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河南省驻马店市确山二中2014-2015学年高三第一学期第一次月考数学试卷(理科)

2014-2015 学年河南省驻马店市确山二中高三(上)第一次月考 数学试卷(理科)
一、选择题. (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={1,5,a},B={2,b},若 A∩B={2,5},则 a+b 的值是( ) A. 10 B. 9 C. 7 D. 4

2.复数

(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于(



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.函数 y=

的图象关于 x 轴对称的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

4.函数 f(x)=2 ﹣

x

的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是(



A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3) D. (0,2) 5.定积分 的值为(
2 2



A. ﹣1 B. 1 C. e ﹣1 D. e

6.下列命题中的假命题是( ) A. 存在 x∈R,lgx=0 B. 存在 x∈R,tanx=1 C. 任意 x∈R,x >0 D.任意 x∈R,2 >0 7.设 P={x|x<4},Q={x|x <4},则( ) A. P 包含于 Q B. Q 包含于 P C. P 包含于 CRQ D. Q 包含于 CRP
2 3 x

8.已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件



9.设函数

,则下列结论错误的是(



A. D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数 C. D(x)不是周期函数 D. D(x)不是单调函数 10.定义在 R 上的函数 f(x) ,当 x≠﹣2 时,恒有(x+2)f′(x)<0(其中 f′(x)是 函数 f(x)的导数) ,又 a=f(log 3) ,b=f[ ],c=f(ln3) ,则( )

A. a<b<c B. b<c<a C. c<a<b D. c<b<a 11.设函数 f(x)=xe ,则( ) A. x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点
x

12. 设f (x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f (x) =2x (1﹣x) , 则 A. ﹣ B. ﹣ C. D.

= (



二、填空题. (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. ) 13.函数 f(x)= 的定义域为 .

14.如图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是



15.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(﹣5,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x﹣5)为偶函 数,设 a=f(﹣6) ,b=f(﹣3) ,则 a,b 的大小关系为 . 16.曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切线方程为
3



三、解答题. (本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤. ) 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画 出了频率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其 中第 2 小组的频数为 12. (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数 很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望.

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已 知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值.

20.已知圆 C1: (x+

) +y =

2

2

,圆 C2: (x﹣

) +y = ,动圆 P 与已知两圆都外切.

2

2

(1)求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程; (2)直线 l:y=kx+1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两点 A、B,AB 的中垂线与 y 轴交于点 N, 求点 N 的纵坐标的取值范围.

21.已知函数 g(x)=

,f(x)=g(x)﹣ax.

(1)求函数 g(x)的单调区间;

(2)若函数 f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的最小值; (3)若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a,求实数 a 的取值范围.
2

四、请在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 【选修 4 —1:平面几何选讲】 (本小题满分 10 分) 22.如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点,AD⊥BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线, 与 CA 的延长线相交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P. (1)求证:BF=EF; (2)求证:PA 是圆 O 的切线.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 C 的参数方程为 为参数) ,曲线 P 在以该直角
2

坐标系的原点 O 的为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ ﹣4ρcosθ+3=0. (1)求直线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (2)设直线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)=|2x﹣a|+5x,其中 a>0. (Ⅰ)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥5x+1 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值.

2014-2015 学年河南省驻马店市确山二中高三 (上) 第一 次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题. (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={1,5,a},B={2,b},若 A∩B={2,5},则 a+b 的值是( ) A. 10 B. 9 C. 7 D. 4 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,以及两集合的交集,确定出 a 与 b 的值,即可求出 a+b 的值. 解答: 解:∵A={1,5,a},B={2,b},且 A∩B={2,5}, ∴a=2,b=5, 则 a+b=7. 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.复数

(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于(



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 分析: 先对复数化简并整理出实部和虚部,求出对应的点的坐标,即判断出点所在的象限. 解答: 解:∵ = =2+i,∴在复平面上对应的点坐标是(2,1) ,

即在第一象限, 故选 A. 点评: 本题考查了复数的乘除运算,以及复数的几何意义,属于基础题.

