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排列组合之二项式练习


2014 年 4 月 NIUXS 的高中数学组卷

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2014 年 4 月 niuxs 的高中数学组卷
一.选择题(共 11 小题) 1. (2011?天津)在 A. B. 的二项展开式中,x 的系数为( C.
2

) D.

2. (2002?北京)对于二项式
*

的展开式(n∈N ) ,四位同学作出了四种判断:

*

① 存在 n∈N ,展开式中有常数项; * ② 对任意 n∈N ,展开式中没有常数项; * ③ 对任意 n∈N ,展开式中没有 x 的一次项; * ④ 存在 n∈N ,展开式中有 x 的一次项. 上述判断中正确的是( ) A .① 与③ B.② 与③ 3. A.﹣6 的展开式 x 的系数是( B.﹣3
2

C .① 与④ ) C .0 )

D.② 与④

D.3

4.在(x+1) (2x+1) (3x+1)…(nx+1)的展开式中,x 的一次项系数是( A. B. C.

D.

5.已知(1﹣ ) A .0

2013

=a0+a1x+…+a2013x B.1
8

2013

,则 3a1+3 a2+…+3

2

2013

a2013=(

) D.22013﹣1 ) D.16 )

C.﹣1
2 8

6. (2012?许昌一模)已知(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…a8x ,则 a1+2a2+3a3+…8a8=( A.﹣8 B.8 C.﹣16 7.若 n 为函数 f(x)=|x﹣3|+|x﹣6|+|x﹣12|的最小值,则二项式 A.12 8.下列等式: ① ② +…+ +…+ =n?2
n﹣1

的展开式中的常数项是( D.5376

B.240

C.2688

③ l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=(n+1)!﹣1 ④ 其中正确的个数为( A .1 ) B.2 C .3
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…+

=

D.4

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www.jyeoo.com 9.已知 A .1 10.设 A. B. C. =ao+a1x+a2x +a3x +…a21x ,则(a0+a2+…a20) ﹣(a1+a3+…a21) 的值为( B.﹣1 C.﹣2 D.2 ,则|ak|(0≤k≤11)的最小值为( D. )
2 3 21 2 2



11.设 f(x)=(2x+1) ﹣5(2x+1) +10(2x+1) ﹣10(2x+1) +5(2x+1)﹣1,则 f(x)=( A.(2x+2)5 B.2x5 C.(2x﹣1)5 D.(2x)5 二.填空题(共 6 小题) 12. (2013?闸北区二模) (1+2x) (1﹣x) 展开式中 x 的系数为 _________ 13. (2013?静安区一模)求和:
3 4 6

5

4

3

2




*

= _________ . (n∈N )

14. (2010?杭州二模)观察下列等式: (x +x+1) =1; (x +x+1) =x +x+1; (x +x+1) =x +2x +3x +2x+1; (x +x+1) 3 6 5 4 3 2 2 5 =x +3x +6x +7x +6x +3x+1;…;可能以推测, (x +x+1) 展开式中,第五、六、七项的系数和是 _________ .

2

0

2

1

2

2

2

4

3

2

2

15.在 _________ 项. 16. 设 _________ .

展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项有

, 则 a1+a2+…+a8=

17.在(2x ﹣x﹣1) 的展开式中 x 的系数是 _________ . 三.解答题(共 13 小题) 18. (2014?合肥一模)若 _________ . 19.已知: (2﹣x) =a0+a1x+a2x +…+a6x . (1)求 a4; (2)求 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6 的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|的值. 20.设数列{an}是公差为 d,且首项为 a0=d 的等差数列,求和: .
6 2 6

2

6

2

展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为

21. (2003?上海)已知数列{an}(n 为正整数)是首项是 a1,公比为 q 的等比数列. 0 1 2 0 1 2 3 (1)求和:a1C2 ﹣a2C2 +a3C2 ,a1C3 ﹣a2C3 +a3C3 ﹣a4C3 ;
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www.jyeoo.com (2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明. 22. (2011?江苏二模)必做题 * 当 n≥1,n∈N 时, 1 2 3 2 n﹣1 n﹣2 n﹣1 (1)求证:Cn +2Cn x+3Cn x +…+(n﹣1)Cn x =n(1+x) ; ﹣ 2 1 2 2 2 3 2 n 1 2 n (2)求和:1 Cn +2 Cn +3 Cn +…+(n﹣1) Cn +n Cn .

23.若 (1)求实数 a 的值; (2)求

,其中



的值.

24.设 f(x)=(x+1) (其中 n∈N+) . 2 3 n (1)若 f(x)=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1) +a3(x﹣1) +…+an(x﹣1) ,求 a0 及 Sn=a1+a2+a3+…+an; (2)当 n=2013,计算: ﹣2 +…+k (﹣1)
k﹣1

n

+…+2013

(﹣1)

2012



25. (在 (1)求 n 的值; (2)求和:

的展开式中,倒数第 8 项是常数项.



