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直线和椭圆的位置关系


直线和椭圆的位置关系
一、要点精讲 1.直线和椭圆的位置关系有三种:相交、相切、相离. 判定方法——代数法。

将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数, 得到一个一元二次方程, 判断方程解的情 况: △>0,方程有两个不同的解,则直线与椭圆相交; △=0,方程有两个相等的解,则直线与椭圆相切; △<0,方程无解,则直线与椭圆相离. 2.直线与椭圆相交所得的弦长公式:设直线 y ? kx ? b 交椭圆于 P ?x1 , y1 ? , P2 ?x2 , y2 ? , 1

则 P P2 ? 1

?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2
2

2

?

?x1 ? x2 ?

2

? ? y ? y ?2 ? ?1 ? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? ?
1 ?k ? 0? . k2

?x1 ? x2 ?2 ?1 ? k 2 ?

所以 P P2 ? x1 ? x2 1 ? k ,或 P P2 ? y1 ? y2 1 ? 1 1 4.研究直线与椭圆位置关系的通性通法

解决直线与椭圆位置关系时, 一般通过直线与椭圆交点个数进行研究, 用一元二次方程 的判别式,根与系数的关系,求根公式等来处理问题,还要注意数形结合思想的运用,通过 图形的直观性帮助分析、解决间题. 三、基础自测

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点到直线 y ? 3 x 的距离是 1. 椭圆 4 3
A.

1 2

B.

3 2

C. 1
2

D.
2

3


2. 直线 l : 2 x ? by ? 3 ? 0 过椭圆 C : 10 x ? y ? 10 的一个焦点,则 b 的值为( A. ? 1 B.

1 2
2

C. ? 1 或 1

D. ?

1 1 或 2 2

3. 方程 x ? 1 ? 2 y 表示的是椭圆的 (A)上半部分 (B)下半部分 (C)左半部分 (D)右半部分

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F , 4. (2012 四川) 椭圆 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 , ?FAB B 当 4 3
1/9

的周长最大时, ?FAB 的面积是____________。 解 : 当 x ? m 过 右 焦 点 时 ?FAB 的 周 长 最 大 , ? m ? 1 ; 将 x ? 1 带 入 解 得 y ? ?

3 ; 2

1 3 S?FAB ? ? 2 ? ? 3 . 2 2
5. 直线 x ? y ? m ? 0 与椭圆 6. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 只有一个公共点,则 m ? 9

.

1 2 x ? y 2 ? 1 和椭圆外一点 ?0,2 ? ,过这点任意引直线与椭圆交于 A,B 两点,求 2

弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

四、典例精析 题型一:直线与椭圆的交点问题 1. 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .
2 2

⑴ 当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; ⑵ 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程. 2. 已知定点 A(-2, -1),B(1, 2),线段 AB 与椭圆 x ? 2 y ? a 有公共点,求 a 的取值范围.
2 2

题型二:求椭圆方程问题 3.(2010 辽宁)设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相 a 2 b2

交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)如果|AB|=

??? ?

??? ?

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

2/9

4. (2011 天津)已知椭圆 得到的菱形的 面积为 4 .

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? .连接椭圆的四个顶点 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B .已知点 A 的坐标为

? ? a, 0 ? .
若 AB ?

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5

5.(2012 陕西)已知椭圆 C1 : 离心率。 (1)求椭圆 C2 的方程;

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的 4

(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。 解 : Ⅰ ) 由 已 知 可 设 椭 圆 C2 的 方 程 为 (

??? ?

??? ?

y 2 x2 3 ? ? 1? a ? 2 ? 点 , 其 离 心 率 为 ,故 2 2 a 4
3/9

a2 ? 4 3 ? , a 2
y2 x2 ? ?1 则 a ? 4 ,故椭圆 C2 的方程为 16 4
(Ⅱ)设 A, B 两点的坐标分别为 ?x A , y A ?, ?x B , y B ? ,由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O, A, B 三 点共线且 点 A, B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .

x2 4 2 ? y 2 ? 1 中,得 ?1 ? 4k 2 ?x 2 ? 4 ,所以 x A ? , 4 1 ? 4k 2 y2 x2 16 2 ? ? 1 中,得 ?4 ? k 2 ?x 2 ? 16 ,所以 x B ? 将 y ? kx 代入 , 16 4 4? k2 16 16 2 2 又由 AB ? 2OA ,得 x B ? 4 x A ,即 , 解得 k ? ?1 , ? 2 4?k 1 ? 4k 2 故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x
将 y ? kx 代入 题型三:直线与椭圆的相交弦问题 6. (2013 新课标)已知椭圆 E : 交椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为 A. ( )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线 a 2 b2

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y2 ? ?1 27 18

D.

x2 y2 ? ?1 18 9

解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 =2, y1 ? y2 =-2,
2 2 x12 y12 x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 ① ② ① - ② 得 a2 b a2 b ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0, a2 b2 b 2 ( x ? x2 ) b 2 y ? y2 b2 1 0 ?1 1 2 2 2 ∴ k AB = 1 =? 2 1 = 2 ,又 k AB = = ,∴ 2 = ,又 9= c = a ? b , a ( y1 ? y2 ) a x1 ? x2 a 2 3 ?1 2

解得 b =9, a =18,∴椭圆方程为
2 2

2

2

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 D. 18 9

7. 在椭圆 x ? 4 y ? 16 中,求过点 M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长.

