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乌鲁木齐地区2013年高三年级第一次诊断性测验文科数学试题答案及评分标准

2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 B 11 D 12 B

1.选 D.【解析】 A ? ?U B ? ?1, 4,5? ? ?1,5, 6? ? ?1, 4,5, 6? . 2.选 C.【解析】

?

?

1 ? 2i ? 2 ? i ,其共轭复数为 2 ? i ,即 a ? bi ? 2 ? i ,所以 a ? 2, b ? 1 . i

3.选 B.【解析】 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 , lg x2 ? 0 ? 0 ? x2 ? 1 ? ?1 ? x ? 0,0 ? x ? 1. 4.选 A.【解析】 f ? x ? ? g ( x) 的定义域为 ? ?1,1? 记 F ( x) ? f ? x ? ? g ( x) ? log 2
?1

1? x ,则 1? x

1? x 1? x ? 1? x ? F (? x) ? log 2 ? log2 ? ? ? ? log 2 1 ? x ? ? F ( x) ,故 f ? x ? ? g ( x) 是奇函数. 1? x ? 1? x ?
5.选 D.【解析】函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 的零点就是方程 f ( x) ? x ? m 的根, 作出 h( x) ? f ? x ? ? x ? ?

? x,

x?0

x ? e ? x, x ? 0

的图象,观察它与直线 y ? m 的交点,得知当

m ? 0 时,或 m ? 1 时有交点,即函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点.
6.选 A.【解析】由 a1 ? 1 , a3 ? 5 ,解得 d ? 2 ,再由: Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1

? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 4k ? 4 ? 36 ,解得 k ? 8 .
7.选 B.【解析】 AB ? 5, yA ? yB ? 4 ,所以 xA ? xB ? 3 ,即

T 2? ? 3 ,所以 T ? ?6, 2 ?

??

?
3

由 f ? x ? ? 2sin ?

?? ? ? 2? ? x ? ? ? 过点 ? 2, ?2? ,即 2sin ? ? ? ? ? ?2 , 0 ? ? ? ? , ?3 ? ? 3 ?

解得 ? ?

5? 5? ?? ,函数为 f ? x ? ? 2sin ? x ? 6 6 ?3

? ? 5? ? ? ? ,由 2k? ? 2 ? 3 x ? 6 ? 2k? ? 2 , ?

解得 6k ? 4 ? x ? 6k ? 1 ,故函数单调递增区间为 ?6k ? 4,6k ?1? ? k ?Z? . 8.选 B.【解析】依题意 S ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
2 n n ?1

? 1 ,有 2n?1 ? 1 ? 127 ,故 n ? 6 .

9.选 C.【解析】 (略). 10.选 B.【解析】双曲线的渐近线为 y ? ?

1 x ,抛物线的准线为 x ? 2 ,设 z ? x ? y ,当直 2

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 1 页(共 7 页)

线 y ? ? x ? z 过点 O (0, 0) 时, zmin ? 0 . 11.选 D.【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 B1F2 的方程 为 bx ? cy ? bc ? 0 ,联立可得 P ?

? 2ac b ? a ? c ? ? , ? ,又 A2 ? a,0? , B1 ? 0, ?b? , ?a?c a?c ?

∴PB1 ? ?

????

? ? ?2ac ?2ab ? ???? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? , , ? ,∵?B1PA2 为钝角 ? , PA2 ? ? a?c a?c ? ? a?c a?c ? ?

?2a 2 c ? a ? c ? 2ab 2 ? a ? c ? ???? ???? ? ? ? 0 ,化简得 b2 ? ac ,即 a 2 ? c 2 ? ac , ∴PA2 ? PB1 ? 0 ,即 2 2 a ? c? a ? c? ? ?
故?

? 5 ?1 5 ?1 ?c? c 2 或e? ,而 0 ? e ? 1 ,所以 ? ? ? 1 ? 0 ,即 e ? e ? 1 ? 0 , e ? 2 2 ?a? a

2

5 ?1 ? e ? 1. 2
12.选 B.【解析】设 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对的边,由

?

??? ??? ??? 3 ??? 2 ??? ??? ??? ??? 3 ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? CA ? CB ? AB ? AB 得 CA ? AB ? CB ? AB ? AB . 5 5

?

即 bc cos ?? ? A ? ? ac cos B ? ∴a?