26.观察下列等式(x +x+1) =1, (x +x+1) =x +x+1, (x +x+1) =x +2x +3x +2x+1, (x +x+1) 3 6 5 4 3 2 =x +3x +6x +7x +6x +3x+1… 2 5 可以推测(x +x+1) 展开式中各项系数的和为 _________ .第四、五、六项系数的和是 _________ . 27.已知 f (x)=(1+x)+(1+x) +(1+x) +…+(1+x) . 3 (1)求 f (x)展开式中 x 的系数; (2)求 f (x)展开式中各项系数之和. 28.若(a﹣2x) 展开式中 x 的系数为 40,且 (1)求 (2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值; (3)求 a1+2a2+3a3+4a4+5a5 的值. 29. (1)求 77 ﹣7 被 19 整除所得的余数; 5 (2)求 1.02 的近似值(精确到 0.01) . 30.已知(3﹣2x) =a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1) +…+an(x﹣1) (n∈N ) ,a2=60. (1)求 n 的值;
n 2 n + 77 5 2 2 3 10

2

0

2

1

2

2

2

4

3

2

2

. 的值;

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www.jyeoo.com (2)求﹣ 的值.

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2014 年 4 月 niuxs 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 11 小题) 1. (2011?天津)在 A. B. 的二项展开式中,x 的系数为( C.
2

) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

二项式定理. 计算题.

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利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数为 2,求出展开式中,x 的系数,即得答案. 解:展开式的通项为 Tr+1=(﹣1) 2 令 3﹣r=2 得 r=1 所以项展开式中,x 的系数为﹣
2 r 2r﹣6

2

C6 x

r 3﹣r

故选 C 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 的展开式(n∈N ) ,四位同学作出了四种判断:
*

2. (2002?北京)对于二项式
*

① 存在 n∈N ,展开式中有常数项; * ② 对任意 n∈N ,展开式中没有常数项; * ③ 对任意 n∈N ,展开式中没有 x 的一次项; * ④ 存在 n∈N ,展开式中有 x 的一次项. 上述判断中正确的是( ) A .① 与③ B.② 与③

C .① 与④

D.② 与④

考点: 二项式定理. 专题: 常规题型. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数为 0,1 得到 n 满足的条件,得到选项. 解答: r 4r﹣n 解: 展开式的通项为 Tr+1=Cn x (其中 r=0,1,2,…n)
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令 4r﹣n=0 得 r= 故当 n 是 4 的倍数时,展开式存在常数项 故① 对② 不对 令 4r﹣n=1 得 r= 故当 n+1 是 4 的整数倍时,展开式中有 x 的一次项, 故③ 不对④ 对 故选 C 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式,解决二项展开式的特定项问题.

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3. A.﹣6

www.jyeoo.com 的展开式 x 的系数是( B.﹣3
2

) C .0 D.3

考点: 二项式定理. 分析: 4 利用二项式定理将(1﹣x) 与
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展开,通过多项式的乘法法则得到展开式 x 的系数.

2

解答: 解: x 的系数是﹣12+6=﹣6 故选 A 点评: 本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展 开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力. 4.在(x+1) (2x+1) (3x+1)…(nx+1)的展开式中,x 的一次项系数是( A. B. C. ) D.
2

考点: 专题: 分析: 解答:

二项式定理. 计算题;概率与统计. 展开式中,易得 x 的一次项系是 1+2+3+…+n,再根据组合数公式,得出结论. 解:在(x+1) (2x+1) (3x+1)…(nx+1)的展开式中,
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x 的一次项系是 1+2+3+…+n=

=



故选 C. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质, 属于中档题.
2013 2013 2 2013

5.已知(1﹣ ) A .0

=a0+a1x+…+a2013x B.1

,则 3a1+3 a2+…+3

a2013=(

) D.22013﹣1

C.﹣1

考点: 二项式定理. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 令 x=3,可得 a0+3a1+32a2+…+32013a2013=0.再令 x=0,可得 a0=1,从而求得 3a1+32a2+…+32013a2013 的值. 解答: 2013 2013 2 2013 解:∵ 已知(1﹣ ) =a0+a1x+…+a2013x ,令 x=3,可得 a0+3a1+3 a2+…+3 a2013=0.
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再令 x=0,可得 a0=1, 2 2013 则 3a1+3 a2+…+3 a2013=0﹣1=﹣1, 故选 C. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的 x 赋值,求展 开式的系数和,可以简便的求出答案,属于中档题. 6. (2012?许昌一模)已知(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…a8x ,则 a1+2a2+3a3+…8a8=( A.﹣8 B.8 C.﹣16 考点: 二项式定理. 专题: 计算题.
8 2 8

