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高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的 12 种求法
一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例 1 求函数 y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故 3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为[3,+∞]。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本 题通过直接观察算术平方根的性质而获解, 这种方法对于一类函数的值域的求法, 简捷明了, 不失为一种巧法。 练习:求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})

二、反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为 y≠1 的实数, 故函数 y 的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评: 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向 思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

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练习:求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1 或 y >1})

三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例 3:求函数 y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为 x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+ 9/4∈[0,9/4], ∴0≤√(-x2+x+2)≤3/2,函数的值域是[0,3/2]。 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数 y=2x-5+√(15-4x)的值域。(答案:值域为{y∣y≤3})

四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例 4 求函数 y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的 值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*) 当 y≠2 时,由Δ =(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当 y=2 时,方程(*)无解。∴函数的值域为 2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程 F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可

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求得函数的值域。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b±√(cx2+dx+ e)的函数。 练习:求函数 y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为 y≤-8 或 y>0)

五、最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值 f(a),f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。 例 5 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。 点拨: 根据已知条件求出自变量 x 的取值范围, 将目标函数消元、 配方, 可求出函数的值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式 2x2-x-3≤0 同解,解之得-1≤x≤3/2, 又 x+y=1,将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中,得 z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4 且 x∈[-1,3/2],函数 z 在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大 小。 当 x=-1 时,z=-5;当 x=3/2 时,z=15/4。 ∴函数 z 的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出 最值而获得函数的值域。 练习:若√x 为实数,则函数 y=x2+3x-5 的值域为( A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] )(答案:D)。

C.[0,+∞) D.[-5,+∞)

六、图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。 例 6 求函数 y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

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点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。 -2x+1 解:原函数化为 y= 3 2x-1 它的图象如图所示。 (x≤-1) (-1<x≤2) (x>2)

y

3 -1 O 1 2 x

显然函数值 y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。 点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想。 是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换 元法等方法求函数的值域。

七、单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例 1 求函数 y=4x-√(1-3x),(x≤/3)的值域。 点拨: 由已知的函数是复合函数, 即 g(x)=-√(1-3x), y=f(x)+g(x), 其定义域为 x≤1/3, 在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。

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解:设 f(x)=4x,g(x)=-√(1-3x ),(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而 y= f(x)+g(x)=4x-√(1-3x) 在定义域为 x≤1/3 上也为增函数,而且 y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为 {y|y≤4/3}。 点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函 数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数 y=3+√(4-x) 的值域。(答案:{y|y≥3})

八、换元法 以新变量代替函数式中的某些量, 使函数转化为以新变量为自变量的函数形式, 进而求出值 域。 例 2 求函数 y=x-3+√(2x+1) 的值域。 点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的 值域。 解:设 t=√(2x+1), (t≥0) 则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出 原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数 y=√(x-1)-x 的值域。(答案:{y|y≤-3/4})

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九、构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例 3 求函数 y=√(x2+4x+5)+√(x2-4x+8)的值域。 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 C B 解:原函数变形为 f(x)=√[(x+2)2+1]+√K [(2-x)2+22] F E 如图,作一个 AD=4,AB=3 的矩形 ABCD,EF∥AD 且 BE=1,H 为 EF 中点,K 为 EF 上任意一点。

H x

D

A

设 HK=x,则 EK=2-x,KF=2+x,AK=√[(2-x)2+22],KC=√[(x+2)2+1]。 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当 A、K、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5}。 点评:对于形如函数 y=√(x2+a)±√[(c-x)2+b](a,b,c 均为正数),均可通过构造几 何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习:求函数 y=√(x2+9)+√[(5-x)2+4]的值域。(答案:{y|y≥5√2})

十、比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原 函数的值域。
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例 4 已知 x,y∈R,且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2 的值域。 点拨:将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式,设置参数,代入原函数。 解:由 3x-4y-5=0 变形得,(x-3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当 k=-3/5 时,x=3/5,y=-4/5 时,zmin=1。 函数的值域为{z|z≥1}。 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将 原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。 练习:已知 x,y∈R,且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域。(答案:{f(x, y)|f(x,y)≥1})

十一、利用多项式的除法 例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0,故 y≠3。 ∴函数 y 的值域为 y≠3 的一切实数。 点评:对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习:求函数 y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)

十二、不等式法 例 6 求函数 y=3x/(3x+1)的值域。

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点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。 解:易求得原函数的反函数为 y=l/3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)>0 1-x≠0 解得,0<x<1。 ∴函数的值域(0,1)。 点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域, 进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。 以下供练习选用:求下列函数的值域 1.y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3}) 2.y=2x/(2x-1)。(y≠1)

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