3 2 3 c ,∴ a cos B ? b cos A ? c . 5 5

3 a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 3 ?b? ? c ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , 5 2ac 2bc 5

a 2 ? c 2 ? b2 3 2 2 c ?c 2 2 2 tan A sin A cos B a a ?c ?b 2ac 5 ∴ ? ? ? ? ? ? ? 4. tan B sin B cos A b b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? a 2 ? 3 c 2 ? c 2 5 2bc
二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 68 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =

10 + 20 + 30 + 40 + 50 ? 30 , 5

? 由 y = 0.67 x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67 ? 30 + 54.9 = 75
62 + m + 75 + 81+ 89 = 75 ,故 m ? 68 . 5 1 14.填 . 【解析】平面 A BC1 ∥ 平面 ACD1 ,∴P 到平面 ACD1 的距离等于平面 A BC1 与平 1 1 6
∴ 面 ACD1 间的距离,等于

1 3 1 3 ,而 S?ACD1 ? AD1 ? CD1 sin 60? ? , B1 D ? 2 2 3 3

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 2 页(共 7 页)

∴ 三棱锥 P ? ACD1 的体积为 ?

1 3

3 3 1 ? ? . 2 3 6

15.填 y ? sin ?

? 2? ? ? ?? ?? ? , 【解析】?xOA0 ? , A 每秒旋转 点 所以 t 秒旋转 t , t ? ?. 3 12 6 6 3? ?6
t , ?xOA ?

?A0OA ?

?
6

?
6

t?

?
3

,则 y ? sin ?xOA ? sin ?

?? ?? t? ?. 3? ?6
1 x, k

16.填 2 .【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ,则直线 OB 的方程为 y ? ?

? y ? kx 2 2k 2 ? 2 , y12 ? 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? 2 y 2 故 x1 ? , 2 ? k2 2 ? k2 ?1 ?x ? ? 2
2 2 ∴ OA ? x1 ? y1 ? 2

2 ?1 ? k 2 ? 2 ? k2
4 ?1 ? k 2 ?
4 2 2

,同理 OB ?
2

2 ?1 ? k 2 ? 2k 2 ? 1



故 OA ? OB ?
2 2

?2k ? 5k ? 2

? ?2 ?

?k

4 9k 2
2

? 1?

2



?k

k2
2

? 1?
2

2

?

1 1 ? (当且仅当 k ? ?1 时,取等号) 1 k2 ? 2 ? 2 4 k
1 OA ? OB 的最小值为 2 . 2

∴ OA ? OB ? 16 ,故 S ?AOB ?
2

三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17.(Ⅰ )设 ?an ? 的公比为 q , ?bn ? 的公差为 d ,依题意 ?

? 2 ? d ? 4 ? 2q ? ?? 2 ? 2d ? ? 2q ? 6 ?

?d ? 2 ? d ? ?5 n?2 ? ? ?1? 解得 ? 1 ,或 ? 3 (舍) ∴an ? ? ? , bn ? 2n ; ?2? ?q ? 2 ?q ? ? 8 ? ?

…6 分

?1? (Ⅱ )由(Ⅰ )得 abn ? a2 n ? ? ? ?2?
因为 abn ? 0.001 ? ?

2 n?2



?1? ? ?2?

2 n ?2

? 0.001 ? 22 n?2 ? 1000 ,
…12 分

所以 2n ? 2 ? 10 ,即 n ? 6 ,∴ 最小的 n 值为 6.
2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 3 页(共 7 页)

18. )记“从 9 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出 2 天,恰有一天空气质量达到一级” (Ⅰ 为事件 A , ∵ 9 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出 2 天,有 ?28,33? , ?28,31? , ?28, 44? , 从

?28, 45? ,?28,63? ,?28,79?,?28,81?,?28,86? ,?33,31?,?33,44?,?33,45? ,?33,63? , ?33,79?,?33,81?,?33,86? , ?31,44?,?31,45? , ?31,63? , ?31,79? , ?31,81?, ?31,86? , ?44, 45? ,?44,63? , ?44,79? , ?44,81? , ?44,86? ,?45,63? , ?45,79? , ?45,81? , ?45,86? , ?63,79? , ?63,81? , ?63,86? , ?79,81? , ?79,86? , ?81,86? 共 36 种情形,其中恰有一天 空 气 质 量 达 到 一 级 的 有 ?28, 44? , ?28, 45? , ?28,63? , ?28,79? , ?28,81?, ?28,86? , ?33, 44? , ?33, 45? ,?33,63? , ?33,79?,?33,81?,?33,86? ,?31,44?,?31,45? ,?31,63? , ?31,79? , ?31,81?, ?31,86? 共 18 种情形,∴P ? A? ? 36 ? 2 ;
算)有 ? 150 ? 50 天的空气质量达到一级. 19. )连接 AC , BD ,设 AC ? BD ? O ,则 VO ⊥ (Ⅰ 平面 ABCD , 连接 AM ,设 AM ? BD ? E ,由 BM : BC ? 1: 3 , ?MEB ~ ?AED , 得 BE : ED ? 1: 3 ∴E 为 OB 的中点,而 P 为 VB 的中点,故 PE ∥VO 在 DA 上取一点 N , D D 使 N :A