3.函数 y=

的图象关于 x 轴对称的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像变换. 专题: 综合题. 分析: 先求出原函数的单调性以及定义域,再结合关于 x 轴对称的函数图象自检的关系即 可得到正确答案. 解答: 解:∵函数 y═ = ﹣1 的定义域为[0,+∞) ,

且图象是在定义域上单调递增,最低点为(0,﹣1) ∴所求图象在定义域上单调递减,最高点为(0,1) . 故选:B. 点评: 本题主要考查了幂函数的图象,以及图象过的特殊点的坐标,属于基础题.一般解 决这类问题常用排除法.
x

4.函数 f(x)=2 ﹣

的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是(



A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3) D. (0,2) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 f(1)f(2)=(0﹣a) (3﹣a)<0,解不等式求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意可得 f(1)f(2)=(0﹣a) (3﹣a)<0,解得 0<a<3, 故实数 a 的取值范围是(0,3) , 故选 C. 点评: 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题. 5.定积分 的值为(
2 2



A. ﹣1 B. 1 C. e ﹣1 D. e

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 由定积分的定义根据公式直接变形,求出定积分的值即可 解答: 解:定积分 =(e )|0 =2﹣1=1
x ln2

答案为:1. 故选 B. 点评: 本题考查定积分,解题的关键是掌握住定积分的定义及其公式,本题是基本概念题.

6.下列命题中的假命题是( ) A. 存在 x∈R,lgx=0 B. 存在 x∈R,tanx=1 C. 任意 x∈R,x >0 D.任意 x∈R,2 >0 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: A、B、C 可通过取特殊值法来判断;D、由指数函数的值域来判断. 解答: 解:A、x=1 成立;B、x=
3 3 x

成立;D、由指数函数的值域来判断.对于 C 选项 x=﹣1

时, (﹣1) =﹣1<0,不正确. 故选 C 点评: 本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域,属容易题. 7.设 P={x|x<4},Q={x|x <4},则( ) A. P 包含于 Q B. Q 包含于 P C. P 包含于 CRQ D. Q 包含于 CRP 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 此题只要求出 x <4 的解集{x|﹣2<x<2},画数轴即可求出 2 解答: 解:P={x|x<4},Q={x|x <4}={x|﹣2<x<2},如图所示,
2 2

可知 Q 包含于 P,故 B 正确. 点评: 此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念,主要考查了集合的基本运算, 属容易题. 8.已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 考虑“a>0 且 b>0”与“a+b>0 且 ab>0”的互推性. 解答: 解:由 a>0 且 b>0? “a+b>0 且 ab>0” , 反过来“a+b>0 且 ab>0”? a>0 且 b>0, ∴“a>0 且 b>0”?“a+b>0 且 ab>0” , 即“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的充分必要条件, 故选 C 点评: 本题考查充分性和必要性,此题考得几率比较大,但往往与其他知识结合在一起考 查.

9.设函数

,则下列结论错误的是(



A. D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数 C. D(x)不是周期函数 D. D(x)不是单调函数 考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 证明题. 分析: 由函数值域的定义易知 A 结论正确;由函数单调性定义,易知 D 结论正确;由偶函 数定义可证明 B 结论正确;由函数周期性定义可判断 C 结论错误,故选 D 解答: 解:A 显然正确; ∵ ∴D(x)是偶函数, B 正确; ∵D(x+1)= =D(x) , =D(x) ,

∴T=1 为其一个周期, 故 C 错误; ∵D( )=0,D(2)=1,D( )=0, 显然函数 D(x)不是单调函数, 故 D 正确; 故选:C. 点评: 本题主要考查了函数的定义,偶函数的定义和判断方法,函数周期性的定义和判断 方法,函数单调性的意义,属基础题 10.定义在 R 上的函数 f(x) ,当 x≠﹣2 时,恒有(x+2)f′(x)<0(其中 f′(x)是 函数 f(x)的导数) ,又 a=f(log 3) ,b=f[ ],c=f(ln3) ,则( )

