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精品解析:【全国百强校Word】河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试数学(理)试题(解析版)

2017~2018 学年度上学期高三年级九模考试 数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1. 若全集为实数集 ,集合

,则

()

A.

B.

【答案】D

【解析】由

C. ,得

D. ,即



,∴

故选:D 点睛:求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽 可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时 用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.

2. 已知 是虚数单位, 是 的共轭复数,

,则 的虚部为( )

A.

B.

【答案】A

C.

D.

【解析】由题意可得:





,据此可得, 的虚部为 .

本题选择 A 选项.

3. 命题“



”的否定形式是( )

A.



B.



C.



D.



【答案】C 【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“?n∈N,f(n)?N 且 f(n)≤n”的否定形式是: ?n0∈N,f(n0)∈N 或 f(n0)>n0,故选 C. 点睛:(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义 加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“? x∈M,p(x)”是真命题,需要对集 合 M 中的每个元素 x,证明 p(x)成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合 M 中的一个特殊值 x0, 使 p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即 可,否则就是假命题. 4. 阅读如图所示的程序框图,若输入的 ,则该算法的功能是( )

A. 计算数列

的前 10 项和

B. 计算数列

的前 9 项和

C. 计算数列

的前 10 项和

D. 计算数列

的前 9 项和

【答案】B 【解析】框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值, S=0,i=1; 判断 i>9 不成立,执行 S=1+2×0=1,i=1+1=2; 判断 i>9 不成立,执行 S=1+2×1=1+2,i=2+1=3; 判断 i>9 不成立,执行 S=1+2×(1+2)=1+2+22,i=3+1=4;

… 判断 i>9 不成立,执行 S=1+2+22+…+28,i=9+1=10; 判断 i>9 成立,输出 S=1+2+22+…+28. 算法结束. 故选:B 点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括顺序 结构、条件结构、循环结构,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律, 明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.

5. 直线

交椭圆

于 两点,若线段 中点的横坐标为 1,则 ( )

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A

【解析】







,两式相减,

中点的横坐标为 1 则纵坐标为

将 代入直线

,解得

点睛:本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用,要注意灵活应用题目中的直线的中点即直线的斜率 的条件的表示,本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法,比 较一般联立方程的方法可以简化基本运算。

6. 已知数列 为等差数列,且满足

,若

,点 为直线 外一点,则

()

A. 3 B. 2 C. 1 D.

【答案】D

【解析】∵数列{an}为等差数列,满足



其中 A,B,C 在一条直线上,O 为直线 AB 外一点, ∴a1+a2017=1, ∵数列{an}是等差数列,

∴{an}的

=1,

.

故答案为:D。 7. “石头、剪刀、布”,又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏.起源于中国,然后传到日本、朝鲜 等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世家.其游戏规则是:出拳之前双方齐 喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸 开代表“布”.“石头”胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”,若所出的拳相同,则 为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第 四局小军胜出的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】根据“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”,

可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为 ,

∴小军和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛, 则小军和大年比赛至第四局小军胜出,由指前 3 局中小军胜 2 局,有 1 局不胜,第四局小军胜, ∴小军和大年比赛至第四局小军胜出的概率是:

.

故选:B. 8. 如图,格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】由三视图可知该几何体是一个组合体:在一个半球上叠加一个 圆锥,且挖掉一个相同的 圆锥,

所以该几何体的体积和半球的体积相等,因此该几何体的体积

9. 已知函数

,则下列说法错误的是( )

A. 的图象关于直线 对称

,故选 A.

