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湖南省长沙市一中2013届高三月考数学(理科)试卷(五)


湖南省长沙市一中 2013 届高三月考数学(理科)试卷(五)
长沙市一中高三理科数学备课组组稿 命题人:蒋楚辉 审题人:胡雪文 满分:150 分

时量:120 分钟

(考试范围:集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、 推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 6 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={-2,0,1},集合 B={x||x|<a 且 x∈Z},则满足 A?B 的实数 a 可以取的一个值 是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为( ) A.1 B.16 C.81 D.41 3.如图,设 D 是图中边长分别为 2 和 4 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y=x2 图象下方的区 域(阴影部分),向 D 内随机抛掷 30 个点,则落在 E 内的点的个数约为( ) A.15 B.20 C.5 D.10 a 2 4.已知命题 p:“a=1 是?x>0,x+ ≥2 的充分必要条件”,命题 q:“?x0∈R,x0 +x0- x 2>0”,则下列命题正确的是( ) A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧(┐q)”是真命题 C.命题“(┐p)∧q”是真命题 D.命题“(┐p)∧(┐q)”是真命题 π 3 5π 5.已知 cos( -α)= ,则 sin( -2α)的值为( ) 6 3 6 1 A. 3 1 B.- 3 2 2 C. D.- 3 3 2a(x≥2) 则 f(log45)等于(B) f(x+2)(x<2),

6.已知函数 f(x)= A.2 5 B.4 5

C.3 5 D. 5

x-y+2≥0 7.已知实数 x,y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ,目标函数 z=y-ax(a∈R),若 z 取最大 2x-y-5≤0 值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 8.形如 45132 这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比它们各自相邻的数字大, 则由 1、2、3、4、5 可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( ) 1 A. 6 3 11 2 B. C. D. 20 120 15

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 9.幂函数 f(x)=xα(α 为常数)的图象经过(3, 3),则 f(x)的解析式是 10.函数 f(x)=exlnx-1 的零点个数是 个. 11.按下图所示的程序框图运算:若输出 k=2,则输入 x 的取值范围是 . .

1 12.数列{an}满足:a1=2,an=1- (n=2,3,4,?),则 a12= an-1

.

13.已知函数 f(x)=|x-2|,若?a≠0,且 a,b∈R,都有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|· f(x)成立,则 实数 x 的取值范围是 . 14.在△ABC 中有如下结论:“若点 M 为△ABC 的重心,则 MA + MB + MC =0”,设 a, b, c 分别为△ABC 的内角 A, B, C 的对边, 点 M 为△ABC 的重心.如果 a MA +b MB + 3 c MC 3

=0,则内角 A 的大小为 ;若 a=3,则△ABC 的面积为 . ? 15.给定集合 A={a1,a2,a3,?,an}(n∈N ,n≥3),定义 ai+aj(1≤i<j≤n,i,j∈N?)中所 有不同值的个数为集合 A 两元素和的容量,用 L(A)表示,若 A={2,4,6,8},则 L(A)= ;若数 * 列{an}是等差数列,设集合 A={a1, a2,a3,?,am}(其中 m∈N ,m 为常数),则 L(A)关于 m 的 表达式为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 若盒中装有同一型号的灯泡共 12 只,其中有 9 只合格品,3 只次品. (1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次, 每次取一只灯泡, 求 2 次取到次品的概率; (2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品 则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡前 取出的次品灯泡只数 X 的分布列和数学期望.

17.(本小题满分 12 分) π 1 已知函数 f(x)=2 sinωx·cos(ωx+ )+ (ω>0)的最小正周期为 4π. 6 2 (1)求正实数 ω 的值; (2)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 2bcosA=acosC+ccosA,求 f(A)的值.

18.(本小题满分 12 分) - 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等,且 a1+2a2+22a3+?+2 n 1an=8n 对 任意的 n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)是否存在 k∈N*,使得 bk-ak∈(0,1)?请说明理由.

19.(本小题满分 13 分) 某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是 3 元,根据市场调查,预计每件产品的出厂 价为 x 元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2 万件;若该企业所生产的产品全部销售,则称该企 业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数 a(1≤a≤3). (1)求该企业正常生产一年的利润 L(x)与出厂价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润.