) D.16

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www.jyeoo.com 分析: 利用导数法与赋值法可求得 a1+2a2+3a3+…8a8 的值. 8 2 8 解答: 解:∵ (1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+a8x , ∴ 两端求导得: 8(1﹣2x) ×(﹣2)=a1+2a2x+3a3x +…+8a8x , 令 x=1 得:a1+2a2+3a3+…8a8=8×(﹣1)×(﹣2)=16. 故选 D. 点评: 本题考查导数与二项式定理的应用,对(1﹣2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8 两端求导是关键,也是难点,属于 中档题.
7 2 7

7.若 n 为函数 f(x)=|x﹣3|+|x﹣6|+|x﹣12|的最小值,则二项式 A.12 B.240 C.2688

的展开式中的常数项是( D.5376



考点: 二项式定理;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用绝对值的几何意义求出 n,利用二项展开式的通项公式求出通项,令 x 的指数为 0,求出展开式的常数 项. 解答: 解:据绝对值的几何意义知, f(x)=|x﹣3|+|x﹣6|+|x﹣12|表示数轴上的点到 3, ;6;12 的距离的和 故当 x=6 时,距离最小 故 n=9
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∴ 令 18﹣3r=0 得 r=6
6 6

展开式的通项 Tr+1=2 C9 x

r

r 18﹣3r

展开式的常数项为 2 C9 =5376 故选 D 点评: 本题考查绝对值的几何意义;利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 8.下列等式: ① ② +…+ +…+ =n?2
n﹣1

③ l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=(n+1)!﹣1 ④ 其中正确的个数为( A .1 ) B.2 C .3 D.4 …+ =

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 根据 (1+x)n=1+
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x+

x +…+

2

x ,两边同时对 x 求导数,再令 x=1,可得① 正确. +2 +3 +…+n ,故② 正确.

n

在(A)式中,令 x=﹣1,可得 0=

根据 k?k!=[(k+1)﹣1]?k!=(k+1)!﹣k!,可得③ 正确. n n 2n n n 根据等式(1+x) ?(1+x) =(1+x) 成立,利用二项式定理求得等式左边 x 的系数与等式右边 x 的系 数相等,可得④ 正确.
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www.jyeoo.com n 解答: 解:∵ (1+x) =1+ n(1+x)
n﹣1

x+ +3x =

x +…+
2

2

x ,两边同时对 x 求导数,可得
n﹣1

n

=

+2x
n﹣1

+…+nx +3

, (A) ,故① 正确. +3 +…+n ,故② 正确.

再令 x=1,可得 n2

+2

+…+n +2

在(A)式中,令 x=﹣1,可得 0=

∵ k?k!=[(k+1)﹣1]?k!=(k+1)!﹣k!, ∴ 1×1!+2×2!+3×3!+…+n?n!=[2!﹣1!]+[3!﹣2!]+[4!﹣3!]+…+[(n+1)!﹣n!]=(n+1)!﹣1, 故③ 正确. ∵ 等式(1+x) ?(1+x) =(1+x)
n n n 2n

成立, …+ . = 成立, = , ?

利用二项式定理可得等式左边 x 的系数为 = + + +…+
n

而等式右边利用二项式定理可得 x 的系数为 故 …+ =

故④ 正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,属于中档题.
2 3 21 2 2

9.已知 A .1 考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 在 ﹣1 可得,

=ao+a1x+a2x +a3x +…a21x ,则(a0+a2+…a20) ﹣(a1+a3+…a21) 的值为( B.﹣1 C.﹣2 D.2



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=ao+a1x+a2x +a3x +…a21x 中,分别令 x=1 可得, =a0﹣a1+a2﹣a3+…+a20﹣a21

2

3

21

=a0+a1+a2+…+a21,令 x=

代入所求的式子可求 解答: 解: 令 x=1 可得, 令 x=﹣1 可得,
2

=ao+a1x+a2x +a3x +…a21x , =a0+a1+a2+…+a21 =a0﹣a1+a2﹣a3+…+a20﹣a21
2

2

3

21

(a0+a2+…a20) ﹣(a1+a3+…a21) =(a0+a1+…+a21) (a0﹣a1+a2…+a20﹣a21) = =﹣1

故选 B. 点评: 本题主要考察了利用赋值法求解二项展开式 各项系数的和,解题的关键是对所求的式子进行平方差公式的 变形
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www.jyeoo.com 10.设 A. B. C. ,则|ak|(0≤k≤11)的最小值为( D. )