A. a<b<c B. b<c<a C. c<a<b D. c<b<a 考点: 利用导数研究函数的单调性;对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:先由条件 (x+2) f′ (x) <0 得到函数的单调区间, 再比较自变量 log 与 ln3 的大小 解答: 解: (x+2)f′(x)<0? 或 3与

∴f(x)在(﹣∞,﹣2)时递增,f(x)在(﹣2,+∞)时递减, =﹣1,0< <1,1<ln3

∴log

3<

<ln3,

又函数 f(x)在(﹣2,+∞)时递减, ∴f(log 3)>f[ ]>f(ln3) ,

∴a>b>c 故选:D 点评: 本题考查函数的单调性, 比较函数值的大小转化为比较自变量的大小是解题的关键. 11. (5 分) (2014? 开福区校级模拟)设函数 f(x)=xe ,则( ) A. x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由题意,可先求出 f′(x)=(x+1)e ,利用导数研究出函数的单调性,即可得出 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 解答: 解:由于 f(x)=xe ,可得 f′(x)=(x+1)e , x 令 f′(x)=(x+1)e =0 可得 x=﹣1 x 令 f′(x)=(x+1)e >0 可得 x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数 x 令 f′(x)=(x+1)e <0 可得 x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数 所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 故选:D 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值,解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步 骤,本题是基础题,
x x x x

12. 设f (x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f (x) =2x (1﹣x) , 则 A. ﹣ B. ﹣ C. D.

= (



考点: 奇函数;函数的周期性. 专题: 计算题. 分析: 由题意得 =f(﹣ )=﹣f( ) ,代入已知条件进行运算.

解答: 解:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) , ∴ =f(﹣ )=﹣f( )=﹣2× (1﹣ )=﹣ ,

故选:A. 点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值. 二、填空题. (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. )

13.函数 f(x)=

的定义域为 (0,

]



考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据开偶次方被开方数要大于等于 0,真数要大于 0,得到不等式组,根据对数的单 调性解出不等式的解集,得到结果. 解答: 解:函数 f(x)= ∴ ∴ ∴ ,x>0 ,x>0, ,x>0, 要满足 1﹣2 ≥0,且 x>0

∴0 , 故答案为: (0, ] 点评: 本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题,在解题时一般遇到,开偶次方时, 被开方数要不小于 0, ;真数要大于 0;分母不等于 0;0 次方的底数不等于 0,这种题目的 运算量不大,是基础题. 14.如图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 63 .

考点: 设计程序框图解决实际问题. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环求满足条件 S=1+2+2 +…+2 ≥33 的最小的 S 值,并输出. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是利用循环求满足条件 S=1+2+2 +…+2 ≥33 的最小的 S 值 2 3 4 ∵S=1+2+2 +2 +2 =31<33,不满足条件. 2 3 4 5 S=1+2+2 +2 +2 +2 =63≥33,满足条件 故输出的 S 值为:63. 故答案为:63 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)? ②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.
2 n 2 n

15.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(﹣5,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x﹣5)为偶函 数,设 a=f(﹣6) ,b=f(﹣3) ,则 a,b 的大小关系为 a>b . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: 函数 y=f(x﹣5)为偶函数,及函数的图象的平移可知 y=f(x)的图象关于 x=﹣5 对称,由函数 f(x)在(﹣5,+∞)上为减函数及 a=f(﹣6)=f(﹣4)可比较 a,b 的大 小 解答: 解:∵函数 y=f(x﹣5)为偶函数,图象关于 x=0 对称 又∵由 y=f(x﹣5)向左平移 5 个单位可得函数 y=f(x)的图象 ∴y=f(x)的图象关于 x=﹣5 对称 ∵函数 f(x)在(﹣5,+∞)上为减函数 ∴a=f(﹣6)=f(﹣4)>b=f(﹣3) ∴a>b 故答案为:a>b 点评: 本题主要考查了偶函数的图象的对称及函数的图象的平移,函数的单调性在大小比 较中的应用. 16.曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切线方程为 2x﹣y+1=0 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出导函数,然后将 x=1 代入求出切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程,最 后化成一般式即可. 解答: 解:y′=3x ﹣1, 令 x=1,得切线斜率 2, 所以切线方程为 y﹣3=2(x﹣1) , 即 2x﹣y+1=0. 故答案为:2x﹣y+1=0. 点评: 本题主要考查导数的几何意义:在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜 式,属于基础题. 三、解答题. (本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤. ) 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
2 3

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题. 分析: (I)将已知等式用等差数列{an}的首项、公差表示,列出方程组,求出首项、公差; 利用等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式.