20.(本小题满分 13 分) 设函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意 x,y∈(0,+∞)都 1 1 1 1 2 有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1,f( - )+f( + )=0.设 Sn=a2 1a2 2an+1 2an 2an+1 2an
2 2 2 2 2 2 2 +a2 2a3+a3a4+?+an-1an+anan+1. (1)求数列{an}的通项公式,并求 Sn 关于 n 的表达式; (2)设函数 g(x)对任意 x、y 都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若 g(1)=1,正项数列{bn}满足:

1 b2 n=g( n),Tn 为数列{bn}的前 n 项和,试比较 4Sn 与 Tn 的大小. 2

21.(本小题满分 13 分) 定义 F(x,y)=(1+x)y,其中 x,y∈(0,+∞). (1)令函数 f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)),其图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C 在 x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)令函数 g(x)=F(1,log2[(lnx-1)ex+x]),是否存在实数 x0∈[1,e],使曲线 y=g(x)在点 x =x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. (3)当 x,y∈N?,且 x<y 时,求证:F(x,y)>F(y,x).

数 学(理科) 答 案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={-2,0,1},集合 B={x||x|<a 且 x∈Z},则满足 A?B 的实数 a 可以取的一个值 是(A) A.3 B.2 C.1 D.0 2.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为(C) A.1 B.16 C.81 D.41 3.如图,设 D 是图中边长分别为 2 和 4 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y=x2 图象下方的区 域(阴影部分),向 D 内随机抛掷 30 个点,则落在 E 内的点的个数约为(D) A.15 B.20 C.5 D.10 a 2 4.已知命题 p:“a=1 是?x>0,x+ ≥2 的充分必要条件”,命题 q:“?x0∈R,x0 +x0- x 2>0”,则下列命题正确的是(C) A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧(┐q)”是真命题 C.命题“(┐p)∧q”是真命题 D.命题“(┐p)∧(┐q)”是真命题 π 3 5π 5.已知 cos( -α)= ,则 sin( -2α)的值为(B) 6 3 6 1 A. 3 1 B.- 3 2 2 C. D.- 3 3 2a(x≥2) 则 f(log45)等于(B) f(x+2)(x<2),

6.已知函数 f(x)=

A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5 解:∵1<log45<2,∴f(log45)=f(log45+2)=f(log480)=2log480=4 5. x-y+2≥0 7.已知实数 x,y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ,目标函数 z=y-ax(a∈R),若 z 取最大 2x-y-5≤0 值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是(C) A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 解:约束条件对应的平面区域如下图,而直线 x+y-4=0 与 x-y+2=0 交于点 A(1,3),此 时取最大值,故 a>1.

8.形如 45132 这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比它们各自相邻的数字大, 则由 1、2、3、4、5 可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)

1 A. 6

3 11 2 B. C. D. 20 120 15

3 解:当十位与千位是 4 或 5 时,共有波浪数为 A2 2A3=12 个.当千位是 5,十位是 3 时,万位 只能是 4,此时共有 2 个波浪数.当千位是 3,十位是 5 时,末位只能是 4.此时共有 2 个波浪数.故

12+2+2 2 所求概率 P= = . A5 15 5 选择题答题卡 题 答 号 案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 1 9.幂函数 f(x)=xα(α 为常数)的图象经过(3, 3),则 f(x)的解析式是 f(x)=x 2 .

10.函数 f(x)=exlnx-1 的零点个数是 1 个. 11.按下图所示的程序框图运算:若输出 k=2,则输入 x 的取值范围是 (28,57] .

解:当输出 k=2 时,应满足

2x+1≤115,解得 28<x≤57. 2(2x+1)+1>115

1 12.数列{an}满足:a1=2,an=1- (n=2,3,4,?),则 a12= -1 . an-1 1 1 1 1 解:由已知 a1=2,a2=1- = ,a3=1- =-1,a4=1- =2, a1 2 a2 a3 可知{an}是周期为 3 的周期数列,则 a12=a3×4=a3=-1. 13.已知函数 f(x)=|x-2|,若?a≠0,且 a,b∈R,都有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|· f(x)成立,则 实数 x 的取值范围是 [0,4] . |a+b|+|a-b| 解:|a+b|+|a-b|≥|a|· f(x)及 a≠0 得 f(x)≤ 恒成立, |a| 而 |a+b|+|a-b| |a+b+a-b| ≥ =2,则 f(x)≤2,从而|x-2|≤2,解得 0≤x≤4. |a| |a|

