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高中数学北师大版选修2-1 3.3.1双曲线及其标准方程 课件(31张)_图文

§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程 学 习 目 标 思 1.理解 双曲线的定义. 2.了解 双曲线的焦点、 焦距. 3.掌握 双曲线的标准 方程,并清楚参数 a,b,c 之间的内在联 系. 4.会 求满足一定条件 的双曲线的标准方程 (定义法和待定系数 法). 5.注意体会 分类讨论 及数形结合思想方法 的运用. 维 脉 络 一 二 思考辨析 一、双曲线 定义—平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大 于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的 焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 名师点拨要注意定义中的限制条件:“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”. (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的 轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).若将其改为“大于 |F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹成为双曲线的 一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”,则此时动点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线. 一 二 思考辨析 【做一做1】 已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的 轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线的一支或一条直线 D.双曲线的一支或一条射线 解析:当a=3时,2a=6,此时|AB|=10, ∴P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a=5时,2a=10,此时|AB|=10, ∴P点的轨迹为射线,是以B为端点向上的一条射线. 答案:D 一 二 思考辨析 二、双曲线的标准方程 一 二 思考辨析 名师点拨1.在双曲线的标准方程中,可用x2,y2项的系数的正负来 判断双曲线的焦点在哪一个坐标轴上:焦点在系数为正项对应的坐 标轴上. 2.双曲线标准方程中的两个参数a,b是双曲线的定形条件,但不定 位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定. 3.以坐标轴为对称轴的双曲线方程可设为 Ax2+By2=1(AB<0)或 2 条件为 AB<0. 2 2 2 2 + =1(AB<0),即方程 Ax +By =1 或 2 + =1 表示双曲线的充要 一 二 思考辨析 【做一做2】 若k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲 线是( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线 2 解析:原方程化为 2 ? =1,∵k>1,∴k2- 1>0,1+k>0. -1 1+ 2 ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线. 答案:C 一 二 思考辨析 【做一做3】 已知双曲线 ( ) 2 2 ? =1,则双曲线的焦点坐标为 16 9 A.(- 7,0),( 7,0) C.(0,- 5),(0,5) B.(-5,0),(5,0) D.(0,- 7),(0, 7) 解析:由双曲线的标准方程可知a2=16,b2=9,则 c2=a2+b2=16+9=25,故c=5.又焦点在x轴上,所以焦点坐标为(5,0),(5,0). 答案:B 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲 线. ( × ) (2)对于双曲线标准方程,三个参数a,b,c中,最大的一定是c. ( ) 2 2 (3)方程 ? =1(mn>0)表示的曲线一定是双曲线. ( ) 2 2 (4)在双曲线方程 2 ? 2=1(a>0,b>0)中,必有 a>b>0. ( × ) 探究一 探究二 探究三 思维辨析 双曲线的定义及应用 【例1】 若一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的 差的绝对值为定值a(a≥0),试讨论点P的轨迹方程. 思维点拨:从题设条件看,P点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲 线定义中的条件,所以要确定点P的轨迹方程,应依据条件,对a进行 分类讨论. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解:|F1F2|=2. (1)当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x≥1)与y=0(x≤-1); (2)当a=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程为x=0; (3)当 0<a<2 时 ,轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线,c=1,b 所以方程为 2 2 4 2 ? =1; 2 1- 4 2 2 =1- , 4 (4)当a>2时,轨迹不存在. 反思感悟利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中 的条件0<2a<|F1F2|.若条件中不能确定|F1F2|与2a的大小,需分类讨 论. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知在△ABC中,C(-2,0),B(2,0),sin B-sin C= 2 sin A,求 顶点A的轨迹方程. 1 解:由正弦定理及 sin B-sin C= sin A,得|AC|-|AB|= |BC|<|BC|, 由双曲线的定义知,顶点A的轨迹是以C,B为焦点,实轴长为2的双 曲线的右支, ∴c=2,a=1, ∴b2=c2-a2=3, 1 2 1 2 ∴顶点 A 的轨迹方程为 x 2 2 - =1(x>1). 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求双曲线的标准方程 【例 2】 已知双曲线过 P1 标准方程. 3 -2, 2 5 和 P2 4 3 7,4 两点,求双曲线的 2 思维点拨 :因无法判定双曲线的焦点所在的位置,可分别设为 2 ? 2 2 2 = 1( a> 0, b> 0) 和 ? 2 2 =1(a>0,b>0)两种情况 ,分别求解 .也可设方 2 程为 mx2+n

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