(II)利用等比数列的通项公式求出

,进一步求出 bn,根据数列{bn}通项的特点,选择

错位相减法求出数列{bn}的前 n 项和 Tn.

解答: 解: (Ⅰ)依题意得

解得



∴an=a1+(n﹣1)d=3+2(n﹣1)=2n+1, 即 an=2n+1. (Ⅱ)
n﹣1


n﹣1

bn=an? 3 =(2n+1) ? 3 2 n﹣1 2 3 n﹣1 n Tn=3+5? 3+7? 3 +…+(2n+1) ? 3 3Tn=3? 3+5? 3 +7? 3 +…+(2n﹣1) ? 3 +(2n+1) ? 3
2 n﹣1 n

﹣2Tn=3+2? 3+2? 3 +…+2? 3
n

﹣(2n+1)3

∴Tn=n? 3 . 点评: 解决等差、等比两个特殊数列的问题,一般将已知条件用基本量表示,列出方程组 解决;求数列的前 n 项和,一般先求出数列的通项,根据通项的特点选择合适的求和方法. 18.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画 出了频率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其 中第 2 小组的频数为 12. (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数 很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题.

分析: (1)设报考飞行员的人数为 n,前三小组的频率分别为 p1,p2,p3,根据前 3 个小 组的频率之比为 1:2:3 和所求频率和为 1 建立方程组,解之即可求出第二组频率,然后根 据样本容量等于 进行求解即可;

(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 ,所以 x 服从二项分布 ,从而求出 x 的分布列,最后利用数学期望公式进行求 解. 解答: 解: (1)设报考飞行员的人数为 n,前三小组的频率分别为 p1,p2,p3,

则由条件可得:

解得 p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375…(4 分) 又因为 ,故 n=48…(6 分)

(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 …(8 分) 所以 x 服从二项分布, ∴随机变量 x 的分布列为: x 0 1 2 3 p 则 (或: ) …(12 分)

点评: 本题主要考察了频率分布直方图,以及离散型随机变量的概率分布和数学期望,同 时考查了计算能力,属于中档题. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已 知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间角. 分析: (I)欲证平面 MBD⊥平面 PAD,根据面面垂直的判定定理可知在平面 MBD 内一直线 与平面 PAD 垂直,而根据平面 PAD 与平面 ABCD 垂直的性质定理可知 BD⊥平面 PAD; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 PAB 的法向量 向量为 ,平面 PBD 的法

,利用向量的数量积公式,可求二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值.

解答: (Ⅰ)证明:在△ABD 中, 由于 AD=4,BD=8,AB=4 ,所以 AD +BD =AB ,所以 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD? 平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 PAD, 又 BD? 平面 MBD, 故平面 MBD⊥平面 PAD (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,A(4,0,0) ,P(2,0,2 B(0,8,0) ∴ 设平面 PAB 的法向量为 ,
2 2 2

) ,



可得

,取

同理可得平面 PBD 的法向量为

∴cos

=

=

∴二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为



点评: 本题主要考查平面与平面垂直的判定,考查空间角解题的关键是掌握面面垂直的判 定,正确运用向量法求解空间角.
2 2 2 2

20.已知圆 C1: (x+

) +y =

,圆 C2: (x﹣

) +y = ,动圆 P 与已知两圆都外切.

