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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质课件7苏教版选修11_图文

椭圆的几何性质

复习回顾

标准方程

x2 + y2 = 1?a > b > 0?
a2 b2

x2 + y2 = 1?a > b > 0?
b2 a2

y

y

P



图形

F2 P



F1 O F2

x

O

x

F1



焦点坐标

F1 ?-c , 0?,F2 ?c , 0?

F1 ?0?,?- c?,F2 ?0?,?c?



定义

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹

同 点

a、b、c 的关系

a2 = b2 + c2

焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

当2a>2c,即距离之和大于焦距时。

当2a=2c,即距离之和等于焦距时

当2a<2c时,即距离之和小于焦距时

以圆方程 x2 ? y2 ? r 2 为例
(1)圆是一个 轴对称 图形,也是一个 中心对称 图形
(2)圆O落在直线 x ? ?r与直线 y ? ?r的 正方形
区域内
(3)圆O与x轴、y轴各有两个交点 (?r,0),(0,?r)

y
X
r

(4)圆中特征三角形的构成:弦心距、弦的一半、半径

Y X

观察椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

的形

状,你能从图上看出它的范围吗?

它具有怎样的对称性?椭圆上又

有哪些点比较特殊呢?

一、范围

Y

b

发现:

横坐标的范围是? a ? x ? a,

-a

纵坐标的范围是? b ? y ? b.

x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

X a
-b 代数方法 呢?你能想 出几种?

因为 y2 b2

?1?

x2 a2

?

0, 所以椭圆上点的横坐标

都适合不等式 x2 a2

? 1,即? a ?

x?

a.

同理有 y2 b2

? 1,即

? b ? y ? b. 这说明椭圆位于直线 x ? ?a 直线 y ? ?b
所围成的矩形框内

二、椭圆的对称性

发现:

椭圆既是轴对称图形,

又是中心对称图形

P1 (?x, y)

代数方法 Y 呢?
P(x, y)

O

X

P2 (?x,? y)

二、椭圆的对称性

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

将x换成-x方程不变,图象关于y

轴对称;

将y换成-y方程不变,图象关于x

轴对称;

将x换成-x,同时将y换成-y,方

程不变,图象关于原点成中心对称。

椭圆的标准方程中,坐标轴是椭圆的对称轴,原点 是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

三、椭圆的顶点

x2 a2

? y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

椭圆中有几个特殊点? 怎样确定焦点的位置?

顶点:椭圆与它的对

Y
B2 (b,0)

称轴的四个交点,叫 做椭圆的顶点。

A1
(-a,0)

b

a

A2 X

O c F (a,0)

长轴、短轴:线段 A1A2、B1B2分别叫做 椭圆的长轴和短轴, 它们的长分别为2a和 2b

B1 (-b,0)

?OFB

为椭圆中的
2

特征三角形

a、b分别叫做椭圆的

长半轴长和短半轴长。

说出下列椭圆的长轴长、 能否选取某个式子来刻 短轴长、顶点坐标,并在 画椭圆的扁圆程度呢?

同一直角坐标系中画出它

Y

们的草图

5

(1) x2 ? y 2 ? 1 25 16

4 3

(2) x 2 ? y 2 ? 1

2 1

25 9

X

(3)

-5
x2 ? y2 ?1

-4 -3 -2

-1-1 0 -2

1

2

3

4

5

25

-3

-4

-5

四、椭圆的离心率
离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e

?

c

叫做椭圆的离心率。

a

? 椭圆的离

[心1]离率心可率以的形取值范围:0<e<1

[象2]离地心理率解对为,椭圆形状的影响: 在椭 1)圆e 的 越长 接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭

轴 长 圆不 就越变扁的

前 焦提 点 2)下 离e,开 两 越中 个 接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 心 的 圆程 就越度.圆

[这3]e样与规a,定 b的会关系:

e 给今后研究
圆锥曲线的 统一性等性

?

c a

?

a2 ? b2

b2

? 1?

a2

a2

质 带 来 方 便.

你能否在特征三角 形内用三角函数的知 识解释这一变化?
A1
F1

y
B2
b
oc
B1

a

A2

F2

标准方程 范围

x2 y2 a2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)

x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) b2 a2

?a ? x ? a ?b? y ?b ?b? x ?b ?a? y ?a

对称性

关于坐标轴成轴对称, 关于原点成中心对称

顶点坐标

(a,0) (?a,0)
(0,b) (0,?b)

焦点坐标

(c,0) (?c,0)

半轴长

长半轴长为a,短半轴 长为b. a>b

离心率

e? c a

?

b2 1?
a2

a、b、c的关 系

a2 ? b2 ? c2

同前
(b,0) (?b,0) (0, a) (0,?a)
(0, c) (0,?c)
同前
同前
同前



说出下列椭圆的长轴长、短轴长、离

识 巩 心率、顶点和焦点坐标,并画出草图


(1) 16 x2 ? 25 y 2 ? 400

(2) 4x 2 ? y 2 ? 16



一个框,



四个点,



注意光滑和圆扁,



莫忘对称要体现。



求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)对称轴都在坐标轴上,长半轴长为10, 离心率是0.6
(2)中心在原点,焦点在 x 轴上,右焦点到
短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1

布置作业 课本34页“感受.理解”
第5.6.7.10题
思考 既然我们从圆的 几何性质类比得到了椭圆 的几何性质,那么圆中直 径所对的圆周角是直角, 对应到椭圆中会有什么结 论呢?


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