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“平面向量”教学思考

向量是高中数学新课程中的重要内容,因此在教学中要注重加强数形结合的思想,利用 向量思想来解决其他数学问题,使数学知识增添新的活力.向量是集数、形于一身,是沟通代 数、几何的桥梁. 一、挖掘课本内涵 教材为了达到“少而精”的教学原则,其中的“省略语或词”的背后往往隐含着许多知 识,挖掘其内涵,严密解释,有利于研究性学习. 如 a∥b(b≠0) 当且仅当 x1y2-x2y1=0 . 新教材的推导过程如下: 设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,其中 b≠0. 那么通过教材前面的知识可以知道,a∥b (b≠0)的充要条件是存在当且仅当存在实数,使 a =b.这个结论如果用坐标表示,可写为 (x1,y1)=λ (x2,y2) ,即 x1=λ x2,y1=λ y2 .消去λ 后得 x1y2-x2y1=0 .这就是说,当 且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a、b(b≠0)共线. 针对上述:x1=λ x2 ,y1=λ y2 ,消去λ 后得 x1y2-x2y1=0 的过程,学生基本上会用两 种方法:1.(1)÷(2)式可得 = ,即 x1y2-x2y1=0 ; 2. 由(1)式得λ = ,代入(2)式得 y1= y2,即 x1y2-x2y1=0. 在讲授内容时,不要也像教材那样一笔带过,而要挖掘课本内涵,充分利用这种机会培 养学生严密的逻辑思维,应该在学生得出上述过程的基础上进行引导、启发. 这样效果会更好:因为 b≠0,所以 x2 与 y2 中至少有一个不等于 0,不妨设 x2≠0,则 由(1)式得λ = ,代入(2)式得 y1= y2,即 x1y2-x2y1=0. 又如教材上有这样一句话, “想一想:向量的数量积满足结合律吗?” 我们知道,对于实数 a、b、c,有(a b)c=a (b c)但对于向量 a、b、c 可从两方面 考虑.一方面,从数量积的角度考虑, (a ? b)? c 与 a ? (b ? c)都没意义,当然更谈不 上相等.事实上,a ? b 是一个实数,实数与向量不存在数量积.另一方面,从数量积与向量 积的角度考虑, (a ? b)?c ≠ a ? (b ? c) ,这是因为(a ? b)? c 表示一个与 c 共线的 向量;而 a ? (b ? c)表示一个与 a 共线的向量,a 与 c 一般不共线.此外,还可以探索(a ? b)?c = a ? (b ? c)成立的条件,以开拓思路. 二、 利用向量证明不等式 利用向量数量积公式:p、q=|p|?|q|, (为向量 p、q 的夹角) ,显然 p、q=|p|?|q|cos? 夼≤|p|?|q|,等号在:p,q 共线且同向时成立.通过观察,对所给不等式的结构,设法构造 出合理的向量, 利用数量积可以巧妙地证明不等式.用向量证明不等式是高中阶段的典型应用 之一. 例 1:设 a、b、c、d ∈R,求证: (ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2). 证明:方法一: (ad)2+(bc)2≥2(ad)?(bc) ,两边同时加上 a2c2,b2d2 有(a2c2) +(b2d2)+(ad)2+(bc)2≥2abcd+(a2c2)+b2d2,所以,a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥(ac+bd) 2. 即: (ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2).得证. 方法二:利用向量知识证明. 设 p=(a ,b) ,q=(c ,d) ,p,q 夹角为?夼,利用 p、q=|p|× |q|cos?夼≤|p|?|q|,有(p、q)2=(|p|?|q|?cos?夼)≤|p|2?|q|2,所以, (ac+bd) 2≤(a2+b2) (c2+d2).得证. 方法一采取常规做法,运算复杂,特别是配凑不易掌握,而方法二中,只要合理地构造 出 p、q,利用向量数量积,不等式便可水到渠成,巧妙证明.类似的,通过向量方法也可证 明(a3+b3)2≤(a4+b4) (a2+b2). 例 2:已知 x,y,z =1,求证:x2,y2,z2 ≥ . 证明:设 p=(1,1,1) ,q=( x,y ,z ).可得,p、q=x+y+z=1, |p|?|q|= ? ,利用 p、q≤|p|?|q|,有 3(x2+y2+z2)≥1. 所以,x2+y2+z2≥ . 向量本来就是“形”与“数”的结合体,只要充分利用就会给解题带来新的增长点,从 而提高学生的综合驾驭能力和新课标中倡导的辩证思维能力. 三、利用向量解决函数问题 函数问题一般都可以利用函数的知识来解决,在数学教学过程中,如果能用向量方法处 理函数问题,那么相应问题的解法就会简化、漂亮、独特.最重要的是我们达到了一题多解的 目的,而且反复应用能帮助学生深入理解向量概念,熟悉掌握向量的运算,加强数学知识之 间的联系,更能从中学到数形结合、转化变形等重要的数学思想. 例 3:求函数 y= - 的最大值. 分析:先将上式化简,y= - = - ,此时,自然地想到构造两个向量,p=(x-2,4) ,q= (x+2, 1) , 则 y=|p|-|q|≤|p-q|=5, 当且仅当 p、 q 同向共线时, 上式等号成立.x-2=4 (x+2) , 解得 x=- .所以,ymax=5,此时 x= . 例 4:求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最值. 分析:原函数可变成 y=2+sin2x+cos2x,所以只需求 u=sin2x+cos2x 的最值即可. 常规方法是在等式右端提出 ,化成两角和的正弦或余弦,再利用三角函数的最值解决. 也可用向量方法:构造 p=(sin2x,cos2x) ,q=(1,1) ,则|sin2x+cos2x|=|pq|≤|p|?|q|= . 所以,ymax=2+ ,ymax=2- . 由以上两题看到,采用向量计算不失为一种好方法,重点 在于根据题意构造向量.利用向量的数量积来解决新教材中增加的“简单的线性规划”问题, 可使目标函数的几何意义更加直观、 明确, 形成了 “看图说话

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