(1)求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程; (2)直线 l:y=kx+1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两点 A、B,AB 的中垂线与 y 轴交于点 N, 求点 N 的纵坐标的取值范围. 考点: 轨迹方程;圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出已知两圆的圆心坐标和半径,由两圆的位置关系求得|PC1|,|PC2|,由 知点 P 在以 C1,C2 为焦点的双曲线右支上,从而求得 E 的方程; (2)联立直线和双曲线方程,化为关于 x 的一元二次方程,设出 A,B 的坐标,由根与系数 关系得到 A,B 的横纵坐标的和,求出 AB 的中点坐标,由直线方程的点斜式得到 AB 的中垂 线方程,表示出直线在 y 轴上的截距后由 k 的范围得答案. 解答: 解: (1)已知两圆的圆心半径分别为 , 设动圆 P 的半径为 r, 由题意知 则 , , . ,则 ,

则点 P 在以 C1,C2 为焦点的双曲线右支上,其中 ,

求得 E 的方程为 2x ﹣y =1(x>0) ; 2 2 (2)将直线 y=kx+1 代入双曲线方程,并整理得(k ﹣2)x +2kx+2=0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点为 M(x0,y0) . 依题意,直线 l 与双曲线的右支交于不同两点,故

2

2

?









则 AB 的中垂线方程为



令 x=0,得



∵﹣2<k<﹣

,∴



点评: 本题考查了轨迹方程,考查了圆与圆的位置关系,考查了直线与圆锥曲线的位置关 系,涉及直线与圆锥曲线位置关系问题,常把直线方程和曲线方程联立,利用一元二次方程 的根与系数的关系解题,是高考试卷中的压轴题.

21.已知函数 g(x)=

,f(x)=g(x)﹣ax.

(1)求函数 g(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的最小值; (3)若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: (1)根据解析式求出 g(x)的定义域和 g′(x) ,再求出临界点,求出 g′(x) <0 和 g′(x)>0 对应的解集,再表示成区间的形式,即所求的单调区间; (2)先求出 f(x)的定义域和 f′(x) ,把条件转化为 f′(x)≤0 在(1,+∞)上恒成 立,再对 f′(x)进行配方,求出在 x∈(1,+∞)的最大值,再令 f′(x)max≤0 求解; 2 (3)先把条件等价于“当 x∈[e,e ]时,有 f(x)min≤f′(x)max+a” ,由(2)得 f′(x) 2 max,并把它代入进行整理,再求 f′(x)在[e,e ]上的最小值,结合(2)求出的 a 的范围 对 a 进行讨论: 和 ,分别求出 f′(x)在[e,e ]上的单调性,再求出最小值或
2 2

值域,代入不等式再与 a 的范围进行比较. 解答: (1)解:由 得,x>0 且 x≠1,

则函数 g(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞) , 且 g′(x)= ,令 g′(x)=0,即 lnx﹣1=0,解得 x=e,

当 0<x<e 且 x≠1 时,g′(x)<0;当 x>e 时,g′(x)>0, ∴函数 g(x)的减区间是(0,1) , (1,e) ,增区间是(e,+∞) , (2)由题意得函数 f(x)= 在(1,+∞)上是减函数,

∴f′(x)=

﹣a≤0 在(1,+∞)上恒成立,

即当 x∈(1,+∞)时,f′(x)max≤0 即可, 又∵f′(x)= ﹣a= = ,

∴当 ∴

时,即 x=e 时, ,得 ,故 a 的最小值为 .
2

2



(3)命题“若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立”等价于 2 “当 x∈[e,e ]时,有 f(x)min≤f′(x)max+a” , 由(2)得,当 x∈[e,e ]时, 故问题等价于: “当 x∈[e,e ]时,有 当
2 2 2

,则 ” ,



时,由(2)得,f(x)在[e,e ]上为减函数,



,故





时,由于 f′(x)=
2

在[e,e ]上为增函数, ].
2

2

故 f′(x)的值域为[f′(e) ,f′(e )],即[﹣a,
2

(i)若﹣a≥0,即 a≤0,f′(x)≥0 在[e,e ]恒成立,故 f(x)在[e,e ]上为增函数, 于是, (ii)若﹣a<0,即 0<
2

,不合题意. ,由 f′(x)的单调性和值域知,

存在唯一 x0∈(e,e ) ,使 f′(x0)=0,且满足: 2 当 x∈(e,x0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x∈(x0,e )时,f′(x)>0,f (x)为增函数; 所以,f(x)min=f(x0)= 所以,a≥ 综上,得 . ≤ ,x∈(e,e ) ,
2

,与 0<

矛盾,不合题意.

