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(新课程)高中数学《3.2简单的三角恒等变换》评估训练 新人教A版必修4


高中新课程数学(新课标人教 A 版)必修四《3.2 简单的三角恒等变 换》评估训练
双基达标 ? 1.计算 sin 105°cos 75°的值是( 1 A. 2 1 B. 4 C. ). 2 2 D. 2 4 限时 20 分钟?

1 1 解析 sin 105°cos 75°=sin 75°cos 75°= sin 150°= ,故选 B. 2 4 答案 B 2.(2012·佛山高一检测)使函数 f(x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ )为奇函数的 θ 的一 个值是( π A. 6 ). π B. 3 π C. 2 2π D. 3

解析 f(x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ ) π ? ? =2sin?2x+ +θ ?. 3 ? ? 2 当 θ = π 时,f(x)=2sin(2x+π )=-2sin 2x. 3 答案 D 3.函数 f(x)=sin x- 3cos x(x∈[-π ,0])的单调递增区间是( 5π ? ? A.?-π ,- ? 6 ? ? π? ? 5π B.?- ,- ? 6? ? 6 ).

? π ? C.?- ,0? ? 3 ?

? π ? D.?- ,0? ? 6 ?

π 5 ? ? π? ? 解析 f(x)=2sin?x- ?,f(x)的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + π ?(k∈Z), 3? 6 6 ? ? ?

? π 5 ? 令 k=0 得增区间为?- , π ?. ? 6 6 ?
答案 D 4.化简 1+cos? 3π -θ ? ?3π ? ? 2 <θ <2π ?=________. 2 ? ? sin
2

解析 原式=

1-cos θ = 2

θ ? θ ? =?sin ?. 2? 2 ?

3π 3 θ θ ∵ <θ <2π ,∴ π < <π ,∴原式=sin . 2 4 2 2

1

答案 sin

θ 2

5. 已知函数 f(x)= asin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为 2, f(x)的最小正周期为 则 ________. 解析 ∵f(x)= a+1sin[(1-a)x+φ ], 由已知得 a+1=2,所以 a=3. 2π ∴f(x)=2sin(-2x+φ ),∴T= =π . |-2| 答案 π π? ? 2 2 6.已知 tan?θ + ?=3,求 5sin θ -3sin θ cos θ +2cos θ 的值. 4? ? π? π? ?? 解 tan θ =tan??θ + ?- ? 4? 4? ?? π? π ? tan?θ + ?-tan 4? 4 ? 1 = = , π? π 2 ? 1+tan?θ + ?·tan 4? 4 ? 5sin θ -3sin θ cos θ +2cos θ ∴原式= 2 2 sin θ +cos θ 5tan θ -3tan θ +2 7 = = . 2 tan θ +1 5 综合提高 ? 限时 25 分钟? ).
2 2 2

7.在△ABC 中,若 sin C=2cos Asin B,则此三角形必是( A.等腰三角形 C.直角三角形

B.正三角形 D.等腰直角三角形

解析 因为 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以已知方程可化为 sin Acos B -cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0.又-π <A-B<π ,∴A=B,故选 A. 答案 A α 1+tan 2 4 8.(2012·汕尾高一检测)若 cos α =- ,α 是第三象限的角,则 等于( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 1 B. 2 C.2 D.-2

).

4 3 解析 ∵α 是第三象限角,cos α =- ,∴sin α =- . 5 5

2

α sin 2 1+ α α α α cos 1+tan cos +sin 2 2 2 2 ∴ = = α α α α 1-tan sin cos -sin 2 2 2 2 1- α cos 2 α α α α cos +sin cos +sin 2 2 2 2 = · α α α α cos -sin cos +sin 2 2 2 2 3 1- 5 1+sin α 1 = = =- . cos α 4 2 - 5 答案 A sin 4x cos 2x cos x 9.化简 · · =________. 1+cos 4x 1+cos 2x 1+cos x 解析 原式= 2sin 2xcos 2x cos 2x cos x sin 2x cos x · · = · = 2 2cos 2x 1+cos 2x 1+cos x 1+cos 2x 1+cos x

2sin xcos x cos x sin x x · = =tan . 2 2cos x 1+cos x 1+cos x 2 答案 tan

x
2

10.(2012·天津高一检测)如果 a=(cos α +sin α ,2 008),b=(cos α -sin α ,1), 1 且 a∥b,那么 +tan 2α +1 的值是________. cos 2α cos α +sin α 解析 由 a∥b,得 cos α +sin α =2 008(cos α -sin α ),∴ =2 008. cos α -sin α 1 cos 2α + tan 2α =
2

1 cos 2α



sin 2α cos 2α



1+sin 2α 2 2 cos α -sin α



? sin α +cos α ? cos α +sin α = =2 008. ? cos α +sin α ? ? cos α -sin α ? cos α -sin α ∴ 1 +tan 2α +1=2 008+1=2 009. cos 2α

答案 2 009 11.已知函数 f(x)= π? π? ? 2? 3sin?2x- ?+2sin ?x- ?(x∈R). 6? ? ? 12?

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.
3

? π? ? π? 解 (1)∵f(x)= 3sin 2?x- ?+1-cos 2?x- ? ? 12? ? 12?
=2?

? 3 ? π? 1 ? π ?? sin 2?x- ?- cos 2?x- ??+1 ? 12? 2 ? 12?? ?2

? ? π? π? =2sin?2?x- ?- ?+1 ? ? 12? 6 ?
π? 2π ? =2sin?2x- ?+1,∴T= =π . 3? 2 ? π? ? (2)当 f(x)取得最大值时,sin?2x- ?=1, 3? ? π π 5π 有 2x- =2kπ + ,即 x=kπ + (k∈Z), 3 2 12
? ? 5π ∴所求 x 的集合为?x|x=kπ + ,k∈Z?. 12 ? ?

12. (创新拓展)已知向量 m=(cos θ , θ )和 n=( 2-sin θ , θ ), ∈(π , ), sin cos θ 2π 8 2 ?θ π ? 且|m+n|= ,求 cos? + ?的值. 5 ?2 8? 解 m+n=(cos θ -sin θ + 2,cos θ +sin θ ), |m+n|= ? = 4+2 2? =2 cos θ -sin θ + 2? cos θ -sin θ ? =
2

+?

cos θ +sin θ ?

2

π? ? 4+4cos?θ + ? 4? ?

π? ? 1+cos?θ + ?. 4? ?

π? 7 8 2 ? 由已知|m+n|= ,得 cos?θ + ?= . 4 ? 25 5 ? π? π? ? 2?θ 又 cos?θ + ?=2cos ? + ?-1, 4? ? ?2 8? π ? 16 2?θ 所以 cos ? + ?= . ? 2 8 ? 25 5π θ π 9π ∵π <θ <2π ,∴ < + < . 8 2 8 8

?θ π ? ∴cos? + ?<0. ?2 8?
4 ?θ π ? ∴cos? + ?=- . 5 ?2 8?

4


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