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;归纳法. 分析: 本题主要考查了合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,属容易题.根据已知中 T =0,T = 2 3
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T4=0,T5=



,及, (2x+ ) ﹣(3x+ ) =a0+a1x+a2x +…+anx ,将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为 Tn,

n

n

2

n

我们易得,当 n 的取值为偶数时的规律,再进一步分析,n 为奇数时,Tn 的值与 n 的关系,综合便可给出 Tn 的表达式.从而求出结果. 解答: 解:设 n≥2,n∈N, (2x+ ) ﹣(3x+ ) =a0+a1x+a2x +…+anx ,将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为 Tn,根据 Tn 的定义,列出 Tn 的前几项: T0=0 T1= = T2=0 T3= T4=0 T5= T6=0 … ﹣ ﹣
n n 2 n

由此规律,我们可以推断:Tn=

故但 n=11 时,|ak|(0≤k≤11)的最小值为



故选 A. 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明 确表达的一般性命题(猜想) .属中档题. 11.设 f(x)=(2x+1) ﹣5(2x+1) +10(2x+1) ﹣10(2x+1) +5(2x+1)﹣1,则 f(x)=( A.(2x+2)5 B.2x5 C.(2x﹣1)5 D.(2x)5 考点: 专题: 分析: 解答: 二项式定理的应用;函数解析式的求解及常用方法. 计算题.
5 4 3 2



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观察 f(x)解析式的特点,判断出它恰好是二项式[(2x+1)﹣1] 的展开式,逆用二项式定理,化简 f(x) . 5 解:由 f(x)的特点知 f(x)恰为[(2x+1)﹣1] 的展开式, 5 ∴ f(x)=(2x) 故选 D 点评: 本题考查观察归纳的能力、考查对二项式定理展开式形式要熟练掌握.
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5

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www.jyeoo.com 二.填空题(共 6 小题) 12. (2013?闸北区二模) (1+2x) (1﹣x) 展开式中 x 的系数为 ﹣20 . 考点: 专题: 分析: 解答: 二项式定理. 计算题.
3 3 4 6

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利用二项展开式的通项公式求出通项,再利用多项式的乘法进一步求得展开式中 x 的系数. 解: (1+2x) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
3 4

6

?(2x) , ?(﹣x) .
2 k

r

(1+2x) (1﹣x) 展开式的通项公式为 Tk+1= 故(1+2x) (1﹣x) 展开式中 x 的系数为
3 4 6

?2 ?

+

?2 ?(﹣

3

)=12﹣32=﹣20,

故答案为﹣20. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 13. (2013?静安区一模)求和: = 4 ﹣1 . (n∈N )
n *

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 把所给的式子变形为
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+ = +

﹣1,再利用二项式定理可得结果. ﹣1=(1+3) ﹣1=4 ﹣1,
n n

解答: 解:∵
n

故答案为 4 ﹣1. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,把所给的式子变形后利用二项式定理,是解题的关键,属于中档题. 14. (2010?杭州二模)观察下列等式: (x +x+1) =1; (x +x+1) =x +x+1; (x +x+1) =x +2x +3x +2x+1; (x +x+1) 3 6 5 4 3 2 2 5 =x +3x +6x +7x +6x +3x+1;…;可能以推测, (x +x+1) 展开式中,第五、六、七项的系数和是 141 . 考点: 专题: 分析: 解答: 二项式定理. 计算题. 利用多项式乘法的法则得到各项的构成方法求出展开式各项的系数和.
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2

0

2

1

2

2

2

4

3

2

2

解:展开式的第五项是含 x 的项;其构成是 5 个多项式 3 个出 x ,其它都出 1;5 个多项式 2 个出 x ,2 个出 x,其它出 1;
2

6

2

2

5 个多项式 1 个出 x ,4 个出 x 3 2 2 1 其系数为 C5 +C5 C3 +C5 =45 2 1 1 3 展开式的第 6 项同样的方法其系数为 C5 C3 +C5 C4 +1=51 2 1 2 4 展开式的第 7 项同样的方法其系数为 C5 +C5 C4 +C5 =45 所以展开式中,第五、六、七项的系数和是 35+51+45=141 故答案为 141 点评: 本题考查利用分类计数原理和分布计数原理求出完成事件的方法数.

15.在 17 项.

展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项有

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www.jyeoo.com 考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出通项,据通项特点要使系数为有理数则需要 r 是 6 的倍数 解答:
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解:

展开式的通项为

,其中 r=0,1,2…100

要使系数为有理数则需要 r 是 6 的倍数 ∴ r=0,6.16,18,…96 共 17 个值 故系数为有理数的项有 17 项 故答案为 17 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.

16. 设 80 .