B. 在区间

上单调递减

C. 若

,则

D. 的最小正周期为 【答案】C

【解析】∵

=



故函数的图象关于直线 x=kπ+ ,k∈Z 对称,故 A 正确; f(x)在区间 上单调递增,故 B 正确;
函数|f(x)|的周期为 ,若|f(x1)|=|f(x2)|,则 x1=x2+ kπ(k∈Z),故 C 错误; f(x)的周期为 2π 中,故 D 正确; 故选:C.
10. 已知 是平面上一定点, 是平面上不共线的三点,动点满足 ,

,则点 的轨迹经过

的( )

A. 外心 B. 内心 C. 重心
【答案】A
【解析】设 BC 的中点为 D,

D. 垂心





∴= +



即=

,两端同时点乘 ,

∵ ? =λ(

)=λ(

∴DP⊥BC,

∴点 P 在 BC 的垂直平分线上,即 P 经过△ ABC 的外心

故选:A

11. 已知函数



A.

B.

C.

D.

【答案】B
【解析】设 x1∈{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}, ∴f(x1)=f(f(x1))=0, ∴f(0)=0, 即 f(0)=m=0, 故 m=0; 故 f(x)=x2+nx, f(f(x))=(x2+nx)(x2+nx+n)=0, 当 n=0 时,成立; 当 n≠0 时,0,﹣n 不是 x2+nx+n=0 的根, 故△=n2﹣4n<0, 解得:0<n<4; 综上所述,0≤n+m<4;

)=λ(﹣

)=0,

,则 的取值范围为( )

故选:B.

点睛:本题解题关键

的利用,

隐含了 f(0)

=0,同时,f(f(x))=(x2+nx)(x2+nx+n)=0 隐含了二者元素相同,且不为空集.

12. 已知抛物线

,圆

.过点 的直线 交圆 于 两点,交抛物线 于 两

点,且满足

的直线 恰有三条,则 的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】由题意可知,显然当直线斜率不存时,



设直线斜率为 k,此时存在两条直线满足



设直线







,由

,得

?



故选:C. 点睛:本题综合性较强,将直线与圆,与抛物线联立起来,利用同一直线上的线段的长度比与两线段端点 的纵坐标差的比成比例建立方程,再由根系关系将此方程转化为关于参数 m 的不等式,解出满足|AC|=|BD| 的直线 l 只有三条的充要条件,再依据必要条件的定义比对四个选项找出必要条件
第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨、硝酸盐 18 吨; 生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨,现库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨,在此基 础上生产这两种混合肥料。如果生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 12000 元;生产 1 车皮乙种肥料,产 生的利润为 7000 元。那么可产生最大的利润是__________元. 【答案】38000 元
【解析】设 x、y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.

由题意,得



工厂的总利润 z=12000x+7000y 由约束条件得可行域如图,



,解得: ,

所以最优解为 A(2,2), 则当直线 12000x+7000y﹣z=0 过点 A(2,2)时, z 取得最大值为:38000 元,即生产甲、乙两种肥料各 2 车皮时可获得最大利润.

故答案为:38000 元.

点睛:本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要

注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的

直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上

取得.

14. 如图,为了测量河对岸 两点之间的距离,观察者找到一个点 ,从 点可以观察到点 ;找到一

个点 ,从 点可以观察到点 :找到一个点 ,从 点可以观察到点 ;并测得到一些数据:













,则 两点之间的距离为

__________.(其中

取近似值 )

【答案】

【解析】依题意知,在△ ACD 中,∠A=30°由正弦定理得 AC=

=

在△ BCE 中,∠CBE=45°,由正弦定理得 BC=

=3

在△ ABC 中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2﹣2AC?BCcos∠ACB=10 ∴AB= . 故答案为: .

点睛:解决测量问题的注意事项

(1)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步;(2)将实际 问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用.

15. 若两曲线



【答案】

存在公切线,则正实数 的取值范围是__________.

【解析】设两个切点分别为

,两个切线方程分别为

,

,

化简得

两条切线为同一条.可得

,,

,令



所以

,填

16. 如图,在矩形

。 中,

,所以 g(x)在 递增,

递减,



.四边形 为边长为 2 的正方形,现将矩形

。 沿过点 的

动直线 翻折,使翻折后的点 在平面

上的射影 落在直线 上,若点 在折痕 上射影为 ,则 的

最小值为 __________.

