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高中数学课时训练(人教版必修二)第四章 习题课(三) 圆的方程及应用


数学· 必修 2(人教 A 版)

习题课(三)

圆的方程及应用

一、选择题 1.若点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( ) B.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0

A.x-y-3=0 C.x+y-1=0

答案:A

2.当圆 x2+y2+2x+ky+k2=0 的面积最大时,圆心坐标是( A.(0,-1) C.(1,-1) B.(-1,0) D.(-1,1)
2

)

k? ? 3k 解析:圆的标准方程得:(x+1) +?y+2?2=1- ,当半径平方 1 4 ? ?
2

3k2 - 的取最大值为 1 时,圆的面积最大.∴k=0,即圆心为(-1,0). 4 答案:B

3.已知直线 x=a(a>0)和圆(x+1)2+y2=9 相切,那么 a 的值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5

答案:A

4.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围( A.(4,6) B. D. )

解析:∵-1<

|12+15-2| -r<1, 5

∴-1<5-r<1,∴4<r<6. 答案:A

5.若圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上至少有三个不同点到直线 l:ax +by=0 的距离为 2 2,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(
? π π? A.?12,4 ? ? ? ? π 5π? B.?12,12 ? ? ? ?π π? C.?6,3 ? ? ? ?

)
?

? π? D.?0,2?

解析:圆 x2+y2-4x-4y-10=0 整理为 (x-2)2+(y-2)2=(3 2)2, ∴圆心坐标为(2,2),半径为 3 2,要求圆上至少有三个不同的点

到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 2,则圆心到直线的距离应小于等于 2, ∴ |2a+2b| ≤ 2, a2+b2
? ? ? ?

?a? ?a? ∴?b?2+4?b?+1≤0, ?a? ?a? ∴ -2- 3≤?b?≤-2+ 3,k=-?b?, ? ? ? ?

∴2- 3≤k≤2+ 3,
? π 5π? 直线 l 的倾斜角的取值范围是?12,12?. ? ?

答案:B

6.从动点 P(m,2)向圆(x+3)2+(y+3)2=1 作切线,则切线长的最 小值为( A.4 ) B.2 6 C.5 D. 26

解析:∵切线长 L= ?m+3?2+52-1= ?m+3?2+24, ∴m=-3 时,L 取最小值 24=2 6. 答案:B

7.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大 距离与最小距离的差是( A.36 B.18 ) C.6 2 D.5 2

解析:圆 x2+y2-4x-4y-10=0 的圆心为(2,2),半径为 3 2,圆 心到直线 x+y-14=0 的距离为 |2+2-14| =2 5>3 2, 圆上的点到直 2

线的最大距离与最小距离的差是 2R=6 2. 答案:C

8.与圆 x2+y2-4x-6y+12=0 相切且在两坐标轴上的截距相等 的直线有( A.4 条 ) B.3 条 C.2 条 D.1 条

答案:A

二、填空题 y-2 9.若实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值为 x-1 ________________________________________________________ ________________.

解析:由其几何意义知:表示定点 (1,2)与圆心在原点的单位圆上 3 点连线的斜率,其最小值为 . 4 答案: 3 4

10.一个圆过圆 x2+y2-2x=0 与直线 x+2y-3=0 的交点,且圆

心在 y 轴上,则这个圆的方程为 ________________________________________________________ ________________. 解析:设圆方程为:x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,
? ?λ-2?2 λ-2? 2 2 ?x+ ?+(y+λ) =3λ+λ + . 4 2 ? ?

∵圆心在 y 轴上,∴λ=2, ∴所求圆为:(x-0)2+(y+2)2=10. 答案:x2+y2+4y-6=0

三、解答题 11.求与 x 轴切于点(5,0),并在 y 轴截取弦长为 10 的圆的方程.

分析:由于所求的圆与 x 轴切于点(5,0),所以圆心必在直线 x=5 上,可设所求圆的圆心坐标为(5,b),显然所求圆半径为 r=|b|. 解析:解法一:设所求圆的方程(x-5)2+(y-b)2=b2,它与 y 轴交 于 A(xA,yA),B(xB,yB).
2 2 2 ? ??x-5? +?y-b? =b , 由? 得 y2-2by+25=0. ? ?x=0,

由韦达定理得 yA+yB=2b,yA· yB=25. ∵|yA-yB|=10, ∴(yA-yB)2=(yA+yB)2-4yAyB=4b2-100=100, ∴b=± 5 2.

故所求圆方程(x-5)2+(y± 5 2)2=50.

解法二:如下图所示,过圆心 C 作 CM⊥AB,垂足 M,由平面几 何知识得|AM|=|BM|=5,

再由已知|MC|=5,|AC|=r=b,在 Rt△AMC 中, b2=r2=52+52,即 b=± 5 2,得圆的方程为(x-5)2+(y± 5 2)2= 50.

12.求圆心在直线 x-y-4=0 上,且经过两圆 x2+y2-4x-6=0 和 x2+y2-4y-6=0 的交点的圆的方程.

2 2 ? ? ?x +y -4x-6=0, ?y=x, 解析:由? 2 2 得? 2 2 ?x +y -4y-6=0 ? ? ?x +y -4y-6=0,

?x1=-1, ?x2=3, ? ? ∴? 或? ? ? ?y1=-1 ?y2=3.