, 则 a1+a2+…+a8=

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,在

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中,令 x=2 可得 a0+a1+a2+…+a8 的值,令 x=1 可得 a0 的值,进而计算可得答案. 解答: 解:根据题意,在 中, 令 x=2 可得,3 =a0+a1+a2+…+a8,即 81=a0+a1+a2+…+a8, 令 x=1 可得,1=a0, 则 a1+a2+…+a8=81﹣1=80; 故答案为 80. 点评: 本题考查二项式定理的应用,解此类题目一般用特殊值法,要注意特殊值的选择. 17.在(2x ﹣x﹣1) 的展开式中 x 的系数是 3 . 考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 化为 的 分析: 将(2x2﹣x﹣1)6 (x﹣1)6?(2x+1)6,含 x2 项是由(x﹣1)6 展开式中的常数项、x 的项、x2 的项与 4 x2 项、x (2x+1) 展开式中的 项、常数项分别对应相乘得到.分别求出相应的系数,对应相乘再相加即可. 、 2 6 解答: 解:将(2x ﹣x﹣1) =(x﹣1)6?(2x+1)6,含 x2 的项是由(x﹣1)6 展开式中的常数项,x 项 x2 的项与 6 2 (2x+1) 展开式中的 x 项、x 项、常数项分别对应相乘得到. 6 r 6﹣r r 2 (x﹣1) 展开式的通项为 C6 x (﹣1) ,常数项、x 的项、x 的项的系数分别为 6 5 5 4 4 (﹣1) =1,C6 (﹣1) =﹣6,C6 (﹣1) =15; )6 k 6﹣k,x2 4 2 5 6 展开式的通项为 C6 (2x) 项、x 项、常数项分别为 C6 2 =60,C6 ?2=12,1 =1; (2x+1 2 x 项的系数是 1×60+(﹣6)×12+15×1=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查二项式定理的应用,及转化、分类讨论、计算的能力.
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三.解答题(共 13 小题)

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www.jyeoo.com 18. (2014?合肥一模)若 展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为 ﹣15 .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: n 根据 展开式的各项系数绝对值之和为 4 =1024, 求得 n=5. 在
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展开式的通项公

式中,令 x 的幂指数等于 1,求得 r 的值,可得 解答: 解:在 可得 ∴ n=5. 故 令 展开式的通项公式为 Tr+1= =1,求得 r=1,故 ? 的展开式中,令 x=1,

的展开式中 x 项的系数.

展开式的各项系数绝对值之和为 4 =2 =1024=2 ,

n

2n

10



的展开式中 x 项的系数为﹣15,

故答案为:15. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 属于中档题. 19.已知: (2﹣x) =a0+a1x+a2x +…+a6x . (1)求 a4; (2)求 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6 的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|的值. 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 6 分析: (1)根据二项式(2﹣x) 展开式的通项公式,求得 a4 的值. (2)令 x=1,可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6 的值. 6 (3)令 x=﹣1 得:|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=3 =729,而 a0=64,从而求得|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|的值. 解答: 6 6 ﹣r r r 解: (1)由于二项式(2﹣x) 展开式的通项公式为 Tr+1= ?2 ?(﹣1) ?x ,
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6

2

6

所以,a4=

?2 =60.

2

(2)令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6 =1. 6 (3)令 x=﹣1 得:|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=3 =729, 而 a0=64, 所以,|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=665. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的 x 赋值,求展 开式的系数和,可以简便的求出答案,属于中档题. 20.设数列{an}是公差为 d,且首项为 a0=d 的等差数列,求和: .

考点: 二项式系数的性质;等差数列的前 n 项和;数列的求和.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: 先求出数列{an}的通项公式,再结合倒序相加法以及结合二项式定理与等差数列前 n 项和作之即可求出结 果. 解答: 解:由数列{an}是公差为 d,且首项为 a0=d 的等差数列 得:an=a0+(n+1﹣1)d=(n+1)d; ∴ 又 = ∴ = ∴ . , ,