14.在△ABC 中有如下结论:“若点 M 为△ABC 的重心,则 MA + MB + MC =0”,设 a, b, c 分别为△ABC 的内角 A, B, C 的对边, 点 M 为△ABC 的重心.如果 a MA +b MB + =0,则内角 A 的大小为 π 9 3 ;若 a=3,则△ABC 的面积为 6 4 . 3 c MC 3

解:由 a MA +b MB + (b- 3 c) MB =0. 3

3 3 3 c MC =a MA +b MB + c(- MA - MB )=(a- c) MA + 3 3 3

又 MA 与 MB 不共线,则 a=

3 3 π c=b,由余弦定理可求得 cosA= ,故 A= . 3 2 6

1 1 1 9 3 又 S△= bcsinA= × 3× 3 3× = . 2 2 2 4 15.给定集合 A={a1,a2,a3,?,an}(n∈N?,n≥3),定义 ai+aj(1≤i<j≤n,i,j∈N?)中所 有不同值的个数为集合 A 两元素和的容量,用 L(A)表示,若 A={2,4,6,8},则 L(A)= 5 ;若数 列{an}是等差数列,设集合 A={a1,a2,a3,?,am}(其中 m∈N*,m 为常数),则 L(A)关于 m 的 表达式为 2m-3 . 解:①∵2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,∴L(A)=5. ②不妨设数列{an}是递增等差数列可知 a1<a2<a3<?<am,则 a1+a2<a1+a3<?<a1+am<a2+ am<?<am-1+am,故 ai+aj(1≤i<j≤m)中至少有 2m-3 个不同的数. 又据等差数列的性质:当 i+j≤m 时,ai+aj=a1+ai+j-1; 当 i+j>m 时,ai+aj=ai+j-m+am, 因此每个和 ai+aj(1≤i<j≤m)等于 a1+ak(2≤k≤m)中一个, 或者等于 al+am(2≤l≤m-1)中的一个.故 L(A)=2m-3. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 若盒中装有同一型号的灯泡共 12 只,其中有 9 只合格品,3 只次品. (1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次, 每 次取一只灯泡, 求 2 次取到次品的概率; (2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品 则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡前 取出的次品灯泡只数 X 的分布列和数学期望. 解:(1)每次取到一只次品的概率 P1= C1 1 3 1 = , C12 4

12 1 9 则有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品的概率 P=C2 (1- )= .(5 分) 3( ) · 4 4 64 (2)依题知 X 的可能取值为 0、1、2、3.(6 分) 9 3 且 P(X=0)= = , 12 4 3 9 9 P(X=1)= × = , 12 11 44 3 2 9 9 P(X=2)= × × = , 12 11 10 220 3 2 1 9 1 P(X=3)= × × × = .(8 分) 12 11 10 9 220 则 X 的分布列如下表: X P 0 3 4 1 9 44 2 9 220 3 1 220 (10 分) 3 9 9 1 3 EX=0× +1× +2× +3× = .(12 分) 4 44 220 220 10

17.(本小题满分 12 分) π 1 已知函数 f(x)=2sinωx·cos(ωx+ )+ (ω>0)的最小正周期为 4π. 6 2 (1)求正实数 ω 的值; (2)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 2bcosA=acosC+ccosA,求 f(A)的值. π π 1 解:(1)∵f(x)=2sinωx(cosωx·cos -sinωx·sin )+ (2 分) 6 6 2 1 = 3sinωxcosωx-sin2ωx+ 2 = 3 1 1 π sin2ωx- (1-cos2ωx)+ =sin(2ωx+ ).(5 分) 2 2 2 6

