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2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法2空间向量与垂直关系课件新人教A版选修2_1_图文

§3.2 立体几何中的向量方法(二) 空间向量与垂直关系 学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的 垂直关系. 3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 向量法判断线线垂直 思考 若直线l1的方向向量为μ1=(1,3,2),直线l2的方向向量为μ2= (1,-1,1),那么两直线是否垂直?用向量法判断两条直线垂 直的一般方法是什么? 答案 梳理 设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b=(b1,b2,b3), b=0 ? a1b1+a2b2+a3b3=0 . 则l⊥m? a· 知识点二 向量法判断线面垂直 思考 若直线 l 的方向向量为 ? 3? ? ? 3 , 2 , ? ?,则直线 2 ? ? ? ? 4 ? μ1=?2,3,1? ?,平面 ? ? α 的法向量为 μ2= l 与平面 α 的位置关系是怎样的?如何用向量 答案 法判断直线与平面的位置关系? 梳理 设直线l的方向向量a=(a1,b1,c1),平面α的法向量μ=(a2,b2,c2),则 l⊥α?a∥μ? a=kμ(k∈R) . 知识点三 向量法判断面面垂直 思考 平面 α , β 的法向量分别为 μ1 = (x1 , y1 , z1) , μ2 = (x2 , y2 , z2) , 用向量坐标法表示两平面α,β垂直的关系式是什么? x1x2+y1y2+z1z2=0. 答案 梳理 若平面α的法向量为μ=(a1,b1,c1),平面β的法向量为ν=(a2,b2,c2), 则α⊥β?μ⊥ν?μ· ν=0? a1a2+b1b2+c1c2=0 . 题型探究 类型一 例1 证明线线垂直 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点, 证明 1 N是侧棱CC1上的点,且CN= CC1.求证:AB1⊥MN. 4 反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求 直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 跟踪训练1 证明 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AC= 3, BC=4,AB=5,AA1=4,求证:AC⊥BC1. ∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC、BC、C1C两两垂直. 如图,以C为坐标原点,CA、CB、CC1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0), → → ∵AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4), → → ∴AC· BC1=0.∴AC⊥BC1. 类型二 证明线面垂直 例2 如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点. 求证:AB1⊥平面A1BD. 证明 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一:(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. 反思与感悟 (3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0. 方法二:(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量. (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 跟踪训练2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2, 证明 点P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC. 类型三 证明面面垂直 例3 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2, 证明 AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C. 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直. 跟踪训练 3 平面ABC. 在四面体 ABCD 中, AB⊥ 平面 BCD , BC = CD , ∠BCD = 90°, ∠ADB = 30°, E 、 F 分别是 AC 、 AD 的中点,求证:平面 BEF⊥ 证明 当堂训练 1.下列命题中,正确命题的个数为 答案 解析 ①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2?α∥β; ②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β ? n1· n2=0; ③若n是平面α的法向量,a与平面α平行,则n· a=0; ④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 √ D.4 ①中平面α,β可能平行,也可能重合,结合平面法向量的概念,易知② ③④正确. 1 2 3 4 5 2.已知两直线的方向向量为a,b,则下列选项中能使两直线垂直的为 A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0) B.a=(0,1,0),b=(1,0,1) √ 答案 解析 C.a=(0,1,-1),b=(0,-1,1) D.a=(1,0,0),b=(-1,0,0) 因为a=(0,1,0),b=(1,0,1),所以a· b=0×1+1×0+0×1=0,所 以a⊥b,故选B. 1 2 3 4 5 3.若直线l的方向向量为a=(1, 0, 2), 平面α的法向量为μ=(-2, 0, -4), 则 A.l∥α √ B.l⊥α C.l?α D.l与α斜交 答案 解析 ∵a∥μ,∴l⊥α. 1 2 3 4 5 4.平面α的一个法向量为m=(1, 2, 0), 平面β的一个法向量为n=(2, -1, 0), 则平面α与平面β的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 答案 解析 C.垂直 √ D

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