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高一必修五解三角形复习题2及答案


解三角形
一、选择题.本大题共 10 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 c ? 2, b ? 6, B ?1 2 0 等于【 A. 6 】 B.2 C. 3 D. 2
?

, 则a

2. 在 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 已知 A ? 【 】 B.2 C. 3 ? 1

?
3

,a ? 3,b ? 1 , 则c ?

A. 1

D. 3 】
?

3. 已知 △ ABC 中, a ? A. 135
?

2 , b ? 3 , B ? 60? ,那么角 A 等于【
?

B. 90

C. 45

?

D. 30

4. 在三角形 ABC 中, AB ? 5,AC ? 3,BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为【 A.



2? 3

B.

5? 6

C.

3? 4

D.

? 3

5. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B ? 【 】

1 A. 4

3 B. 4

2 C. 4


2 D. 3

6. △ABC 中,已知 tan A ? A. 135
?

1 1 , tan B ? ,则角 C 等于【 3 2
?

B. 120

C. 45

?

D. 30 】 D.

?

7. 在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? 【 A. ?

??? ? ??? ?
2 3

3 2

B. ?

2 3

C.

3 2


8. 若 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a cos A ? b cos B, 则【 A. △ABC 为等腰三角形 C. △ABC 为等腰直角三角形 B. △ABC 为直角三角形

D. △ABC 为等腰三角形或直角三角形

9. 若 tan A tan B > 1 ,则△ ABC 【 A. 一定是锐角三角形 C. 一定是等腰三角形

】 B. 可能是钝角三角形 D. 可能是直角三角形

10. △ABC 的面积为 S ? a 2 ? (b ? c)2 ,则 tan A.

1 2

B.

1 3

A =【 2 1 C. 4

】 D.

1 6

二、填空题:本大题共 4 小题. 11. 在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 ,则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为
12.在 △ ABC 中,若 tan A ?

. .

1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3

13. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若 则 cos A ? _________________。

? 3b ? c?cos A ? a cosC ,

14. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,根据下列条件判断三角形形状:

(1). (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc,且 sin A ? 2sin B cos C,则△ABC是 _______ ; (2). (a 2 ? b2 )sin( A ? B) ? (a 2 ? b2 )sin( A ? B),则△ABC是 _______.
三、解答题:本大题共 6 小题.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . ⑴.求边 AB 的长; ⑵.若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

15. 【解】⑴.由题意,及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,
两式相减,得 AB ? 1 . ⑵.由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C ,得 BC ? AC ? , 2 6 3

由余弦定理,得 cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ? BC ( AC ? BC )2 ? 2 AC ? BC ? AB 2 1 ? , 2 AC ? BC 2

?
所以 C ? 60 .
?

3 ,b sin A ? 4 . 16. 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c , 且 a cos B ?
⑴.求边长 a ; ⑵.若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

, C 是三角形 ?ABC 三内角,向量 m ? ?1, 3 , n ? ? cos A, sinA 17. 已知 A, B ? ,且

??

?

?

?

?? ? m? n ?1
⑴.求角 A ; ⑵.若

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B cos 2 B ? sin 2 B

18. 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? ⑴.若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; ⑵.若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,证明: △ ABC 是直角三角形.

? . 3

19.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . ⑴.求 B 的大小; ⑵.求 cos A ? sin C 的取值范围.

20. 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,

20 海里,当 当甲船位于 A 1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B 1 处,此时两船相距
甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距
?

?

10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

参考答案 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C

11. 【答案:

61 】 2

12. 【答案:

10 】 2

13. 【答案:

3 】 3

14. 【答案:⑴等边三角形;⑵等腰三角形或直角三角形】

15. 【解】⑴.由题意,及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,
两式相减,得 AB ? 1 . ⑵.由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C ,得 BC ? AC ? , 2 6 3

由余弦定理,得 cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ? BC ( AC ? BC )2 ? 2 AC ? BC ? AB 2 1 ? , 2 AC ? BC 2

?
所以 C ? 60 .
?