18

1

…6 分

(Ⅱ )依题意可知,这 9 天中空气质量达到一级的有 3 天,那么供暖期间估计(按 150 天计

3 9

…12 分

?1 :3

,CN ? BD ? F 同理 QF ∥VO , 于是 PE ∥QF

在正方形 ABCD 中 AM ∥CN ,∴ 平面 APM ∥ 平面 CQN ,又 CQ ? 平面 CQN ∴CQ ∥ 平面 PAM ; (Ⅱ )延长 BA 至 G 使 BA ? AG ,连接 VG ,则 VG ∥ AP 且 VG ? 2 AP 延长 DC 至 H 使 DC ? CH ,连接 VH ,,则 VH ∥CQ 且 VH ? 2CQ ∴ 相交直线 VG 与 VH 所成的不大于 90? 的角即为异面直线 AP 与 CQ 所成的角 连接 GH ,在 ?GVH 中, GH ? 2 30, VG ? VH ? 2 AP ? 2CQ ? 2 15
2 2 2 ∴GH ? VG ? VH ,∴?GVH ? 90? ,即 CQ ⊥ AP .

…6 分

…12 分

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 4 页(共 7 页)

20. )⊙F 的半径为 (Ⅰ

4 ?1 42 ? 32

? 1,⊙F 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,
2

作 MH ⊥ y 轴于 H ,则 MF ? 1 ? MH ,即 MF ? MH ? 1,则 MF ? MN ( N 是 过 M 作直线 x ? ?1 的垂线的垂足) ,则点 M 的轨迹是以 F 为焦点, x ? ?1 为准线的抛 物线. ∴ M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x ? x ? 0? ; 点 (Ⅱ )当 l 不与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,由 ? …6 分

? y ? k ? x ? 1? ? 得 2 ? y ? 4x ?

k 2 x 2 ? ? 2k 2 ? 4 ? x ? k 2 ? 0 ,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?
∴sin ? ? sin ? ?

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 k2

1 1 1 1 x1 ? x2 ? 2 x ? x ?2 ? ? ? ? ? 1 2 ?1, AF BF x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 1 ? x1 ? x2 ? 1

当 l 与 x 轴垂直时,也可得 sin ? ? sin ? ? 1 , 综上,有 sin ? ? sin ? ? 1 .
3 2

…12 分

21.Ⅰ 函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? 的零点的集合为 ?0,1? , ( ) 则方程 f ? x ? ? 0 的 解可以为 x1 ? x2 ? 0, x3 ? 1 ,或 x1 ? x2 ? 1, x3 ? 0 . ∴ f ? x ? ? ax ① f ? x ? ? ax 若
2
2

? x ?1? 或 f ? x ? ? ax ? x ? 1?

2

.

? x ?1?? a ? 0? ,则 f ? ? x ? ? 2ax ? x ? 1? ? ax 2 ? 3ax ? x ? ?
?

2? ?. 3?

当 x ? 0 ,或 x ?

2 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为增函数;当 0 ? x ? , f ? ? x ? ? 0 , 3 3

函数 f ? x ? 为减函数; ∴x ? 0 , x ?

2 为函数的极值点.与题意不符. 3
2

② f ? x ? ? ax ? x ? 1? 若 当x?

? a ? 0 ? ,则 f ? ? x? ? a ? x ?1??3x ?1?

1 1 ,或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为增函数;当 ? x ? 1 , f ? ? x ? ? 0 ,函 3 3

数 f ? x ? 为减函数;

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 5 页(共 7 页)

∴x ?

1 , x ? 1 为函数的极值点. 3
2

综上,函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1?