点评: 本题主要考查数列的求和以及二项式洗漱的性质应用.是对知识的综合考察,需要对基础知识熟练掌握以 及灵活运用. 21. (2003?上海)已知数列{an}(n 为正整数)是首项是 a1,公比为 q 的等比数列. 0 1 2 0 1 2 3 (1)求和:a1C2 ﹣a2C2 +a3C2 ,a1C3 ﹣a2C3 +a3C3 ﹣a4C3 ; (2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (1) 利用等比数列的通项公式求出数列的前 4 项, 据组合数公式求出各个组合数, 代入两个代数式求出值. (2)归纳猜测出一般结论,利用等比数列的通项公式将各项用首项和公比表示,提出公因式公比,逆用二 项式定理的展开式, 化简代数式得证. 0 1 2 2 2 0 1 2 3 2 3 解答: 解: (1) a1C2 ﹣a2C2 +a3C2 =a1﹣2a1q+a1q =a1 (1﹣q) a1C3 ﹣a2C3 +a3C3 ﹣a4C3 =a1﹣3a1q+3a1q ﹣a1q =a1 3 (1﹣q) ;
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(2)归纳概括的结论为: 若数列{an}是首项为 a1, 公比为 q 的等比数列, 0 1 2 3 n n n 则 a1Cn ﹣a2Cn +a3Cn ﹣a4Cn +…+(﹣1) an+1Cn =a1(1﹣q) , n 为正整数. 0 1 2 3 n n 0 1 2 2 3 3 证明:a1Cn ﹣a2Cn +a3Cn ﹣a4Cn +…+(﹣1) an+1Cn =a1Cn ﹣a1qCn +a1q Cn ﹣a1q Cn +…+(﹣1) n n n 0 1 2 2 3 3 n n n a1q Cn =a1[Cn ﹣qCn +q Cn ﹣q Cn +…+(﹣1) q Cn ] n =a1(1﹣q) . 点评: 本题考查等比数列的通项公式、组合数公式、二项式定理展开式的形式,要熟练掌握公式并能逆用公式. 22. (2011?江苏二模)必做题 * 当 n≥1,n∈N 时, 1 2 3 2 n﹣1 n﹣2 n﹣1 (1)求证:Cn +2Cn x+3Cn x +…+(n﹣1)Cn x =n(1+x) ; 2 1 2 2 2 3 2 n﹣1 2 n (2)求和:1 Cn +2 Cn +3 Cn +…+(n﹣1) Cn +n Cn .

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www.jyeoo.com 考点: 二项式定理的应用;导数的运算. 专题: 证明题. n 分析: (1)构造函数 f(x)=(1+x) 利用,二项式定理展开,求导数即可得到结果. (2)利用(1)的结论,两边同乘 x 然后求导数,通过 x=1 即可证明结果. n 1 2 2 3 3 n n 解答: 证明: (1)设 f(x)=(1+x) =Cn°+Cn x+Cn x +Cn x +…+Cn x …① ,
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① 式两边求导得:n(1+x) =Cn +2Cn x+3Cn x +…+(n﹣1)Cn x +nCn x ,…② n﹣1 1 2 2 3 3 n﹣1 n﹣1 n n (2)② 的两边同乘 x 得:nx(1+x) =Cn x2Cn x +3Cn x +…+(n﹣1)Cn x +nCn x ,…③ , n﹣1 n﹣2 1 2 2 2 3 2 2 n﹣1 n﹣2 2 n n ③ 式两边求导得:n(1+x) +n(n﹣1)x(1+x) =Cn +2 Cn x+3 Cn x +…+(n﹣1) Cn x +n Cn x ﹣1 ,…④ , 1 2 2 2 3 2 n﹣1 2 n n﹣1 n﹣2 n﹣2 ④ 中令 x=1 得,Cn +2 Cn +3 Cn +…+(n﹣1) Cn +n Cn =n2 +n(n﹣1)2 =2 ?n(n+1) . 点评: 本题考查二项式定理的展开式的应用,考查赋值法与函数的导数的应用,考查计算能力,构造函数是解题 的关键.

n﹣1

1

2

3 2

n﹣1 n﹣2

n n﹣1

23.若 (1)求实数 a 的值; (2)求

,其中



的值.

考 二项式定理的应用. 点: 专 计算题. 题: 分 (1)根据题意,由二项式定理求出 a2、a3 的值,代入 析:
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中,可得关于 a 的方程,解可得答案;

(2)用赋值法,令 x=2 可得 ,再设 将其代入 解 解: (1)根据题意,若 答: 则 a2=C10 =a (﹣ ) ,a3=C10 a (﹣ ) ,
2 8 2 3 7 3

,令 x=﹣2 可得

中即可得答案. ,

又由

,则有

=

= ﹣ a,

解可得 a=﹣ ; (2)对于 令 x=2 可得, ,

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www.jyeoo.com 令 x=﹣2 可得, 设 ∴ A0+A1=0,A0﹣A1=﹣1, 则 =

点 本题考查二项式定理的应用,解(2)的关键在于巧妙的运用赋值法,注意常见的赋值技巧. 评: 24.设 f(x)=(x+1) (其中 n∈N+) . 2 3 n (1)若 f(x)=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1) +a3(x﹣1) +…+an(x﹣1) ,求 a0 及 Sn=a1+a2+a3+…+an; (2)当 n=2013,计算: ﹣2 +…+k (﹣1)
k﹣1 n

+…+2013

(﹣1)