16. 【解】⑴. a cos B ? 3 , b sin A ? 4 两式相除,有:

3 a cos B a cos B b cos B 1 ? ? ? ? 4 b sin A sin A b sin B b tan B
又 a cos B ? 3 ,故 cos B ? 0 , 则 cos B ? 则a ? 5. ⑵.由 S ?

3 4 , sin B ? , 5 5

1 ac sin B ,得到 c ? 5 . 2

由 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 ,解得 b ? 2 5 , 2ac

故 l ? 10 ? 2 5 .

,3 ? ? cos A, sin A? ? 1 , 3 sin A ? cos A ? 1 , 17. 【解】⑴. ∵ m ? n ? 1 ∴ ?1
? 3 1? , ? ?? 1 2? sin A ? ? cos A ? A? ? ? , ? ? ? ? 1 sin ? 2 2 6? 2 ? ? ?

?? ?

?

?

? ∵ 0 ? A ? ?,

?

6 6 1 ? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0 , ⑵. 由题知 cos 2 B ? sin 2 B
cos B ? 0 ,∴ tan 2 B ? tan B ? 2 ? 0 ,∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 ,
而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去,∴ tan B ? 2 .
2 2

? A?

?

?

? 5? ? ? ,∴ A ? ? , A ? . 3 6 6 6

18. 【解】⑴.由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 .

⑵.由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 当 cos A ? 0 时, A ?

? , △ ABC 是直角三角形; 2

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ? 2sin( B ? C ) ? 2sin B cos C ? 2cos B sin C ,

C?

? ? 代入上式得 sin B ? sin B ? 3cos B ,故 cos B ? 0,B ? , 3 2

△ ABC 是直角三角形.
19. 【解】⑴.由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

⑵. cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

0? A?

?
2

, 0 ? C ? ? ? A? B ?

?
2

,解得

2? ? ?? ? A? ? , 3 3 6
所以

? ? ? A? 3 2

1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? , sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 ? 3? 2 2 3? 2 ?
? 3 3? ? ? 2 , ?. 2 ? ?
20 ? 10 2 , 60

故 cos A ? sin C 的取值范围为 ?

20. 【解】如图,连结 A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 30 2 ?

? A1 A2 ? A2 B1 ,
? ? ? 又 ∠A △A1 A2 B2 是等边三角形, 1A 2 B2 ? 180 ? 120 ? 60 ,?

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
? ? ? 由已知, A 1B 1 ? 20 , ∠B 1A 1B2 ? 105 ? 60 ? 45 ,

在 △ A1B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ? A1B2 ? cos45?

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?
? 200 .

2 2

? B1B2 ? 10 2 .
故乙船的速度的大小为

10 2 ? 60 ? 30 2 (海里/小时) . 20

21. 【选做题】 【解法一】如图,在等腰△ABC 中,?BAC ? 36 ,?ABC ? ?ACB ? 72 ,
? ?

?ABC 的角平分线交 AC 于 D,设 BC=1,AB=x,利用此图来求 cos36? .

易知△ABC 与△BCD 相似,故

AB BC x 1 5 ?1 ? ,即 ? ,解得 x ? . BC CD 1 x ?1 2
?

△ABC 中,由余弦定理, cos36 ?

x 2 ? x 2 ? 12 5 ?1 ; ? 2 2x 4

【解法二(用二倍角公式构造方程,解方程) 】

cos144? ? 2cos 2 72? ? 1 ? 2 ? 2cos 2 36? ? 1? ? 1 ,即 ? cos36? ? 2 ? 2cos 2 36? ? 1? ? 1 ,
2
2

设 cos36 ? x ,则 ? x ? 2 2 x ? 1 ? 1 ,可化为 8 x ? 8 x ? x ? 1 ? 0 ,
?

?

2

?

2

4

2

? x ? 1? ?8 x3 ? 8 x 2 ? 1? ? 0 ,因 x ? 1 ? 0 ,故 8x3 ? 8x2 ? 1 ? 0 , ? 2 x ? 1? ? 4 x 2 ? 2 x ? 1? ? 0 ,因 x ?
x?
1 2 ,故 4 x ? 2 x ? 1 ? 0 , 2

5 ?1 ? 5 ?1 5 ?1 ? ? 0 舍去) (x? ,故 cos36 ? . 4 4 4


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