【答案】
【解析】由题意,以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,建立坐标系,则直线 l 的方程:

y=kx﹣2k+2,CC2=

.学&科&...学&科&...学&科&...学&科&...学&科&...学&科&...学&科&...学&科

&...学&科&...学&科&...

直线 CC2 的方程为 y=﹣ x+ +6,∴C1(4+6k,0),∴CC1=6



∴C1C2=CC2﹣CC1=6





∴=

﹣1.

令|k﹣2|=t,∴k=t+2 或 2﹣t.

①k=t+2, =3(t+ +4)﹣1≥6 +11,t= 时,取等;

②k=2﹣t, =3(t+ ﹣4)﹣1≥6 ﹣13,t= 时,取等;

综上所述, 的最小值为 6 ﹣13,

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知 是等比数列 的前 项和,

成等差数列,且

.

(1)求数列 的通项公式;

(2)是否存在正整数 ,使得

?若存在,求出符合条件的所有 的集合;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)

(2) 存在 ,且 的集合为

【解析】试题分析:

(1)直接由题意列方程组求出数列的首项和公比,则数列 的通项公式可求;

(2)求出数列的前 项和,由 试题解析: (1)设等比数列 的公比为 ,则

,求得满足条件的 的值,则 的集合可求. .

由题意得

,即

,解得

.

故数列 的通项公式为

.

(2)由(1)有

.

若存在 n,使得

,则

,即

.

当 n 为偶数时,

,上式不成立;

当 n 为奇数时,

,即

,则 .

综上,存在符合条件的正整数 n,且 n 的集合为

点睛:本题考查了数列的综合问题,在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本

量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性

质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去

应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题

时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.本题的难点在于求和后,根据 为奇数和偶数

分类讨论.

18. 已知正三棱柱

中, 分别为

的中点,设

.

(1)求证:平面 (2)若二面角 理由.

平面 ; 的平面角为 ,求实数 的值,并判断此时二面角

是否为直二面角,请说明

【答案】(1)见解析(2)

二面角

为直二面角

【解析】试题分析:(1)先证 CF⊥平面 A1EF,即可证明:平面 A1CF⊥平面 A1EF; (2)如图,以 F 为坐标原点, 方向为 轴, 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系,求出 ,

由定义则∠EFA1 为二面角 E﹣CF﹣A1 的平面角,即可得出结论.
试题解析:

(1)因为正三棱柱

,所以

平面 ,

所以





是正三角形, 为 中点,

所以

,又

故 平面 ,又 平面 ,

所以平面

平面 .

(2)如图,以 为坐标原点,

方向为 轴, 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系,不妨设底边长

,由题意

,则













设平面 的法向量



,令 ,

则 由(1)可知

为平面 的一个法向量



,计算可得:

由(1)可知



由定义则

为二面角

, 的平面角,

此时由勾股定理:





满足

, ,则

此时二面角

为直二面角

点睛:本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题 的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方 向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位

置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为 ;若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其 进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为 .每台仪器各项费用如表:

(1)求每台仪器能出厂的概率; (2)求生存一台仪器所获得的利润为 1600 元的概率(注:利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费); (3)假设每台仪器是否合格相互独立,记 为生存两台仪器所获得的利润,求 的分布列和数学期望.

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析:(Ⅰ)每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂,根据对立事件的概率可得结果;(Ⅱ)

由表可知生产一台仪器所获得的利润为 元即初检不合格再次检测合格,根据相互独立事件同时发生的

概率可得结果;(Ⅲ)由题意可得 可取 , , , , ,

,根据相互独立事件同时发

生的概率计算出概率,可得分布列及期望.

试题解析:(Ⅰ)记每台仪器不能出厂为事件 ,则



所以每台仪器能出厂的概率



(Ⅱ)生产一台仪器利润为 1600 的概率



(Ⅲ) 可取 , , , , ,















的分布列为:

3800

3500

3200

500

200



20. 如图,椭圆

的左右焦点分别为 ,离心率为 ;过抛物线

焦点 的

直线交抛物线于 两点,当

时, 点在 轴上的射影为 ,连结

并延长分别交 于 两

点,连接 ;



的面积分别记为

,设

.

