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高中数学第二章统计2.4线性回归方程课件苏教版必修3


在实际问题中,变量之间的常见关系 有如下两类: 一类是确定性函数关系,变量之间的关系 可以用函数表示.例如,圆的面积S与半 径r之间就是确定性函数关系,可以用函 数S=πr2表示. 一类是相关关系,变量之间有一定的联系, 但不能完全用函数来表达.例如,人的体 重y与身高x有关.一般来说,身高越高, 体重越重,但不能用一个函数来严格地表 示身高与体重之间的关系. 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之 间的关系,随机统计并制作了某6天卖出 热茶的杯数与当天气温的对比表: 气 温 / ℃ 26 杯 数 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64 如果某天的气温是-5℃,你能根据 这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数 吗? 我们以横坐标x表示气温, 纵坐标y表示热茶杯销售量,建 立如图直角坐标系.请描出各 点,看看你能发现什么结论? 这些点散布在一条直线的附近,故可 用一个线性函数近似地表示热茶销量与气 温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取过 (4,50),(18,24)这两点的直线; (2)取一条直线,使得位于该直线一侧和另 一侧点的个数基本相同; (3)多取几组点,确定几条直线方程,再 分别算出各条直线斜率、截距的平均值, 作为所求直线的斜率、截距; 怎样的直线最好呢? 用方程为 ? y=bx+a的直线拟合散点图 中的点,应使得该直线与散点图中的点最 ? 接近.那么,怎样衡量直线 y =bx+a 与图中六个点的接近程度呢? 我们将表中给出的自变量x的六个值代入 直线方程,得到相应的六个 ? y 值: 26b+a,18b+a,13b+a,10b+a,4b+a,-b+a. ? 这六个值与表中相应的六个 y 的实际值应 该越接近越好.所以,我们用类似于估计总体 平均数时的思想,考虑如下离差平方和 Q(a, b) ? (26b ? a ? 20)2 ? (18b ? a ? 24) 2 ? (13b ? a ? 34) ? (10b ? a ? 38) 2 2 ? (4b ? a ? 50) ? (?b ? a ? 64) 2 2 2 2 ? 128b ? 6a ? 140ab ? 3820b ? 460a ? 10172 ? Q( a , b)是直线 =bx+a与各散点 y 在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 ? 方和,可以用来衡量直线 y =bx+a 与图中六个点的接近程度.所以,设法 取a,b的值,使 Q( a , b)达到最小 值.这种方法叫做最小平方法(最小二乘 我们把a看做常数,那么Q是关于b的二次 140a ? 3820 函数,故当 b ? ? 2 ?1286 时,Q取得最 小值.同理把b看作常数,那么Q是关于a的 140b ? 460 二次函数,当 a ? ? 12 时, Q取得最 小值.因此,当 140a ? 3820 ? b?? ? ? 2 ?1286 ? ?a ? ? 140b ? 460 ? ? 12 时,Q取得最 a ? 57.5568 小值.由此解得 ? ? ?b ? ?1.6477 ? 故,所求直线方程为 y =-1.6477x+57.5568 ? 从而当 x=-5时, y =66,即当气温为-50C 时热茶销售量为66杯. ? 像这样能用直线方程 y =bx+a近 似表示的相关关系叫做线性相关关系. 一般地,设有(x,y)的n对观察 数据如下: 线性回归方程 y ? bx

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