点评: 本题主要考查了函数恒成立问题,以及利用导数研究函数的单调性等知识,考查了 分类讨论思想和转化思想,计算能力和分析问题的能力. 四、请在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 【选修 4 —1:平面几何选讲】 (本小题满分 10 分)

22.如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点,AD⊥BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线, 与 CA 的延长线相交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P. (1)求证:BF=EF; (2)求证:PA 是圆 O 的切线.

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)利用平行线截三角形得相似三角形,得△BFC∽△DGC 且△FEC∽△GAC,得到 对应线段成比例,再结合已知条件可得 BF=EF; (2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角,得到∠FAO=∠EBO,结合 BE 是圆 的切线,得到 PA⊥OA,从而得到 PA 是圆 O 的切线. 解答: 证明: (1)∵BC 是圆 O 的直径,BE 是圆 O 的切线,∴EB⊥BC. 又∵AD⊥BC,∴AD∥BE. 可得△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC. ∴ ,得 .

∵G 是 AD 的中点,即 DG=AG. ∴BF=EF. (2)连接 AO,AB. ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90°. 由(1)得:在 Rt△BAE 中,F 是斜边 BE 的中点, ∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB. 又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO. ∵BE 是圆 O 的切线, ∴∠EBO=90°,得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°, ∴PA⊥OA,由圆的切线判定定理,得 PA 是圆 O 的切线.

点评: 本题求证直线是圆的切线,着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性 质和圆的切线判定定理等知识,属于中档题.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 C 的参数方程为 为参数) ,曲线 P 在以该直角
2

坐标系的原点 O 的为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ ﹣4ρcosθ+3=0. (1)求直线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (2)设直线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|. 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;点到直线的距离公式;参数方程化成普通方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)参数 t 得到曲线 C 的普通方程为 x﹣y﹣1=0,利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,即 可得出 P 的直角坐标方程; (2)利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离 d 和弦长 l= 解答: 解: (1)由曲线 C 的参数方程为 消去参数 t 得到曲线 C 的普通方程为 x﹣y﹣1=0; ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,曲线 P 在极坐标系下的方程为ρ ﹣4ρcosθ+3=0, 2 2 ∴曲线 P 的直角坐标方程为 x +y ﹣4x+3=0. 2 2 (2)曲线 P 可化为(x﹣2) +y =1,表示圆心在(2,0) ,半径 r=1 的圆, 则圆心到直线 C 的距离为 故|AB|= = . ,
2

即可得出.

为参数) ,

点评: 本题考查直角坐标系与极坐标之间的互化, 熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、 点到直线的距离公式、弦长 l= 是解题的关键.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)=|2x﹣a|+5x,其中 a>0. (Ⅰ)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥5x+1 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=3 时,f(x)≥5x+1 可化为|2x﹣3|≥1,由此求得不等式 f(x)≥5x+1 的解集. (Ⅱ) 由 f(x)≤0 得|2x﹣a|+5x≤0,此不等式化为不等式组 ,或

.分别求得这两个不等式组的解集,再取并集,即得所求.

解答: 解: (Ⅰ)当 a=3 时,f(x)≥5x+1 可化为|2x﹣3|≥1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 由此可得 x≥2 或 x≤1. 故不等式 f(x)≥5x+1 的解集为 {x|x≥2 或 x≤1{.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (Ⅱ) 由 f(x)≤0 得|2x﹣a|+5x≤0,此不等式化为不等式组 ,或

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)



,或



因为 a>0,所以不等式组的解集为 {x|x≤﹣ }, 由题设可得﹣ =﹣1,故 a=3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.


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