2π 1 又 f(x)的最小正周期 T= =4π,则 ω= .(6 分) 2ω 4 (2)由 2bcosA=acosC+ccosA 及正弦定理可得 2sinBcosA=sinAcosC +sinCcosA=sin(A+C). 又 A+B+C=π,则 2sinBcosA=sinB.(8 分) 1 π 而 sinB≠0,则 cosA= .又 A∈(0,π),故 A= .(10 分) 2 3 x π π 1 π π 3 由(1)f(x)=sin( + ),从而 f(A)=sin( × + )=sin = .(12 分) 2 6 3 2 6 3 2 18.(本小题满分 12 分) - 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等, 且 a1+2a2+22a3+?+2n 1an=8n 对任 意的 n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)是否存在 k∈N*,使得 bk-ak∈(0,1)?请说明理由. - 解:(1)已知 a1+2a2+22a3+?+2n 1an=8n(n∈N*).① - n≥2 时,a1+2a2+22a3+?+2n 2an-1=8(n-1)(n∈N*).② - - - ①-②得 2n 1an=8,解得 an=24 n,在①中令 n=1,可得 a1=8=24 1, - 所以 an=24 n(n∈N*).(4 分) 由题意 b1=8,b2=4,b3=2,所以 b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2, ∴bn+1-bn=-4+(n-1)× 2=2n-6, bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1) =8+(-4)+(-2)+?+(2n-8)=n2-7n+14(n∈N*).(8 分) 7 7 - - (2)bk-ak=k2-7k+14-24 k,当 k≥4 时,f(k)=(k- )2+ -24 k 单调递增, 2 4 且 f(4)=1,所以 k≥4 时,f(k)=k2-7k+14-2 4 k≥1. 又 f(1)=f(2)=f(3)=0,所以,不存在 k∈N*,使得 bk-ak∈(0,1).(12 分)


19.(本小题满分 13 分) 某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是 3 元,根据市场调查,预计每件产品的出厂 价为 x 元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2 万件;若该企业所生产的产品全部销售,则称该企

业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数 a(1≤a≤3). (1)求该企业正常生产一年的利润 L(x)与出厂价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润. 解:(1)依题意,L(x)=(x-3)(11-x)2-a(11-x)2=(x-3-a)(11-x)2,x∈[7,10].(4 分) (2)因为 L′(x)=(11-x)2-2(x-3-a)(11-x)=(11-x)(11-x-2x+6+2a) =(11-x)(17+2a-3x). 17+2a 由 L′(x)=0,得 x=11?[7,10]或 x= .(6 分) 3 19 17+2a 23 因为 1≤a≤3,所以 ≤ ≤ . 3 3 3 19 17+2a ①当 ≤ ≤7,即 1≤a≤2 时,L′(x)在[7,10]上恒为负,则 L(x)在[7,10]上为减函数,所 3 3 以[L(x)]max=L(7)=16(4-a).(9 分) 17+2a 23 17+2a 4 ②当 7< ≤ ,即 2<a≤3 时,[L(x)]max=L( )= (8-a)3.(12 分) 3 3 3 27 即当 1≤a≤2 时,则每件产品出厂价为 7 元时,年利润最大,为 16(4-a)万元.当 2<a≤3 时, 17+2a 4 则每件产品出厂价为 元时,年利润最大,为 (8-a)3 万元.(13 分) 3 27 20.(本小题满分 13 分) 设函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意 x,y∈(0,+∞)都 1 1 1 1 2 有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1,f( - )+f( + )=0.设 Sn=a2 1a2 2an+1 2an 2an+1 2an
2 2 2 2 2 2 2 +a2 2a3+a3a4+?+an-1an+anan+1. (1)求数列{an}的通项公式,并求 Sn 关于 n 的表达式; (2)设函数 g(x)对任意 x、y 都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若 g(1)=1,正项数列{bn}满足:

