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空间距离(第1课时)


空间距离的计算(一)
学习目标

1.了解异面直线距离的计算方法;
2.掌握点到平面的距离的三种计算方法。

高考热点

自主探究

1.与距离有关的概念:
(1)直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的 平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离) (2)两个平面的公垂线:和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个 平面的公垂线 (3)两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个 平行平面的距离

自主探究

1.与距离有关的概念:
(4)异面直线的公垂线:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面 直线的公垂线. (5)两条异面直线的公垂线段:两条异面直线的公垂线夹在异面直线 间的部分,叫做两条异面直线的公垂线段; (6)两条异面直线的距离:两条异面直线的公垂线段的长度

自主探究

在棱长为1正方体AC1中, 求出下列距离: (1) B1 D1到面AC的距离 _____ ; (2)点A到面BD1的距离 _____ ; (3)点A到线B1C的距离 _____ ; (4) AA1到面BC1 ,面BD1的距离 ___ ; (5) AA1到线B1C1 ,B1 D1的距离 ___ ; (6) AA1到线B1C ,线BD1的距离 ___ ; (7) AD1到B1C的距离 _____ ; (8)点A到面A1 BD的距离 __ ;点C1到面B1 D1C的距离 __ ; (9)线A 1 B到B1 D1的距离 _____
可转化为面A 1 BD和面B 1D 1C之间的距离

合作探究

2.空间距离的几种类型:
点与点;点与线;点与面;线与线;线与面;面与面 计算方法:几何法;转化法;等面积法(或等体积法)

精讲点拨

例1.如图,已知正三角形ABC的边长为6cm, 点O到?ABC 各顶点的距离都是4cm , 求点O 2cm 到这个三角形所在平面的距离。

达标检测:若求点C到平面OAB的距离呢?
D

6 21 7

先用等体积法,后用转化法,几何法一般不用!

用等体积法;也可取AB中点E由于两平面垂直,所以过C作OE的垂线, 即就是点C到平面OAB的垂线段。

精讲点拨

例 2 、如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD , PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。 (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 2 达标检测:求点C到平面PAD的距离 2

2
解析: 直接作 A 到面 BCP 的垂线垂足在三 角形外,可知 A 到面的距离是 AB 中点 E
E

到面距离两倍,E 到面距离和 D 到面距离 相等,故转化后即知为 D 到 PC 距离,为 2 ;或用等体积法。
2

先用等体积法,后用转化法,几何法一般不用!

达标检测

正四面体 A-BCD 中,棱长均为 2.求: 2 6 (1)对棱之间的距离;(2)顶点到对面的距离。

2

3

课堂小结

1.空间距离的几种类型:点与点;点与线;点与面; 线与线;线与面;面与面。

2.空间距离的计算方法:几何法;转化法;等体积法

等体积法公式:S1d1 ? S2d2
知三求一(两个面积与一个距离要知道)
3.过一点作平面的垂线段时往往要借助于面面垂直, 作交线的垂线即可垂直于平面。

3.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 . 已知 PB ? PD ? 2, PA ?

6 .(Ⅰ)证明: PC ? BD

(Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P ? BCE 的体积.

O

3 , 可得; 2 法二:VP-EBC=VB-EPC。也可证出Δ PAC 为等腰直角三角形;面 PAC⊥面 PBD.

此题解法和结论很多。 法一:VP-EBC=VA-EBC=VE-ABC,点 E 到底面距离为

但绝不能认为 PA⊥面 EBC,而去求Δ EBC 面积乘以 PE 得出。

法四:所求三棱锥体积是三棱锥 P-ABC 的一半,而 P-ABC 体积又是四棱锥 P-ABCD 的一半,所以 VP ? EBC ?
1 VP ? ABCD 4

2、解(1)证明:连接 BD, AC 交于 O 点

? PO ? BD PB ? PD 又? 菱形 ? BD ? AC ? BD ⊥面 PAC ? BD ⊥ PC (2) 由(1) BD ⊥面 PAC
S△ PEC ?

2 1 1 ?3 S△ PAC ? ? 6 ? 2 3 ? sin 45? = 6 ? 3 ? 2 2 2
1 1 1 1 ? ? S ?PEC ? BO ? ? 3 ? ? 2 3 2 2

VP ? BEC ? VB ? PEC

例4.如图已知ABCD是边长为4的正方形, E , F 分别 是AB, AD的中点, GC 垂直于ABCD所在平面, 2 11 且GC ? 2, 求点B到平面EFG的距离.
11

M H O

作业

1、Rt ?ABC 斜边BC / / 平面?,A ? ? , AB , AC 分别与 平面? 成 30 和45 的角,BC ? 6,求BC 到平面?的距离.

2、正方形ABCD,边长为1,PD ? 面ABCD,且PD=1,E , F 分别 是AB和BC中点。求(1) D到面PEF的距离; (2)求直线AC 到 面PEF的距离; (3)求点D到平面PAC 距离。
3.四棱锥P ? ABCD中,?ABC ? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD

都是边长为2的等边三角形。 (1)求证:PB ? CD; (2)求点A到面PCD的距离

Q

答案
1. 6 2 . (1) 3 17 ; 17 (2) 17 17

(3) 3 (正方体等边面的三结论)。 3

3. (Ⅰ)证明:取 BC 的中点 E,连结 DE,则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O. 连结 OA,OB,OD,OE. 由 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 故 OE ? BD ,从而 PB ? OE .所以 OE//CD.因此, PB ? CD . (Ⅱ)解:取 PD 的中点 F,连结 OF,则 OF//PB. 由(Ⅰ)知, PB ? CD ,故 OF ? CD .

1 又 OD ? BD ? 2 , OP ? PD2 ? OD2 ? 2 , 2 1 因此,O 到平面 PCD 的距离 OF,而 OF ? PB ? 1 , 2
所以 A 至平面 PCD 的距离为 1.

法三:3(2)A到平面PCD的距离可转化为E到平面PCD的距离, 又可转化为B到面距离的一半,而BP⊥面PCD。故 A至平面PCD 的距离为1
可知:如果过点E作面PCD的垂线,垂足为PC中点。


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