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2016年高二人教A版必修5系列教案:3.2一元二次不等式及其解法4

一元二次不等式及其解法(1) 三维目标: 一、知识与技能 1、 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程; 2、 通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系(即“三个二” ) ; 3、 会求解一元二次不等式,并从解法中归纳设计求解的程序框图。 二、过程与方法 1、 采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学; 2、 通过师的引导,充分发挥学生的主体作用,作好探究性实验; 3、 理论联系实际,激发学生的学习积极性。 三、情感态度与价值观 1、 通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思 想; 2、 通过研究函数、方程与不等式间的内在联系,使学生从中认识到事物间是相互联系、相 互转化,密不可分的观点。 教学重点: 1、 从实际问题中抽象出一元二次不等式的模型; 2、 围绕一元二次不等式的解法展开探究,熟练掌握数形结合的思想与方法。 教学难点: “三个二次”间的相互转化的能力培养。 教具准备:多媒体及课件、三角板。 教学过程: 一、 创设问题情境,导入新课 (投影问题)教材 P85 互联网的收费问题 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型:教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一 元二次不等式模型: x ? 5x ? 0 ??????????(1) 2 二、 新授课 1、一元二次不等式的定义 形如 x ? 5x ? 0 ,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元 2 二次不等式 2、探究一元二次不等式 x ? 5x ? 0 的解集 2 问题:怎样求不等式(1)的解集呢? 引导学生回顾以前过的一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系。 进而探究:一元二次不等式与一元二次方程、二次函数间又有类似的关系? 方程的根与函数的零点:方程有实数根?函数的图象与轴有交点?函数有零点 (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 易知:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x2 ? 5x 的图象,如图,观察函数图象,可知: 当 x<0,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y>0,即 x ? 5x ? 0 ; 2 当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x ? 5x ? 0 ; 2 所以,不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? ,从而解决了本节开始时提出的问题。 2 3、 典例实践: 例 1:求不等式的解集: (培养学生数形结合的思想) (1)4x -4x+1>0 解:因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ? 2 2 1 2 (2)x2-2x+3<0 解:因为 ?=4 ? 12 ? ?8 ? 0 , 方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ? . 2 变式:若求不等式-2x +3x+2<0 的解集?(培养学生转化化归的思想) 4、探究一般的一元二次不等式的解法 任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 : ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0) 一般地,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集呢? 2 2 组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集的基本步骤: (l)若 a<0,可先转化为 a>0 (2)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c (a> 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一 2 2 元二次方程 ax ? bx ? c =0 的判别式 ? ? b ? 4ac 三种取值情况(Δ > 0,Δ =0,Δ <0)来 确定.因此,要分三种情况讨论。 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集: 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 ? ? b ? 4ac ,则不等式的解的各种 2 情况如下表:(让学生独立完成课本第 87 页的表格) ? =b2-4ac 二次函数 ??0 ??0 ??0 y ? ax2 ? bx ? c y ? ax2 ? bx ? c y ? ax2 ? bx ? c y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ?a ? 0?的根 ax2 ? bx ? c ? 0 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) b x1 ? x2 ? ? 2a 无实根 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ?x x ? x 或x ? x ? 1 2 ? b? ?x x ? ? ? 2a ? ? ? R ?x x 1 ? x ?x 2 ? ? 4、 课堂练习:课本第 90 的练习 1(1) 、 (3) 、 (5) 、 (7) ;P91:B 组:1(2) 、 (4) 5、 课时小结: 解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+” :y= ax ? bx ? c >0(或<0)(a>0) 2 ② 计算判别式 ? , ③若 ? ? 0 ,则求解不等式的解; ④据图象,写出解集. 下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来,请学生结合解题步

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