2012



考点: 二项式定理的应用;二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)取 x=1,可求得 a0,再取 x=2,可求得 Sn; 2013 (2)对(1+x) 的展开式,等号两端同时求导,再对 x 赋值﹣1 即可求得答案. n 解答: 解: (1)取 x=1,则 a0=2 ; …(2 分) n 取 x=2,则 a0+a1+a2+a3+…+an=3 ,…(4 分) n n ∴ Sn=a1+a2+a3+…+an=3 ﹣2 .…(6 分)
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(2)由(1+x) 两端求导得: 2013(1+x)

2013

=

+

x+

x +…+

2

x +…+

k

x

2013

,…(8 分)

2012

=

+2

x+…+k

?x

k﹣1

+…+2013

?x

2012

…(12 分)

令 x=﹣1,得: ﹣2 +…+k ?(﹣1)
k﹣1

+…+2013

?(﹣1)

2012

=0…(16 分)

点评: 本题考查二项式定理的应用,考查二项式系数的性质, (2)中对(1+x)
2013

=

+

x+

x +…+

2

x +…+

k

x

2013

两端求导是关键,也是难点,考查观察、分析与

运算能力,属于中档题.

25. (在 (1)求 n 的值; (2)求和:

的展开式中,倒数第 8 项是常数项.



考点: 二项式定理的应用. 分析: (1)利用二项展开式的通项公式求出倒数第 8 项,令其 x 的指数为 0,求出 n
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www.jyeoo.com (2)先利用组合数公式求数列的通项 解答: 解: (1)倒数第 8 项是顺数第 n﹣6 项, 得 x 的次数是: 解得 n=28, (2)当 n=28 时,由于 且 k=1,2,…,28. 所以: =(29﹣1)+(29﹣2)+…+(29﹣28)=406 点评: 本题考查利用二项展开式的通项解决二项展开式的特定项问题、组合数的公式、等差数列的前 n 项和公式. 26.观察下列等式(x +x+1) =1, (x +x+1) =x +x+1, (x +x+1) =x +2x +3x +2x+1, (x +x+1) 3 6 5 4 3 2 =x +3x +6x +7x +6x +3x+1… 2 5 5 可以推测(x +x+1) 展开式中各项系数的和为 3 .第四、五、六项系数的和是 136 . 考点: 二项式定理的应用;进行简单的合情推理. 专题: 计算题;探究型. 分析: 观察所给的等式,分析可得(x2+x+1)n 中,各项系数的和为 3n,则(x2+x+1)5 展开式中各项系数的和为 5 2 5 7 3 ,进而分析可得,在(x +x+1) 展开式中,按 x 的降次排列,共 11 项,展开式的第四项是含 x 的项; 2 2 2 其构成是 5 个(x +x+1)中 3 个出 x ,1 个出 x,1 个出 1;或 2 个出 x ,3 个出 x,由组合数公式可得其系 数,同理可得第五、六项系数,相加可得答案. 解答: 解:观察所给的等式 2 0 0 (x +x+1) =1 中,各项系数的和为 1=3 , 2 1 2 1 (x +x+1) =x +x+1 中,各项系数的和为 3=3 , 2 2 4 3 2 2 (x +x+1) =x +2x +3x +2x+1 中,各项系数的和为 9=3 , …
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,知数列是等差数列,再求出其前 28 项和.

, ,



2

0

2

1

2

2

2

4

3

2

2

可以推测(x +x+1) 展开式中各项系数的和为 3 , 2 5 在(x +x+1) 展开式中,按 x 的降次排列,共 11 项, 7 2 2 2 则展开式的第四项是含 x 的项;其构成是 5 个(x +x+1)中 3 个出 x ,1 个出 x,1 个出 1;或 2 个出 x , 3 1 2 3 个多项式出 x,其系数为 C5 C3 +C5 =40, 6 2 2 展开式的第五项是含 x 的项;其构成是 5 个多项式 3 个出 x ,其它都出 1;5 个多项式 2 个出 x ,2 个出 x, 其它出 1; 2 3 2 2 1 5 个多项式 1 个出 x ,4 个出 x,其系数为 C5 +C5 C3 +C5 =45, 2 1 1 3 同理:展开式的第 6 项的系数为 C5 C3 +C5 C4 +1=51; 则第四、五、六项系数的和是 40+45+51=136. 5 故答案为 3 ,136. 点评: 本题考查二项式定理的运用以及归纳推理,解题的关键在于发现所给等式的系数变化的规律. 27.已知 f (x)=(1+x)+(1+x) +(1+x) +…+(1+x) .
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2 3 10

