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山东省潍坊市临朐县2016届高三上学期10月考试数学(文)试题


临朐县 2016 届高三阶段性教学质量检测 数学(文科)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R, 集合 A ? ? x | y ? log 3 ( x ? 1)? , B ? y | y ? 2 x ,则 (饀 U A) ? B ? A. (0, +?) B. (0,1] C. (1, ??) D. (1, 2)

?

?

2.下列关于命题的说法正确的是()
2 A.命题“若 x 2 ? 1, 则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”;
2 B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件;

C.命题“ a 、 b 都是有理数”的否定是“ a 、 b 都不是有理数”; D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 3. 若 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log0.3 2 ,则 a , b, c 由大到小的关系是 A. a ? b ? c 4.给出下列图象 B. b ? a ? c C. b ? c ? a D. c ? a ? b

其中可能为函数 f ? x ? ? x ? ax ? cx ? bx ? d ? a, b, c, d ? R ? 的图象是
4 3 2

A.①③

B.①②

C.③④

D.②④

5.已知函数 y ? f ? x ? 满足:① y ? f ? x ? 1? 为偶函数;②在 ?1, ?? ? 上为增函数, 若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ?2,则f ? ?x1 ? 与f ? ?x2 ? 的大小关系是 A. f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? 法确定 6. 将函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图像沿 x 轴向左平移 的取值可能为 B. f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? C. f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? D. 无

?
6

个单位后,得到一个奇函数的图像,则 ?

A. ?

?
3

B. ?

?
6

C.

?
6

D.

?
3

? ? ? ? ? ? 7. 已知 a =(1,2), b =(0,1), c =(-2, k ),若( a +2 b ) ? c ,则 k =
1 2
C. ?

A.

B.2

1 2

D. ?2

? 1 x ?( ) , x ? 4, 8. 已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f (2 ? log 1 3) ? 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 4,
1 24 1 12 1 8 3 8

A.

B.

C.

D.

9. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则 A. b ? 0 B. b ? 1 C. b ?

1 2

D. 0 ? b ? 1

10. 设函数 y=f(x) 在区间 D 上的导函数为 f′(x) , f′(x) 在区间 D 上的导函数为 g(x) 。 若在区间 D 上, g(x) < 0 恒成立,则称函数 f(x ) 在区间 D 上为 “ 凸函数 ” 。已知 实数 m 是常 数 , f ( x) ? 则 m 的取值范围为 A. m > 0 B. m > 2 C. m ≤ 3 D. m ≥ 2

x 4 mx 3 3x 2 . 若 y=f(x) 在 区 间 [0 , 3 ] 上 为 “ 凸 函数 ” , ? ? 12 6 2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 ? 为第四象限角,若 tan( x ? 12.若函数 f ? x ? ? ?

?
4

)?

1 ,则 sin ? ? 2 cos ? ? ___________. 2

?? x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ? 4, ?? ? ,则实数 a 的取值范围 ?3 ? log a x, x ? 2,

是___________. 13.如图,已知 Rt△ABC 中,点 O 为斜边 BC 的中点,且 AB=8, AC=6,点 E 为边 AC 上一点, ???? ??? ? ??? ? ??? ? 且 AE ? ? AC ,若 AO ? BE ? ?20 ,则 ? ? ________. 14.设 x,y 均为正数,且 1 ? 1 ? 1 ,则 xy 的最小值为 x ?1 y ?1 2 ___________. 15.设函数 f ? x ? 的定义域为 D,若任取 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D 满足 称C

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C ,则 2

y ? f ? x ? 在 D 上的均值.给出下列五个函数:
① y ? x ;② y ? x 2 ;③ y ? 4sin x ;④ y ? 1gx ;⑤ y ? 2 x . 则所有满足在其定义域上的均值为 2 的函数的序号为___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知在 ΔABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 2a ? b ? cos(A ? C ) c cosC (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c=2,求使 ΔABC 面积最大时,a,b 的值。

17. (本小题满分 12 分)

1 2 x x 设命题 p :函数 f ( x) ? lg(ax ? x ? 16 a) 的定义域为 R ;命题 q :不等式 3 ? 9 ? a 对一
切正实数 x 均成立。 (Ⅰ)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)如果命题“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围; 18.(本小题满分 12 分) 设 a ? R ,解关于 x 的不等式 ax2 ? (1 ? 2a) x ? 2 ? 0 .