1 b2 n=g( n),Tn 为数列{bn}的前 n 项和,试比较 4Sn 与 Tn 的大小. 2 解:(1)当 x,y∈(0,+∞)时,有 f(xy)=f(x)+f(y), 令 x=y=1 得 f(1)=2f(1),得 f(1)=0,所以 a1=f(1)+1=1.(1 分) 1 1 1 1 1 1 因为 f( - )+f( + )=0,所以 f( 2 - 2)=0=f(1). 2an+1 2an 2an+1 2an 4an+1 4an 1 1 1 1 又因为 y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以 2 - 2=1,即 2 - 2=4,(3 分) 4 a a 4an+1 an+1 n n 1 1 1 所以数列{ 2}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列,所以 2=4n-3,所以 an= . an an 4n-3 1 1 1 1 2 ∵a2 = [ - ], nan+1= (4n-3)(4n+1) 4 4n-3 4n+1 11 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn= [ - + - +?+ - ]= [1- ].(5 分) 41 5 5 9 4n-3 4n+1 4 4n+1 (2)由于任意 x,y∈R 都有 g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,则 g(2x)=2g(x)+2x2, 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴g(1)=2g( )+2· ( )2=2[2g( )+2· ( )2]+ =22g( )+ 2+ 2 2 4 4 2 4 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 =22[2g( 3)+2· ( 3)2]+ 2+ =23g( 3)+ 3+ 2+ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 =?=2ng( n)+ n+ n-1+ n-2+?+ 2+ =1, 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ∴g( n)= 2n,即 b2 n= 2n. 2 2 2 1 又 bn>0,∴bn= n,(9 分) 2 1 1 1 1 1 ∴Tn= + 2+?+ n=1- n,又 4Sn=1- . 2 2 2 2 4n+ 1 当 n=1,2,3,4 时,4n+1>2n,∴4Sn>Tn;(10 分) n(n-1) 1 2 n-1 n 当 n≥5 时,2n=C0 =1+n2+n. n +Cn+Cn+?+Cn +Cn>1+2n+2 2 而 n2+n+1-(4n+1)=n2-3n=n(n-3)>0,故 4Sn<Tn.(13 分) (用数学归纳法证明参照计分) 21.(本小题满分 13 分) 定义 F(x,y )=(1+x)y,其中 x,y∈(0,+∞). (1)令函数 f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)),其图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C 在 x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)令函数 g( x)=F(1,log2[(lnx-1)ex+x]),是否存在实数 x0∈[1,e],使曲线 y=g(x)在点 x =x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. (3)当 x,y∈N?,且 x<y 时,求证:F(x,y)>F(y,x). 解:(1)f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1,设曲线 C 在 x0(-4<x0<-1)处有斜 率为-8 的切线, 又由题设知 log2(x3+ax2+bx+1)>0,f′(x)=3x2+2ax+b, 3x20+2ax0+b=-8 ① ∴存在实数 b 使得 -4<x0<-1 ② 有解,(3 分) 3 2 x 0+ax 0+ bx0>0 ③ 2 由①得 b=-8-3x0-2ax0,代入③得-2x2 0-ax0-8<0, ∴由 2x20+ax0+8>0 有解, -4< x0<-1 得 2× (-4)2+a× (-4)+8>0 或 2× (-1)2+a× (-1)+8>0, ∴a<10 或 a<10,∴a<10.(5 分) (2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x, ex 1 ∴g′(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1= +(lnx-1)ex+1=( +lnx-1)ex+1.(6 分) x x 1 1 1 x-1 设 h(x)= +lnx-1.则 h ′(x)=- 2+ = 2 , x x x x 当 x∈[1,e]时,h′(x)≥0. 1 h(x)为增函数,因此 h(x)在区间[1,e]上的最小值为 ln1=0,即 +lnx-1≥0. x 1 当 x0∈[1,e]时,ex0>0, +lnx0-1≥0, x0

1 ∴g′(x0)=( +lnx0-1)ex0+1≥1>0.(8 分) x0 曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g′(x0)=0 有实数解. 而 g′(x0)>0,即方程 g′(x0)=0 无实数解. 故不存在实数 x0∈[1,e],使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直.(9 分) x -ln(1+x) 1+x ln(1+x) (3)证明:令 h(x)= ,x≥1,由 h′(x)= , x x2 x 又令 p(x)= -ln(1+x),x≥0, 1+x ∴p′(x)= -x 1 1 - = ≤0, (1+x)2 1+x (1+x)2

∴p(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴当 x>0 时,有 p(x)<p(0)=0, ∴当 x≥1 时,有 h′(x)<0, ∴h(x)在[1,+∞)上单调 递减,(11 分) ln(1+x) ln(1+y) ∴当 1≤x<y 时,有 > , x y ∴yln(1+x)>xln(1+y),∴(1+x)y>(1+y )x, ∴当 x,y∈N?,且 x<y 时,F(x,y)>F(y,x).(13 分)


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