(1)求椭圆 和抛物线 的方程; (2)求 的取值范围.

【答案】(1) 曲线 的方程为

,曲线 的方程为

(2)

【解析】试题分析:(Ⅰ )由题意得得

,根据点 M 在抛物线上得

,又由





,可得

,解得

,从而得

,可得曲线方程。(Ⅱ )设



,分析可得

,先设出直线 的方程为

,由



解得

,从而可求得

,同理可得

,故可将

化为 m 的代数式,用基本不等式求解可得结果。

试题解析:

(Ⅰ)由抛物线定义可得



∵点 M 在抛物线

上,



,即



又由 ,得 将上式代入①,得 解得 ∴

, 所以曲线 的方程为

,曲线 的方程为



(Ⅱ)设直线 的方程为



消去 y 整理得





.











, ,





所以

,②

设直线 的方程为





,解得



所以



由②可知,用 代替 ,

可得





,解得



所以



用 代替 ,可得

所以

,当且仅当 时等成立。

所以 的取值范围为

.

点睛:解决圆锥曲线的最值与范围问题时,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建

立目标函数,再求这个函数的最值.常从以下几个方面考虑:

①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

②利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;

③利用基本不等式求出参数的取值范围;

④利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.

21. (1)讨论函数

的单调性;

(2)证明:当

时,函数

有最小值.设 的最小值为 ,求函数 的值域.

【答案】(1) 在

单调递增,(2) 的值域是

【解析】试题分析:(1)求出 f(x)的定义域,对原函数求导,利用导函数恒大于等于 0 可得 f

(x)的单调性;

(2)求出 由(1)知,

单调递增,又由函数零点存在定理可得存在唯一

,使



,则当

时,



单调递减;当 时,





单调递增.求出函数最小值,再由最小值为关于 a 的增函数可得
试题解析: (1) 的定义域为

的值域.



当且仅当 时, 所以 在

, 单调递增.

(2)



由(1)知,

单调递增,

对任意







因此,存在唯一

,使得

,即





时,



单调递减;

当 时,



, 单调递增.

因此 在 处取得最小值,最小值为

.

于是

,由

,知

单调递增

所以,由

,得

.

因为

单调递增,对任意

,存在唯一的





使得

,所以 的值域是 ,

综上,当

时, 有最小值 , 的值域是 .

点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识 点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命 题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意 义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单 调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合

思想的应用.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. 选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 中,直线 过

,倾斜角为

,以 为极点, 轴在平面直角坐标系

中,直线

,曲线

( 为参数),坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标

系. (1)求

的极坐标方程;

(2)若曲线 的极坐标方程为

,且曲线 分别交 于点 两点,求 的最大值.

【答案】(1)

(2) ,

【解析】试题分析:(1)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,能求出曲线 C1 的极坐标方程;曲线 C2 消去参数 φ 得曲线 C2 的普通方程为 x2+(y﹣1)2=1,由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,能求出 C2 的极坐标方程.

(2)设 A(ρ1,α),B(ρ2,α),





,由此

能求出 的最大值.

试题解析:

(1)∵









,∴















,∴

(2)曲线 为

















∴,

.

23. 选修 4-5:不等式选讲

已知函数

.

(1)若函数 的最小值为 2,求实数 的值;

(2)若命题“存在

,满足不等式

”为假命题,求实数 的取值范围.

【答案】(1)



(2)

【解析】试题分析:(1)利用绝对值三角不等式求出 的最小值,建立方程,求出实数 的值;

(2)若命题“存在

,满足

”是假命题,则当

时,

恒成立.

试题解析:

(1)因为



所以

.



,得





解得



.

(2)若命题“存在

,满足

”是假命题,

则当 当 由 即

时, 时,
,得 ,即

恒成立,







.

据题意,

,则

解得

.

所以实数 的取值范围是

.