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选修4-4第一讲-1平面直角坐标系


一.平面直角坐标系的建立 坐标法

1、建立平面直角坐标系

2、设点(点与坐标的对应)
3、列式(方程与坐标的对应) 4、化简

5、说明

C P

B

信息中心

A

l r

以接报中心为原点O,以BA方向为x轴,建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点, 则 A(1020,0), B(-1020,0), C(0,1020) 设 P ( x,y )为巨响发生点,由 B 、 C 同时听 到巨响声,得|PC|=|PB| ,故P在BC的垂直平分 线PO上,PO的方程为y=-x,因A点比B点晚4s y 听到爆炸声, 故|PA|- |PB|=340×4=1360
B
P C

o

A

x

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
x y 双曲线 上, ? ? 1 2 2 a b
2 2

a ? 680 , c ? 1020 ? b ? c ? a ? 1020 ? 680 ? 5 ? 340
2 2 2 2 2 2 2 2

x y 故双曲线方程为 2 ? ? 1 ( x ? 0) 2 680 5 ? 340

用y=-x代入上式,得 x ? ?680 5, ∵|PA|>|PB|,

? x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 即P(?680 5 ,680 5 ),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10m 处.

例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线,建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。 y
解: 以△ABC的顶点A为原点O, 边AB所在的直线x轴,建立直角 坐标系,由已知,点A、B、F的 坐标分别为 c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
C E

O (A)

F

B

x

x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为( ,). 2 2 由b2 ? c2 ? 5a2,可得到 | AC |2 ? | AB |2 ? 5 | BC |2 ,

即 x ? y ? c ? 5[( x ? c) ? y ].
2 2 2 2 2

整理得
因为

2x ? 2 y ? 2c ? 5cx ? 0.
2 2 2

??? ? ? c x y ??? BE ? ( ? c, ), CF ? ( ? x, ? y ), 2 2 2

??? ? ??? ? x c y2 所以 BE ? CF ? ( ? c)( ? x) ? ? 0. 2 2 2

因此,BE与CF互相垂直.

根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则: (1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点;

(2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;
(3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。

P8 习题1.1--1
第二课时 平面直角坐标 系中的仲缩变换

二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?

y=sin2x ?

2?
x

O

y=sinx

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐 1 标不变,将横坐标x缩为原来的 ,就得到正弦 2 曲线y=sin2x.

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,
即:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持 纵坐标不变,将横坐标x缩为原来 1 ,得到点 2 P’(x’,y’).坐标对应关系为:

坐标对应关系为:
1 x’= 2

x

y’=y

1

通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。

在正弦曲线上任取一点P(x,y), 保持横坐标x不变,将纵坐标伸长为原 来的3倍,就得到曲线y=3sinx。 设点P(x,y)经变换得到点为 P’(x’,yx ’ ) =x ’ 2 y’=3y 通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

1 标不变,将横坐标x缩为原来的 ,在此基础上, 2

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐

将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦曲线

y=3sin2x. 设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’) 1 x’= 2 x

y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐
标伸缩变换。

3

定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点,在变换 (? ? 0) ?x' ? ? x 4 ? :? ( ? ? 0) ? y' ? ? y
的作用下,点P(x,y)对应 P ’ (x ’ ,y ’ ). 称 ? 为平面直角坐标系中的伸缩变换。

注 (1) ? ? 0, ? ? 0
(2)把图形看成点的运动轨迹, 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角 坐标系不变,在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。

练习:
1.在直角坐标系中,求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换 x’=x y’=3y

后的图形。
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1

2.在同一直角坐标系下,求满足下列 图形的伸缩变换:曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下,经过伸缩变 换 x’=3x y’=y 曲线C变为x’2-9y’2 =1,求曲线C 的方程并画出图形。 后,

思考:在伸缩 4 下,椭圆是否可以 变成圆?抛物线,双曲线变成什么曲 线?

补充练习:

1 求下列点经过伸缩变换
①(1,2); ②(-2,-1).

? x' ? 2 x ? ? y' ? 3 y
1 x 3 后的曲线方程是 1 y 2

后的点的坐标:

2 曲线C经过伸缩变换

则曲线C的方程是

? x' ? ? ? ? ? y' ? ? ? .

4 x'2 ?9 y'2 ? 36

3 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是(



? x' ? ? ? A? ? y' ? ? ?

2 x 3 3 y 2

? x' ? ? ? B? ? y' ? ? ?

3 x 2 2 y 3

? x' ? y C? ? y' ? x

? x' ? x ? 1 D? ? y' ? y ? 1

4 曲线

x2 ? y2 ? 2x ? 0
.

变成曲线

x'2 ?16 y'2 ?4 x' ? 0
? x' ? 2 x ? ? y' ? 2 y

的伸缩变换是

5 在伸缩变换 单位圆

x ? y ? 1 分别变成什么图形?
2 2

? x' ? 2 x 与伸缩变换 ? ? y' ? y

的作用下,

6 设M1是A1(x1, y1)与B1(x2, y2)的中点,经过伸缩变换后, 它们分别为M2, A2, B2,求证:M2是A2B2的中点.

7 在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变 换:曲线 4x2+9y2=36 变为曲线 x’2+y’2=1

8 在同一直角坐标系下,经过伸缩变换 后,曲线C变为x’2-9y’2 =1,求曲线C的方程 并画出图形。

? x? ? 3 x ? ? y? ? y

课堂小结:
(1)体会坐标法的思想,应用坐标 法解决几何问题; (2)掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。 作业: P8 4, 5,6

预习: 极坐标系(书本P9-P11)


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