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2014届河南省南阳市高三第三次联考文科数学试题扫描版


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2014 春期南阳市高中毕业班模拟考试

数学(文科)答案
一、选择题:CACBCB 二、填空题: 13.4 三、解答题: 17.解(1)设 {a n } 的公差为 d . DDDACD 14. b > a > c 15.

-

4 5

16. 36 p

ìb2 + S 2 = 12, ìq + 6 + d = 12, ? ? S2 6+d 所以 í 因为 í . ……………………3 分 q= q= , ? ? q b2 ? ? 解得 q = 3 或 q = -4 (舍) ,d = 3 故 an = 3 + 3 ( n - 1) = 3n , bn = 3 n -1 .
(2)由(1)可知, S n = 所以 cn = 故 Tn =

n ( 3 + 3n ) , 2 ……………………7 分

……………………6 分

1 2 2?1 1 ? = = ? ÷. Sn n ( 3 + 3n ) 3 è n n + 1 ? ……………………9 分

2 é? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?ù 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 - ÷ + ? - ÷ + … + ? ÷ ú = ?1 ÷= ê 3 ?è 2 ? è 2 3 ? è n n + 1 ? ? 3 è n + 1 ? 3 ( n + 1) …………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)由频率分布直方图可知, [25, 30) 与 [30,35) 两组的人数相同, 所以 a = 25 人.………………………………………………1 分

0.08 = 100 人.…………………………………2 分 0.02 25 总人数 N = = 250 人.…………………………………3 分 0.02 ? 5
且 b = 25 ? (2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人, 每组抽取的人数分别为: 第 1 组的人数为 6 ?

25 = 1 ,………………………………4 分 150 25 第 2 组的人数为 6 ? = 1 ,………………………………5 分 150 100 第 3 组的人数为 6 ? = 4 ,…………………………………6 分 150

所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人.…………………………7 分 (3) 由 (2) 可设第 1 组的 1 人为 A , 第 2 组的 1 人为 B , 第 3 组的 4 人分别为 C1 , C2 , C3 , C4 , 则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为: ( A, B) ,( A, C1 ) ,( A, C2 ) ,( A, C3 ) ,( A, C4 ) ,( B, C1 ) ,( B, C2 ) ,( B, C3 ) ,( B, C4 ) ,

(C1 , C2 ) , (C1 , C3 ) , (C1 , C4 ) , (C2 , C3 ) , (C2 , C4 ) , (C3 , C4 ) , 共 有 15
种.……………………………9 分

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其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为: ( A, C1 ) , ( A, C2 ) , ( A, C3 ) , ( A, C4 ) ,

( B, C1 ) , ( B, C2 ) , ( B, C3 ) , ( B, C4 ) ,共有 8 种.………………………11 分 8 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 .………………………………………12 分 15 19.解: (1)连接 ED、EF , P ∵ ABCD 是正方形, E 是 AC 的中点,
∴ ED ^ AC ……………………………………1 分
F

又∵ E、 F 分别是 AC、 PC 的中点 ∴ EF ∥ PA ……………………………………2 分 又∵ PA ^ 平 面 ABCD , ∴ EF ^ 平 面 ABCD ,……3 分 ∵ AC ? 平 面 ABCD , 又∵ ED I EF=E ∴ EF ^ AC …………………4 分
B

A E C

D

∴ AC ^ 平面 DEF …………5 分

又∵ DF ? 平 面 DEF 故 AC ^ DF …………………………………………………6 分 (2)∵ PA ^ 平面ABCD ,∴是 PA 三棱锥 P - CED 的高, PA = 2 ∵ ABCD 是正方形, E 是 AC 的中点,∴ VCED 是等腰直角三角形………8 分

AB = 1 ,故 CE = ED =
故 VC - PED = VP -CED

2 1 1 2 2 1 , SVCED = CE × ED = × × = ………………10 分 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 = × SVCED × PA = × × 2 = ………………………12 分 3 3 4 6

20.解: (Ⅰ)直线 l : y = x + m 与圆 C1 : x 2 + y 2 =

m 4 相切,所以 = 5 2

4 2 10 .m = 5 5

……………4 分 (Ⅱ) 将 l : y = x +

2 10 代入得 5


C2 :

x2 y2 4 10 2 8 + 2 = 1 得: (b 2 + a 2 ) x 2 + a x + a 2 - a 2b 2 = 0 2 5 5 a b

设 A1 ( x1 , y1 ), B1 ( x 2 , y 2 ), 则

x1 + x 2 =

- 4 10a 2 8a 2 - 5a 2 b 2 2 10 2 10 40b 2 - 25a 2 b 2 , x x = ; y y = ( x + )( x + ) = 1 2 1 2 1 2 5 5 5(b 2 + a 2 ) 5(b 2 + a 2 ) 25( a 2 + b 2 )

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因 为

OA1 ^ OB1 , ? 4(a 2 + b 2 ) - 5a 2 b 2 = 0
由已知 c =

3b, a 2 = 4b 2 代人(2) b 2 (1 - b 2 ) = 0 ? b 2 = 1, a 2 = 4

所以椭圆 C2 的方程为

x2 + y2 = 1 4

……………8 分

(Ⅲ)显然直线 AS 的斜率存在,设为 k 且 k > 0 则 AS : y = k ( x + 2)

