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高一数学平面和平面的垂直关系1


一、两平面垂直
1、定义:两个平面相交,如果它们所成的 二面角是直二面角,则两个平面垂直
?

记作α⊥β
?

?

?

性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角

问题1、 两个平面相交,如果其中一个
平面内只有一条直线垂直于另一个平面, 能否得到两个平面垂直?

已知:AB⊥β
求证:
? a

AB ? ?

? ⊥β
?
A

?
D

a

?

C

B

?

?

证明: ? AB ⊥?

CD ? ?

? AB ⊥ CD
在平面 ?内作BE⊥CD 则∠ABE是二面角 ? ? CD ? ? 的平面角

又 ? AB⊥BE

∴∠ABE是直角
A

?? -CD-? 是直二面角

?
D

?? ⊥ ?

?

C

B

E

2、判定定理:若一个平面经过另一个平面 的一条垂线,则这两个平面互相垂直

?
D
A

C
B

?

线面垂直

面面垂直

练习1、在如图长方体AC1中,判断下列
结论的正误并说明理由
①平面ADD1A1⊥平面ABCD D1
C1 B1 D A B C

②D1A⊥AB
③D1A⊥平面ABCD

A1

问题2、 平面ADD1A1 ⊥平面ABCD, 过点A在平面ADD1A1内的直线满足什么 条件才能与平面ABCD垂直呢?

若两个平面垂直,则在一个平 3、性质定理:

面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 在β内作直线BE⊥CD于B,
则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE
?
C

?
A
D B
E

又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线 ∴AB⊥β 面面垂直 线面垂直

四边形BCDE是正方形, 练习2、如图:
AE⊥面BCDE 请指出图中哪些平面互相

垂直?
A

E
O B C

D

例1、如图示,AB是圆O的直径,PA垂直于
圆O所在平面,C是圆周上不同于A、B的任 意一点,(1)求证:平面PAC⊥平面PBC (2)若A在SB,SC上的射影 P 分别为E,F,求证:∠AEF 为二面角C-SB-A的平面角 《名师》P88 考点1

E FO
C

练习3、P46 3

A

B

小结
1、两个平面互相垂直的定义 2、两个平面互相垂直的判定定理 3、两个平面互相垂直的性质定理
判定定理 判定定理

线线垂直
定义

线面垂直
性质定理

面面垂直

作业
习题9.7
A

5

E F D

B C


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