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)记 g(x)=bx2-1,若方程 f(x)=g(x)的解集恰有 3 个元素,求 b 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为 迎接 2015 年“双十一”购狂欢节, 某厂商拟投入适当的广告费, 对上所售产品进行促销. 经 调查测算, 该促销产品在“双十一”的销售量 P 万件与促销费用 x 万元满足 P ? 3 ? 2 (其
x ?1

中 0 ? x ? a ,a 为正常数).已知生产该批产品 P 万件还需投入成本(10 ? 2 P )万元(不含 促销费用),产品的销售价格定为 (4 ? 的销售需求. (Ⅰ)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (Ⅱ)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

20 ) 元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场 P

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax 2 ? x ? 1)e x ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (III)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ? 点,求实数 m 的取值范围.

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交 3 2

高三数学(文科)答案
一、选择题 1----5 BDBAC 二、填空题 11. 6----10 CAADB

10 2

12. 1 ? a ? 2

13.

2 3

14. 9

15. ①④

三、解答题 16.解: (I)? cos(A? C) ? cos(? ? B) ? ? cosB ,

2sin A ? sin B ? cos B ? sin C cosC 即 2 sin A c o s? C? ( s i n B c ?o s C c o s B ? s? i n C ) ? s i? n? (B C) 1 2? ? A ? (0, ? ) ? sin A ? 0 ? cos C ? ? ? C ? (0, ? ) ? C ? 2 3 2 2 2 (II)由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C
由题意及正弦定理得 ?

sinA

1 ? 4 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? (? ) 即 4 ? a 2 ? b2 ? ab , 2
2 2 又? a ? b ? 2ab ? 4 ? a 2 ? b2 ? ab ? 2ab ? ab ? 3ab

? 4 ? 3ab ,ab ?

4 3

(当且仅当 a ? b 时成立) ? S? ABC ?

1 3 ab sinC ? ab , 2 4

? 当 a ? b 时 ,ΔABC 面积最大为

2 3 3 ,此时 a ? b = 3 , 3

故当 a ? b =

2 3 3 时,ΔABC 的面积最大为 . 3 3

17. 解: (I)若命题为 p 真,即 ax 2 ? x ? ①当 a ? 0 时, ? x ? 0 不合题意 ②当 a ? 0 时,可得 ?

1 a ? 0 恒成立 16

? a?0 ?a ? 0 ?a ? 2 ,即 ? ? 1 2 1 ? a ? 0 ?? ? 0 ? ? 4

(II)令 y ? 3x ? 9 x ? ?(3x ? 1 ) 2 ? 1 由 x ? 0 得 3x ? 1 2 4 若命题 q 为真,则 a ? 0 由命题“ p 或 q ”为真且“ p 且 q ”为假,得命题 p 、 q 一真一假 当 p 真 q 假时, a 不存在 ① 当 p 假 q 真时, 0 ? a ? 2 综上所述, a 的取值范围是: 0 ? a ? 2 18.解:不等式等价 ?ax ? 1??x ? 2? ? 0 (1)当 a ? 0 时,则不等式化为 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 (2)若 a ? 0 ,则方程的两根分别为 2 和 ? ①当 a ? ?

1 a

1 1 时,解不等式得 ? ? x ? 2 2 a 1 ②当 a ? ? 时,解不等式得空集 2 1 1 ③当 ? ? a ? 0 时,解不等式得 2 ? x ? ? 2 a 1 ④当 a ? 0 时,解不等式得 x ? ? 或x ? 2 a
综上所述,当 a ? ?

1 1 ? ? 时,不等式的解集为 ? x | ? ? x ? 2? 2 a ? ?

当a ? ? 当?

1 时,不等式的解集为空集 2

1? 1 ? ? a ? 0 时,不等式解集 ? x | 2 ? x ? ? ? a? 2 ?