2

5

5

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www.jyeoo.com 3 (1)求 f (x)展开式中 x 的系数; (2)求 f (x)展开式中各项系数之和. 考点: 二项式定理的应用;二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数为 3,求出展开式中 x3 的系数. (2)欲求 f (x)展开式中各项系数之和,只需令 x=1 即可求出所求. n r r 解答: 解: (1) (1+x) 展开式的通项为 Tr+1=Cn x 3 3 2 3 10 3 令 r=3 得到展开式中 x 的系数是 Cn ∴ f (x)=(1+x)+(1+x) +(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系 3 3 3 3 4 2 3 10 数是 C3 +C4 +C5 +…+C10 =C11 (2)令 x=1 得 f(1)=2+2 +2 +…+2 =2046 ∴ f (x)展开式中各项系数之和为 2046 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,以及所以系数和等有关问题,属于中 档题.
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28.若(a﹣2x) 展开式中 x 的系数为 40,且 (1)求 (2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值; (3)求 a1+2a2+3a3+4a4+5a5 的值. 的值;

5

2



考点: 二项式定理的应用;数列的求和. 专题: 二项式定理. 分析: (1)求得 a=1 后,利用平方差公式展开,原式=f(1)f(﹣1) ,从而可求其值; 5 (2)令 g(x)=(1+2x) ,|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=g(1) ,从而可得答案; 5 2 5 4 2 3 4 (3)f(x)=(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+a5x ?f′ (x)=﹣10(1﹣2x) =a1+2a2x+3a3x +4a4x +5a5x ,再对 x 赋值 1 即可. 解答: 解:由题知 a3(﹣2x)2=40a3x2,
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∴ 40a =40,∴ a=1, 5 5 即(a﹣2x) =(1﹣2x) , 5 设 f(x)=(1﹣2x) , (1) ﹣ =(a0+a1+…+a5) (a0﹣a1+…﹣a5)=f(1)f(﹣1)=﹣3 =﹣
5

3

243. 5 (2)令 g(x)=(1+2x) , 5 则|a0|+|a1|+…+|a5|=g(1)=3 =243; 5 2 5 (3)由于 f(x)=(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+a5x , 4 2 3 4 ∴ f′ (x)=﹣10(1﹣2x) =a1+2a2x+3a3x +4a4x +5a5x , 4 ∴ f′ (1)=﹣10(1﹣2) =a1+2a2+3a3+4a4+5a5=﹣10. 点评: 本题考查二项式定理的应用,突出考查赋值法与导数法的应用,考查数列求和,属于中档题. 29. (1)求 77 ﹣7 被 19 整除所得的余数; 5 (2)求 1.02 的近似值(精确到 0.01) . 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)77=4×19+1=76+1,故 7777=(76+1)77 展开式按照 76 的降幂排列,前边的项均能被 19 整除,故只需
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77

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www.jyeoo.com 考虑最后一项即可. 5 5 (2)1.02 =(1+0.02) 展开式按照 0.02 的升幂排列,次数越高,越接近于 0,可忽略不计.当精确到 0.01 时,只需取展开式的前三项和即可. 解答: 解: (1)∵ 77=76+1=4×19+1, ∴ 77 ﹣7=(76+1) ﹣7=C77 ?76 +C77 ?76 ++C77 ?76+C77 ?1﹣7 0 76 1 75 76 =76(C77 ?76 +C77 ?76 +C77 )﹣19+(19﹣6) ,所以余数是 19﹣6=13. 5 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 (2)1.02 =(1+0.02) =1+C5 ?0.02+C5 ?0.02 +C5 ?0.02 +C5 ?0.02 +C5 ?0.02 , ﹣3 2 2 ∵ C5 ?0.02 =4×10 =0.004, ﹣5 3 3 C5 ×0.02 =8×10 , ∴ 当精确到 0.01 时,只需取展开式的前三项和为: 1+0.10+0.004=1.104.则近似值为 1.10. 点评: 本题考查二项式定理的应用,处理整除问题和近似计算问题,综合性较强. 30.已知(3﹣2x) =a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1) +…+an(x﹣1) (n∈N ) ,a2=60. (1)求 n 的值; (2)求﹣ 的值.
n 2 n + 77 77 0 77 1 76 76 77

考点: 二项式定理的应用. 专题: 综合题;二项式定理. n 2 n 分析: (1)以 x+1 代替 x,可得(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+anx ,根据 a2=60,即可求出 n 的值;
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(2)写出展开式的通项,﹣
n 2 n

=

,即可得出结论.

解答: 解: (1)以 x+1 代替 x,可得(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+anx , ∵ a2=60, ∴ =60,

∴ n(n﹣1)=30, ∴ n=6; (2)展开式的通项为 Tr+1= ∴ an= ,
6



∴ ﹣

=

=2 ﹣1=63.

点评: 本题考查二项式定理的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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