲线 ,且关于点(1,0)成中心对称 .又
1- -1

1

y=2sin πx 的周期为 T= =2,也关于点(1,0)成中心对称 ,因此两图象 的交点也一定关于点(1,0)成中心对称 ,如图所示 ,可知两个图象在 [-2,4]上有 8 个交点 ,因此 8 个交点的横坐标和 x1+x2+… +x8=4×2=8.
π



关闭

D
解析 答案

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-29-

考点1

考点2

考点3

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- 2 + 2, ≤ 0, (2)已知函数 f(x)= 若|f(x)|≥ax,则a的取值范围 ln( + 1), > 0. 是y=|f ( (x))|的图象知 : 由 A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

关闭

①当 x>0 时 ,y=ax 只有 a≤0 时 ,才能满足 |f(x)|≥ax,可排除 B,C. ②当 x≤0 时 ,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.
故由 |f(x)|≥ax 得 x2-2x≥ax. 当 x=0 时 ,不等式为 0≥0,成立 . 当 x<0 时 ,不等式等价于 x-2≤a. ∵x-2<-2,∴a≥-2. D 综上可知 ,a∈[-2,0].
解析

关闭

答案

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-30-

考点1

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(3)函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所 示,那么不等式 () <0 的解集为 .
cos

关闭

在 0,

π 2

上 y=cos x> 0,在
π 2

π 2

,4 上 y=cos x<0.
( ) cos

由 f(x)的图象知在 1,
( )



<0,

因为 f(x)为偶函数,y=cos x 也是偶函数, 所以 y= 为偶函数 , cos π () π π π 所以 - ,-1 ∪ 1, . - ,1 < ∪0 的解集为 1, cos 2 2 2 2
解析
关闭

答案

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-31-

考点1

考点2

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1.作图的方法有:(1)直接法:利用基本初等函数作图;(2)图象变换 法,如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3)描点法,为使图象准确, 可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调 性等了解图象的大体形状. 2.识图题与用图题的解决方法: (1)识图:对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、 变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (2)用图:要用函数的思想指导解题,即方程、不等式的问题用函 数图象来解.

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-32-

考点1

考点2

考点3

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1.确定函数的图象,一定要从函数的定义域及性质出发. 2.识图问题常常结合函数的某一性质或特殊点进行排除. 3.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称 的区别.

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-33-

高频小考点——利用排除法解决有背景的识图与辨图题 典例(1) 如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的 始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M, 将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象 大致为( )

答案:C

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-34-

解析 :(方法一)由题图可知 :当 A,D;当 x∈ 0,
=sin x,即 π 2

π x= 时 ,OP⊥OA,此时 2

f(x)=0,排除

时 ,OM=cos x,设点 M 到直线 OP 的距离为 d,则
1 1

d=OMsin x=sin xcos x,
π 2

∴f(x)=sin x cos x=2sin 2x≤ 2,排除 B.
(方法二 )由 x= 时 ,f(x)=0,排除 A,D,由 M 到 OP 的距离小于 |OP|,而 |OP|= 1,排除 B. 2x|,由此可知 C 正确 . (方法三 )由题意 |OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin x cos x|= |sin
1 2

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-35-

(2)(2015课标全国Ⅱ,文11,理10)如图,长方形ABCD的边 AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x) 的图象大致为( )

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-36-

答案 :B 解析 :(方法一)当点 P 在线段 BC 上时 ,如图 ,x∈

π 0, 4

.

PB=OBtan x=tan x,PA=√ 2 + 2 = √tan2 + 4 , 所以 f(x)=PB+PA=tan x+ √tan2 + 4. 显然函数 f(x)在
π 0, 4

的图象不是线段 ,故排除 A,C.
π 4

当点 P 在点 C 处 ,f(x)=f D.

=1+√5.

当点 P 在 CD 的中点 E 处 ,f(x)=PB+PA=2√2<1+√5.从而排除

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-37-

(方法二)由题意可知 f C,D;

π 2

=2√2,f

π 4

= √5+1,则 f

π 2

<f

π 4

,排除

可排除 A.故选 B.

3π 当 ≤x≤π 时,f(x)=-tan x+ √tan2 4

+ 4,可知函数图象不是线段,


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