ì y = k ( x + 2) 34 64k ? 依题意 M ( , 得: (1 + 4k 2 ) x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 4 = 0 ) ,由 í x 2 2 15 15 ? + y =1 ?4
设 S ( x 0 , y 0 ) 则 x0 × ( -2) =

16k 2 - 4 2 - 8k 2 ? x = , y 0 = k ( x0 + 2) 即 0 1 + 4k 2 1 + 4k 2
BS: y = -

S(

y0 1 2 - 8k 2 4k =- , , ) ,又 B(2,0)所以 k BS = 2 2 x0 - 2 4k 1 + 4k 1 + 4k

1 ( x - 2) 4k

1 ì y = - ( x - 2) ? 34 1 64k 1 64k 1 16 ? 4k 由í ),Q k > 0 ? MN = ? N( , + ?2 × = 15 15k 15 15k 15 15k 15 ? x = 34 ? 15 ?
所以 k = -

1 时: MN 8

min

=

16 15

……………12 分

21.解: (1)当 a = 0 时, f ( x ) = 2 ln x + 由 f ?( x) =

2x -1 1 > 0 ,解得 x > . 2 x 2 ? è

1 2 1 2x -1 , f ?( x) = - 2 = ( x > 0). …… x x x x2
………………2 分

1分

∴ f ( x ) 在 ? 0,

1? ?1 ? ÷ 上是减函数,在 ? , +? ÷ 上是增函数. 2? è2 ? ?1? ÷ = 2 - 2 ln 2 ,无极大值. è2?

……………… 3 分

∴ f ( x ) 的极小值为 f ?

……………… 4 分

2ax 2 + ( 2 - a ) x - 1 ( ax + 1)( 2 x - 1) 2-a 1 (2) f ? ( x ) = - 2 + 2a = = ( x > 0) . x x x2 x2
① 当 -2 < a < 0 时 , f ( x ) 在 ? 0,

5分

? è

1? ? 1 ? ?1 1? ÷ 和 ? - , +? ÷ 上 是 减 函 数 , 在 ? , - ÷ 上 是 增 函 2? è a ? è2 a?

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数;………6 分 ②当 a = -2 时, f ( x ) 在 ( 0, +? ) 上是减函数; ③ 当 a < -2 时 , f ( x ) 在 ? 8分 (3)当 -3 < a < -2 时,由(2)可知 f ( x ) 在 [1,3] 上是减函数, ∴ f ( x1 ) - f ( x2 ) ? f (1) - f ( 3) = ………… 8 分

1? ?1 ? ? ? 1 1? , +? ÷ 和 ? 0, - ÷ 上 是 减函数,在 ? - , ÷ 上 是 增函 数.…… a? è2 ? è è a 2?

2 - 4a + ( a - 2 ) ln 3 . 3

…………… 9 分

由 ( m + ln 3) a - 2 ln 3 > f ( x1 ) - f ( x2 ) 对任意的 a ? ( -3, -2 ) , x1 , x2 ? [1,3] 恒成立, ∴ ( m + ln 3) a - 2 ln 3 > f ( x1 ) - f ( x2 ) 即 ( m + ln 3 ) a - 2 ln 3 > 即 m < -4 +
max

………

10 分

2 - 4a + ( a - 2 ) ln 3 对任意 -3 < a < -2 恒成立, 3
……… 11 分

2 对任意 -3 < a < -2 恒成立, 3a 13 2 38 13 由于当 -3 < a < -2 时, < -4 + < - ,∴ m ? - . 3 3a 9 3
22.【证明】(1)连结 BC,∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. ………………….5 分 (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC. ∴

…………… 12 分

AC AF ,∴AC2=AE·AF. = AE AC

……………….10 分

23.解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 = 4 x ,故曲线 C 是顶 点为 O(0,0) ,焦点为 F(1,0)的抛物线;………………….5 分

ì x = t cos a ( t 为参数,0≤ a < p ).故 l 经过点(0,1) ;若直 ? y = 1 + t sin a 3p 线 l 经过点(1,0),则 a = 4 ì 3p 2 =t ? x = t cos ? 4 2 \ 直线 l 的参数方程为 í (t 为参数) ? y = 1 + t sin 3p = 1 + 2 t ? ? 4 2 2 2 代入 y = 4 x ,得 t + 6 2t + 2 = 0
(2)直线 l 的参数方程为 í 设 A、B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 + t2 = -6 2 , t1t 2 = 2

\ AB = t1 - t 2 = (t1 + t 2 ) 2 - 4t1t 2 =8 ……………….10 分

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ìa-3≤-1, 24.【答案】 (1)f (x)=|x-a|≤3,即 a-3≤x≤a+3.依题意,í ?a+3≥3.

由此得 a 的取值范围是[0,2] ………………….5 分 (2)f (x-a)+f (x+a)=|x-2a|+|x|≥|(x-2a)-x|=2|a|. 当且仅当(x-2a)x≤0 时取等号. 1 . 4

解不等式 2|a|≥1-2a,得 a≥ 故 a 的最小值为

1 .……………….10 分 4

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