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2.5平面向量应用举例


红旗中学新城校区理科数学必修四导学案

设计人: 鞠敏

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§ 2.5 平面向量应用举例
学习目标 1.运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析几何中直 线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

学习重点
运用向量的有关知识解决简单的物理问题

学习过程 探究一: (1)向量运算与几何中的结论"若 a ? b ,则 | a |?| b | ,且 a, b 所在直线平行或重合"相 类比,你有什么体会?

例 1.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:平行四边形 ABCD. 求证: AC 2 ? BD2 ? AB2 ? BC 2 ? CD2 ? DA2 .

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”? (1)建立平面几何与向量的联系, (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系, (3)把运算结果“翻译”成几何关系。 ?ABC 中, 变式训练: D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA 的中点, BF 与 CD 交于点 O, 设 AB ? a, AC ? b. (1)证明 A 、O、E 三点共线;
[来源:Z_xx_k.Com]

(2)用 a, b. 表示向量 AO 。
[来源:学§科§网]

例 2,如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、DC 边的 中点,BE、BF 分别与 AC 交 于 R、T 两点,你能发 现 AR、RT、TC 之间的关系吗?

探究二: 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力. 在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事?

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例 3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠 上作引体向上运动,两臂的夹 角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
[来源:Zxxk.Com]

请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题: ⑴ ? 为何值时,|F1|最小,最小值是多少? ⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?

例 4 如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 500 m,一艘船从 A 处出 发到河对岸.已知船的速度 |v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行 驶航程最短时 ,所用的时间是多少(精确到 0.1min)?

变式训练:两个粒子 A、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为 (1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s; (2)计算 s 在 sA 方向上的投影。 sA ? (4,3), sB ? (2,10) ,

三、当堂检测 1.已知 ?ABC中,a ? 2, b ? 3, C ? 600 ,求边长 c。

2.在平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角线 AC 的长。

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3.在平面上的三个力 F1 , F2 , F3 作用于一点且处于平衡状态, F1 ? 1N , F2 ? 夹角为 45o ,求: (1) F3 的大小; (2) F1 与 F3 夹角的大小。

6? 2 N , F1与F2 的 2

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

课后练习与提高 一、 选择题 1.给出下面四个结论: ① 若线段 AC=AB+BC,则向量 AC ? AB ? BC ; ② 若向量 AC ? AB ? BC ,则线段 AC=AB+BC; ③ 若向量 AB 与 BC 共线,则线段 AC=AB+BC; ④ 若向量 AB 与 BC 反向共线,则 AB ? BC ? AB ? BC . 其中正确的结论有 ( ) A. 0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.河水的流速为 2 m ,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m 的速度驶向对岸,则小 s s 船的静止速度大小为 ( ) A.10 m B. 2 26 m C. 4 6 m D.12 m s s s s 3.在 ?ABC 中,若 (CA ? CB) ? (CA ? CB) =0,则 ?ABC 为 ( A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 二、填空题 )

4.已知 ?ABC 两边的向量 AB ? e1 , AC ? e2 ,则 BC 边上的中线向量 AM 用 e1 、 e2 表示为

,OP 5.已知 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ?0 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1 ,则 OP 1 、 OP 2 、 OP 3 两两夹角是

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