4/9

x2 y 2 8 . 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的 两 个 焦 点 F1 、 F2 , 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a b

PF1 ? F 1 ,2 PF ? F 1

4 14 ,PF ?2 . 3 3
2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程。 解:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ?
2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

从而 b2=a -c2=4, 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? =1. 9 4
(4+9k2)

(Ⅱ)法一: 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2).由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,圆 、 心 M(-2,1).从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得 x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以直线 l 的方程为 y ?

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 所以 2 4 ? 9k 2
即 8x-9y+25=0.

解得 k ?

8 , 9

8 ( x ? 2) ? 1, 9

(经检验,符合题意)

法二:已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4
由①-②得

2

2



x2 y ? 2 ? 1, 9 4

2

2



( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4



因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2,代入③得

y1 ? y 2 8 = ,即直线 l 的斜 x1 ? x 2 9

率为

8 , 9 8 (x+2) ,即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.) 9

所以直线 l 的方程为 y-1=

, 0) 9. (2013 上海春)已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1 0) 、 F2 (1, ,短轴的两个端点分
5/9

B 别为 B1、 2
(1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 两点,且 F1 P ? F1Q ,求 Q 直线 l 的方程.

????

????

x2 y 2 解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b
? a ? 2b x2 y 2 4 2 1 2 根据题意知 ? 2 , 解得 a ? , b ? 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 2 4 1 3 3 ?a ? b ? 1 3 3
(2)容易求得椭圆 C 的方程为 符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

x2 ? y 2 ? 1 . 当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不 2

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 y Q y 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ? 1) ? 0 . 设 P( x1,1 ), ( x2, 2 ) ,则 2 ? ? y ?1 ?2

x1 ? x2 ?
????

???? 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? ,1 x2 ? x , 1P ? ( x1 ? 1,1 ), 1Q ? ( x2 ? 1, 2 ) F y F y 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
????

因为 F1 P ? F1Q ,所以 F1 P ? F1Q ? 0 ,即

???? ????

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1 ?
7k 2 ? 1 7 1 ? 0 , 解得 k 2 ? ,即 k ? ? . 2 7 2k ? 1 7

故直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 或 x ? 7 y ? 1 ? 0 . 10. (2013 天津)设椭圆 轴垂直的直线被 椭圆截得的线段长为
4 3 . 3

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 2 3 a b

(Ⅰ)求椭圆的方程;

6/9

(Ⅱ)设 A, B 分别为椭圆的左右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

??? ??? ???? ??? ? ? ? AC ? DB ? AD ? CB ? 8 , 求 k 的值.
解: (Ⅰ)设 F ? ?c, 0 ? ,由 代入椭圆方程, 得 y??

c 3 ? ,知 a ? 3c 。过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x ? ?c , a 3

6b 6b 4 3 ? ,于是 , b ? 2 , 所 以 a ? 3 ,c ? 1, 所 以 椭 圆 方 程 为 3 3 3

x2 y 2 ? ?1 3 2
,0 (Ⅱ)设点 C ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,由 F ? ?1 ? 得直线 CD 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,与椭圆联
立,消去 y , 整理得 2 ? 3k

?

2

?x

2

? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 。所以 x1 ? x2 ? ?
得, 6 ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 ? x2 ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

由 AC ? DB ? AD ? CB ? 8 四、能力提升 1.直线 y ? kx ? 1 与椭圆 (A)m>l ≠5

??? ??? ???? ??? ? ? ?

2k 2 ? 12 ? 8.k ? ? 2 2 ? 3k 2

x2 y 2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m
(C) 0<m<5 或 m≠l

) (D) m≥1 且 m

(B) m>1 或 0<m<l

x2 y 2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为( 2.若椭圆 36 9
(A)2 (C) (B) ? 2



1 3

(D) ?

1 2

3.已知椭圆 则

x2 y 2 ? ? 1 ,F 是其右焦点,过 F 作椭圆的弦 AB,设 AF ? m , BF ? n , 4 3

1 1 ? 的值为 m n 2 (A) 3

(B)

4 3

(C)

3 2

(D)

3 4

7/9

4. 若直线 y ? x ? t 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A、 两点, t 变化时,AB 的最大值为 B 当 ( 4
(C)



(A) 2

(B)

4 5 5

4 10 5

(D)

8 10 5

5.过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 FA ? 2 FB , 则椭圆的离心率为 .

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的 6.椭圆 3
距离的最小值是 .

7.已知椭圆的中心在原点,离心率为 (1) 求椭圆的方程;

1 ,一个焦点是 F ?? m,0? (m 是大于 0 的常数) . 2

(2) 设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若 MQ ? 2QF ,求直 线 l 的斜率.

8.已知△ABC 的顶点 A, B 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,C 在直线 l : y ? x ? 2 上,且 AB// l .
2 2

(1)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及△ABC 的面积; (2)当∠ABC= 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.
?

9.设 A、B 分别是直线 y ?

2 2 5x 和 y ? ? 5 x 上的两个动点,并且 AB ? 20 ,动点 5 5

P 满足 OP ? OA ? OB . 记动点 P 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)若点 D 的坐标为 ?0,16 ? ,M、N 是曲线 C 上的两个动点,且 DM ? ? DN ?? ? 1? ,求实数

? 的取值范围.

8/9

9/9


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