当 a ? 0 时,不等式的解集 ?x | x ? 2? 当 a ? 0 时,不等式的解集 ? x | x ? ?

? ?

1 ? 或x ? 2? a ?

19 解:(I)f'(x)=4x3-12x2+2ax,因为 f(x)在[0,1]上递增,在[1,2]上递减, 所以 x=1 是 f(x)的极值点, 所以 f'(1)=0, 即 4× 13-12× 12+2a× 1=0,解得 a=4, 经检验满足题意,所以 a=4. (II)由 f(x)=g(x)可得 x2(x2-4x+4-b)=0, 由题意知此方程有三个不相等的实数根, 此时 x=0 为方程的一实数根, 则方程 x2-4x+4-b=0 应有两个不相等的非零实根, 所以 Δ>0,且 4-b?0, 即(-4)2-4(4-b)>0 且 b?4,解得 b>0 且 b?4, 所以所求 b 的取值范围是(0,4)?(4,+8). 20.(I)由题意知, y ? (4 ? 将 p ? 3?

20 ) p ? x ? (10 ? 2 p) , p

2 4 ? x ( 0 ? x ? a ). 代入化简得: y ? 16 ? x ?1 x ?1
?4

(II) y? ? ?1 ? 当 a ? 1 时,

? x ? 1?

2

?

? ? x ? 1? ? 4
2

? x ? 1?

2

??

x2 ? 2 x ? 3

? x ? 1?

2

??

? x ? 3?? x ? 1? . ? x ? 1?
2

4 在 ? 0,1? 上单调递增 x ?1 4 在 ?1, a ? 上单调递减 x ? ?1,a ? 时 y ? ? 0 ,所以函数 y ? 16 ? x ? x ?1
x ? ? 0,1? 时 y ? ? 0 , 所以函数 y ? 16 ? x ?
促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时,因为函数 y ? 16 ? x ?

4 在 ? 0,1? 上单调递增 x ?1

y ? 16 ? x ?

所以 x ? a 时,函数有最大值.即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大 . 综上,当 a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时, 促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大 (注:当 a ? 1 时,也可: y ? 17 ? (

4 在 ? 0, a ? 上单调递增, x ?1

4 4 ? x ? 1) ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 , x ?1 x ?1

当且仅当

4 ? x ? 1, 即x ? 1 时,上式取等号) x ?1

注意:厂家盈利是 a 有应该最大值 21.解: (I) 因为 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x , 所以 f ?( x) ? (2 x ? 1)e x ? ( x 2 ? x ? 1)e x ? ( x 2 ? 3 x)e x , 所以曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e 方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 又因为 f (1) ? e , 所以所求切线

x 2 x 2 x 1 ? (II) f ( x) ? (2ax ? 1)e ? (ax ? x ? 1)e ? [ax ? (2a ? 1) x]e ?若 ? ? a ? 0 ,当 x ? 0 或

2

2a ? 1 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调递减区间为 a a 2a ? 1 2a ? 1 ,??) ; 单调递增区间为 [0,? ] (??,0] , [? a a 1 1 若 a ? ? , f ?( x) ? ? x 2 e x ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) . 2 2 2a ? 1 2a ? 1 1 若 a ? ? ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 当 ? ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 2 a a 2a ? 1 2a ? 1 的单调递减区间为 (??,? ] , [0,??) ; 单调递增区间为 [? ,0] a a x??
(III)由(2)知, f ( x) ? ( ? x 2 ? x ? 1)e x 在 (??,?1] 上单调递减,在 [?1,0] 单调递增,在 [0,??) 上 单调递减, 所以 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 f (?1) ? ? 在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 .

3 , e

1 3 1 2 x ? x ? m ,得 g ?( x) ? x 2 ? x . 当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 3 2 ? 时, g ( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (??,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0,??) 上单调递增. 故 1 g ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 g (?1) ? ? m , 6 在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m . 因为函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图象有 3 个不同的交点, 所以
由 g ( x) ?

? 3 1 ? f (?1) ? g (?1) ?? ? ? m 3 1 ,即 ? e 6 . 所以 ? ? ? m ? ?1 ? e 6 ? f (0) ? g (0) ? ?? 1 ? m


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