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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:2.2函数的定义域


第二章

函数

第2讲
函数的定义域

1

考 ●函数的解析式与定义域 点 ●求含有参数的函数的定义域 搜 ●利用图象和表格所给信息解决实际问题高 索 考 高 猜想定义域是函数的一个重要特征,高考对 考 其考查一方面是在小题中结合集合进行单 猜 独考查;另一方面综合考查函数的有关性 想 质问题,均要优先考虑定义域.

2

?

1. 函数的定义域是指① 自变量x的取值范围 . 集合或区间 表示. 函数的定义域必须用② 2. 已知函数的解析式求其定义域的具体要 求是:若解析式为分式函数,要求 ③ 分母不等于零 ;若解析式为无理偶次根式, 被开方式大于或等于零 ;若解析式 要求④ 真数式大于零,底数 为对数型函数,要求⑤

?

?大于零且不等于1 ;
3

次幂的底数不等于零 若解析式中含有0次幂因式,则要求 ⑥ . ? 3. 若已知f(x)的定义域为x∈(a,b), 求f[g(x)]的定义域,其方法是由 a<g(x)<b ⑦ 求得x的范围,即为f [g(x)]的定义域.
?

4

4. 若已知f[g(x)]的定义域为x∈(a,b), g(x) 求f(x)的定义域,其方法是由a<x<b, 求得⑧ 的范围,即为f(x) 的定义域. ? 5. 求一个函数的反函数的定义域,即是 求⑨ 原函数的值域 .
?

5

1.函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( ? A. {x|x≤1} B. {x|x≥0} ? C. {x|x≥1或x≤0} D. {x|0≤x≤1} ? 由 1-x≥0 ? x≥0? ? 0≤x≤1. ? 故选D.
?

D)

6

2.函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域为( ? x2 ? 3 x ? 4 ? A. (-4,-1) B. (-4,1) ? C. (-1,1) D. (-1,1] ? 由 x+1>0 ? -x2-3x+4>0? ? x>-1 ? -4<x<1? ? -1<x<1. ? 故选C. ?
?

) C

7

3.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 [m,n],若|m-n|恰为f(x)的最大值,则a 的值为( ) B ? A. -2 B. -4 ? C. -8 D. 不能确定 ? 由|m-n|=[f(x)]max, ?得 ? 即|a|=2-a,解得a=-4,故选B. b 2 ? 4ac 4ac ? b 2
?

a

2

?

4a

,

8

题型一:基本初等函数的定义域问题 ? 1. (1)函数 的定义域是( ) f ( x) ? 1 ? 2 x ? A. (-∞,0] B. [0,+∞) ? C. (-∞,0) D. (-∞,+∞) ? (2)函数 的定义域为 1 ( ) f ( x) ? log 2 (? x 2 ? 4 x ? 3) ? A. (1,2)∪(2,3) B. (-∞,1)∪(3,+∞) ? C. (1,3) D. [1,3]
?
9

?

题型一:基本初等函数的定义域问题

10

(1)由1-2x≥0,得x≤0, ? 所以f(x)的定义域为(-∞,0],所以选A. ? (2)由 -x2+4x-3>0 ? -x2+4x-3≠1, 得1<x<2或2<x<3. ? 所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3),所以选 A.
?

11

?

点评:求函数的定义域,关键是由含自 变量x的代数式有意义,得到相应的不 等式(或不等式组),常见的有:偶次方 根中的被开方数是非负数,分式中的分 母不能为零,对数式中的真数为正数等.

12

13

题型二:含参数的函数的定义域问题 ? 2. 若函数f(x)=lg(ax2-2ax+4)的定义域为R, 则实数a的取值范围是 . [0,4) ? 据题意,对任意x∈R,都有ax22ax+4>0成立, ? 所以a=0或 a>0 ? Δ=4a2-16a<0,解得0≤a<4. ? 所以a∈[0,4).
?

14

?

点评:由函数的定义域反求参数的取 值范围,根据题意得到参数的不等式 (组).如果与二次函数有关的,应该 注意运用二次函数的有关性质解决.

15

函数 ? 求实数a的取值范围. ? 由题意,ax2+4ax+3=0无解. ? 当a=0时,3=0不成立,所以a=0满足; ? 当a≠0时,Δ=16a2-12a<0, ? 解得 3 ? 所以 0<a< .
?

1 的定义域为R, f ( x) ? 2 ax ? 4ax ? 3

4 3 a ? 0, ). [ 4

16

? ? ?

题型三:复合函数的定义域问题 3. 已知函数f(x)的定义域为(0,2), 求下列函数的定义域:

f (2 x ? 1) y? . ? (1)y=f(x2)+2012; log 1 (2 ? x)
?

(2)

2

17

(1)由0<x2<2,得-2<x<2且x≠0. ? 所以y=f(x2)+2012的定义域是 (? 2 , 0) ? 0, 2 . ? (2)由 0<2x-1<2 1<2x<3 ? log12(2-x)>0? 0<2-x<1? ? ? 1<x<log23, ? ? 所以函数 的定义域是 x (1,log23). y ? f (2 ? 1)
?

?

?

log 1 (2 ? x)
2

18

?

点评:复合函数中,外层函数的定义域是 由内层函数的值域决定的,即:若已知f [g(x)]的定义域为(a,b),求f(x)的定义域, 其方法是利用a<x<b,求得g(x)的范围, 则g(x)的范围即为f(x)的定义域.而已知f(x)的 定义域为[a,b],求f[g(x)]的定义域 时,由a≤g(x)≤b,求出x的范围即可.

19

20

21

参考题

题型 实际应用中的定义域问题 ? 用长为l的铁丝弯成下部分为矩形,上部 分为半圆形的框架.若矩形底边长为2x, 求此框架围成的面积y关于x的函数解析 式,并求出它的定义域.
?

22

?

如图所示,连结CD.

?
? ?

因为CD=AB=2x,
? 所以 CD ? ? x,
? l ? 2 x ? CD AD ? 2 l ? 2x ? ? x ? . 2

所以

?

所以

l ? 2x ? ? x ? 2 y ? 2 x· ? x 2 2 ? ?(2 ? ? 2) x 2 ? lx.
23

?

l ? 2x 由 2x>0 ? ? x >0, 2

? ?



l 0<x< . ? ?2

l (0, ). ? ?2

所以函数的定义域为

24

1. 求函数的定义域的过程,实质上就是根 据解析式列出不等式(组)后解这个不等式 (组)的过程.其解题程序可以概括为:(1)列 全;(2)解对;(3)表示. ? 2. 求函数的定义域时,不能先将函数化简 变形,否则可能会改变原函数的定义域.
?

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