∴两圆 x2+y2-4x-6=0 和 x2+y2-4y-6=0 的交点分别为 A(- 1,-1)、B(3,3). 线段 AB 的垂直平分线方程为 y-1=-(x-1).
? ? ?y-1=-?x-1?, ?x=3, ? 由 得? ?x-y-4=0 ? ? ?y=-1,

∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为 ?3-3?2+?3+1?2=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.

13.求与圆 M:x2+y2=2x 相切,并且与直线:x+ 3y=0 相切 于点 A(3,- 3)的圆的方程. 分析:将 A(3,- 3)看作圆(x-3)2+(y+ 3)2=0,则所求圆即为 过此圆与直线 x+ 3y=0 交点的圆,它与圆 M 相外切. 解析:设所求圆 C 的方程为: (x-3)2+(y+ 3)2+λ(x+ 3y)=0,即为 λ ?? ? ? ? ? 3 ?? ?x-?3- ??2+?y-?- 3- λ ??2=λ2, 2?? ? ? ? ? 2 ?? 因为圆 C 与圆 M 相外切,M 为:(x-1)2+y2=1, 所以
? λ ? ? 3 ? ?3- -1?2+?- 3- λ ?2 =|λ|+1, 2 ? ? 2 ? ?

化简即 λ+6=2|λ|,解得 λ=-2 或 λ=6, 代入假设方程式得圆 C 的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4 3)2 =36. 点评: 此例充分运用了将点看作半径为 0 的圆(即点圆), 应加以注 意. 本题也可设所求圆的圆心坐标为(a,b),则 b+ 3 ? ? a-3 = 3, ? ? ??a-1?2+b=[

?a-3?2+?b+ 3?2+1]2,

求出 a,b.再求 r.

14.求过圆 x2+y2-2x+4y-15=0 上一点 P(-1,2)的切线方程.

解析:解法一:设 l:y-2=k(x+1),
? ?y-2=k?x+1?, ? 2 消去 y,得 2 ?x +y -2x+4y-15=0, ?

(k2+1)x2+2(k2+4k-1)x+(k2+8k-3)=0. 1 由 Δ=16(2k-1)2=0,得 k= . 2 ∴切线方程为 x-2y+5=0. 解法二: 将圆方程化为(x-1)2+(y+2)2=(2 5)2, 得圆心坐标 A(1, -2),∴kPA=-2, 1 故过 P 点切线斜率为 ,∴切线方程 x-2y+5=0. 2

解法三:设切线方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+2+k=0,由题 意知圆心 A(1,-2)到切线的距离等于圆的半径 2 5.∴ 1 解得 k= .故所求切线方程为 x-2y+5=0. 2 |2k+4| =2 5, 1+k2

15.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2,点 P(2,-1),过 P 点作圆 C 的切线 PA,PB,A,B 为切点.

(1)求 PA,PB 所在直线的方程;

解析:设切线的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0,又 C(1,2),半径 r= 2, 由点到直线的距离公式得: 2= |k-2-2k-1| , k2+1

解之得:k=7 或 k=-1. 故所求切线 PA、PB 的方程分别是 x+y-1=0 和 7x-y-15=0.

(2)求切线长|PA|;

解析:连接 AC、PC,则 AC⊥AP, 在 Rt△APC 中,|AC|= 2, |PC|= ?2-1?2+?-1-2?2= 10, ∴|PA|= |PC|2-|AC|2= 10-2=2 2.

(3)求直线 AB 的方程.

解析:A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (x1-1)2+(y1-2)2=2, (x2-1)2+(y2-2)2=2. ∵CA⊥AP,∴kCA· kAP=-1, 即 y1-2 y1+1 · =-1, x1-1 x1-2

∴(y1-2)(y1+1)=-(x1-1)(x1-2),

变形得(y1-2)(y1-2+3)=-(x1-1)(x1-1-1), (y1-2)2+3(y1-2)=-(x1-1)2+(x1-1), (x1-1)2+(y1-2)2+3(y1-2)-(x1-1)=0. ∵(x1-1)2+(y1-2)2=2, ∴上式可化简为 x1-3y1+3=0. 同理可得:x2-3y2+3=0. ∵A、B 两点的坐标都满足方程 x-3y+3=0, ∴直线 AB 的方程是 x-3y+3=0.

16.由圆 x2+y2=4 外一点 P(3,2)向圆引割线 PAB,求 AB 中点的 轨迹方程.

分析:弦的中点问题,多利用中点与圆心连线垂直于弦的性质. 解析:解法一:设 M(x,y)为所求曲线上任一点. ∵M 为 AB 中点,∴OM⊥AB, ∴kOM· kAB=-1, y y-2 且 kAB=kMP,∴x· =-1, x-3 ∴x2+y2-3x-2y=0. 又∵M 在圆 x2+y2=4 的内部, ∴x2+y2<4, ∴AB 中点轨迹方程为 x2+y2-3x-2y=0(x2+y2<4).

解法二:设 M(x,y)为所求曲线上任一点,由 M 为 AB 中点可知

∠OMA=90° . ∴M 点轨迹为以 OP 为直径的圆在 x2+y2=4 内的部分, 其圆心为
?3 ? 13 ? ,1?半径= . 2 ?2 ? ? 3? 13 ∴M 点轨迹方程为?x-2?2+(y-1)2= (x2+y2<4), 即 x2+y2-3x 4 ? ?

-2y=0(x2+y2<4).


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