? a ? 0 ? ,即 f ? x ? ? ax ? x ? 1?
b a

2

? ax 3 ? 2ax 2 ? ax ,
…6 分

而 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ? a ? 0? ,故 b ? ?2a ,∴ ? ?2 (Ⅱ )设过点 P ? m,0? 的直线与曲线 y = f ? x ? 切于点 Q ? x0 , y0 ? ,

由(Ⅰ )知 f ? ? x0 ? ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1? ,∴ 曲线 y = f ? x? 在点 Q ? x0 , y0 ? 处的切线方 程为 y ? y0 ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? x ? x0 ? , ∵P ? m,0? 满足此方程,故 ? y0 ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? m ? x0 ? ,又 y0 ? ax0 ? x0 ? 1?
2 即 ?ax0 ? x0 ? 1? ? 3a ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? m ? x0 ? ,∴? x0 ? 1? 2 x0 ? 3mx0 ? m ? 0 .

? ?

1? 3?

? ?

1? 3?

? ?

1? 3?

2

2

? ?

1? 3?

?

?

2 2 x0 ? 1 , 或 2x0 ? 3mx0 ? m ? 0 …①, 关 于 x0 的 方 程 2x0 ? 3mx0 ? m ? 0 的 判 别 式

? ? 9m2 ? 8m
当m ? 0或m ?

8 2 时, ? ? 0 ,方程① 有两等根 x0 ? 0 或 x0 ? ,此时,过点 P ? 0,0? 或 3 9

?8 ? P ? , 0 ? 与曲线 y = f ? x ? 相切的直线有两条; ?9 ?
当0 ? m ?

8 时, ? ? 0 ,方程① 无解,此时过点 P ? m,0? 与曲线 y = f ? x? 相切的直线 9 8 时, ? ? 0 ,方程①有两个不同的实根,此时过点 P ? m,0? 与曲线 9
…12 分

仅有一条; 当m?0或m?

y = f ? x? 相切的直线有三条.
22. )连接 BC ,∵ AB 是 ? O 的直径,∴?ACB ? 90? . (Ⅰ ∴?B ? ?CAB ? 90? . ∵ AD ? CE ,∴?ACD ? ?DAC ? 90? , ∵ AC 是弦,且直线 CE 和 ? O 切于点 C , ∴?ACD ? ?B . ∴?DAC ? ?CAB ,即 AC 平分 ?BAD ;
2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 6 页(共 7 页)

…5 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 ?ABC ? ?ACD ,∴

AC AD 2 ? ,由此得 AC ? AB ? AD AB AC

2 2 ∵ AB ? 4 AD ,∴ AC ? 4 AD ? AD = 4 AD ? AC ? 2 AD ,于是 ?DAC ? 60? ,

故 ?BAD 的大小为 120? . 23. )设曲线 C 上任一点为 ? x, y ? ,则 ? x,2 y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上, (Ⅰ 于是 x ? ? 2 y ?
2 2

…10 分

x2 ? 4 即 ? y2 ? 1 . 4

直线 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3? cos? ? 2? sin ? ? 8 ? 0 ,将其记作 l0 , 设直线 l 上任一点为 ? ? ,? ? ,则点 ? ? ,? ? 90?? 在 l0 上, 于是 3? cos ?? ? 90?? ? 2? sin ?? ? 90?? ? 8 ? 0 , 即:3? sin ? ? 2? cos? ? 8 ? 0 , 故直线 l 的方程为 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ; (Ⅱ )设曲线 C 上任一点为 M ? 2cos? ,sin ? ? , 它到直线 l 的距离为 d ? 其中 ?0 满足: cos ? 0 ? …5 分

4cos ? ? 3sin ? ? 8 22 ? 32

?

5cos ?? ? ?0 ? ? 8 13



4 3 ,sin ? 0 ? . 5 5
…10 分 …5 分

∴ ? ? ?0 ? ? 时, dmax ? 13 . 当 24.(Ⅰ f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 1 . )

(Ⅱ )∵

a2 ? 2 a2 ? 1

?

a2 ? 1 ? 1 a2 ? 1

? a2 ? 1 ?

1 a2 ? 1

? 2,

∴ 要使

a2 ? 2 a2 ? 1

? x ? 1 ? x ? 2 成立,需且只需 x ?1 ? x ? 2 ? 2 .

即?

?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ?x ? 2 1 5 ,或 ? ,或 ? ,解得 x ? ,或 x ? 2 2 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2 ? x ?1 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ?2 ?2
? ? 1? ? ?5 ? ? ?
…10 分

故 x 的取值范围是 ? ??, ? ? ? , ?? ? . 2 2 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 7 页(共 7 页)


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