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高中数学第二章数列复习课——数列求和课件必修五


题目:数列的求和 题目:

1

等差数列的求和公式:

n ( a1 + a n ) 1 sn = = na1 + n ( n ? 1) d 2 2
等比数列的求和公式:

(q ≠ 1) (q = 1)
2

1
例2:求数列

1 2

, 2 4

1

, 3 8

1

, 4

1 1 6 ……的前n项和

1

解:因为a n = n +
2

所以,sn =

( 1

1

+ 2 +

)

( 2

1

n

+ 4 +

)

( 3

1 )

+ 8 +L+

(

1

n+ 2 n

)

1 1 1 1 =(1+2+3+ L n)+( + + + L + n ) 2 4 8 2 1 1
n n+ 2 =
( 1 ) 2 + ( 1 ? 2n 1 = 1 ? 2 )

n +2 n

2

1 ? 2n + 1

3

知识点2:分组结合法
若数列 { c} 的通项公式为 cn = an + b,其中 n n , { an} { bn} 中一个是等差数列,另一个是等比 数列,求和时一般用分组结合法。

4

想一想
例3:求和 解:由题知 ··· ··· ···

··· ···

5

想一想

1 1 1 1 例4、求和 + + +L+ 1× 2 2 × 3 3 × 4 n × (n + 1)
1 解: an =
sn =
=
( 1 1 )

?
1 1 )=
1 ) ( 1

1 ?
1 )

n n+
( 1

(

n

n+

1
( 1 1 ? ) 1

? 2 +

2 ? 3 +

3 ? 4 +L+

n

n+

1

1 ?

n+

1 =

n+

n 1

6

练习
数列 { an} 的通项公式 an =



?

1 (

n+

, 2 ) 求它的前n项和s n

1 = 2 (

1

1 ?

n

n+

2

)

7

1 3 5 2n ? 1 例5、求和: + + +L+ n 2 4 8 2
若数列的通项公式为 cn = an ? bn ,其中 { an} { bn} 中有一个是等差数列,另一个是等比数列,求和 时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的 等比数列的公比;然后再将得到的新和式和原和 式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方 法就是错位相减法。

知识点4: 知识点 :错位相减法

8

例6:求和S=1-2+3-4+ ??? +99-100

知识点5:并项法
若数列的相邻两项或多项之和存在规 我们就采用并项法求数列的前n项 律,我们就采用并项法求数列的前 项 之和。 之和。

9

1 例9:设 f ( x) = x 2 + 2

,求

f ( ?5) + f ( ?4) + ? ? ? + f (0) + f (1) + ? ? ? + f (5) + f (6)

1 1 x 5) f ( x ) = ∴ f ( ?) ++f (1 ? 4) + ? ? ?x+ f (0) + f1(1) + ? ? ? + f (5) + f (6) ?x 2 + 2 2 + 2 1 x = {[ f (?1) + f (6)] + [ f (?4) + f (5)] + ? ? ? + 2 5 1 1 + = x + 2 = x 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 ? 2x [ f (0) + f (1)] + ? ? ? + [ f (?5) + f (6)]} x 2 1 (2 x 2 2 ) 2 = ×12 × + 2 = 2 (2 x + 2 ) = 2 2 10

的值。

知识点7:倒序相加法
如果一个数列,与首末两项等距离的两项之 和等于首末两项之和,可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加,就得到一个 常数列的和,这一求和的方法称为倒序相 加法。

11

例10:求和S=3+33+333+…+33…3。
n个9 n个3

S=?(9+99+999+…+99…9) 2 3 =?[(10-1)+(10 -1)+(10 -1) n +…+(10 -1)] 2 3 n =?[(10+10 +10 +…+10 )+(-1-1 -1-…-1)] n
1 10(1 ? 10 ) = [ ? n] 3 1 ? 10 n +1 10 ? 10 n = ? 27 3

拆项法

12

总结 1、本节课主要讲了8种数列求和方法 公式法 分组结合法 裂项相消法 错位相减法 并项法 累差(商)法 拆项法 倒序相加法 2、求和时应首先注意观察数列特点和规律考察此数 列,是否是基本数列求和或者可转化为基本数列求和。 3、要熟练运用这些方法,还需要我们在练习中不 断摸索。

13

随堂练 习
1、数列 2、求和: 3、已知各项不为零的等差数列 ··· , , ··· 的前n项和 ··· ,求证: ···

14


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