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01三角函数与解三角形-2019年高考理科数学解答题训练

精做 01 三角函数与解三角形 1.已知函数 f ( x) ? x x x 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2 (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值. 【答案】 (1) 2 ? ; (2) ?1 ? 2 . 2 (2)因为 ?? ? x ? 0 , 所以 ? ? ? 3? ? ? 3? ? x ? ? ,当 x ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x) 取得最小值, 4 2 4 4 4 4 所以 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值为 f (? 3? 2 ) ? ?1 ? . 4 2 2.已知 △ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 3bsinA ? acosB ? 2a ? 0 . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 7 , △ABC 的面积为 3 ,求 a , c 的值. 2 【答案】 (1) B ? ?a ? 1, ?a ? 2, 2π ; (2) ? 或? . 3 ?c ? 2, ?c ? 1. 1 ? ?S△ABC ? ac sin B, (2)∵ ? 2 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?1 2π 3 ac sin ? , ? ?ac ? 2, ?2 3 2 ∴? 即? 2 2 ?a 2 ? c 2 ? 2ac cos 2π ? 7, ?a ? c ? 5, ? 3 ? ∴? ?a ? 1, ?a ? 2, 或? ?c ? 2, ?c ? 1. a c cos C ? ? 1. b 2b 3.设 △ΑΒC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 △ΑΒC 的周长 l 的取值范围. 【答案】 (1) π 3] . ; (2) (2, 3 1 1 c ? b ,即 sin A cos C ? sin C ? sin B , 2 2 【解析】 (1)由已知得 a cos C ? 又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C , 1 ∴ sin C ? cos A sin C . 2 1 ∵ sin C ? 0, ∴ cos A ? . 2 又∵A ? (0, π) , ∴A? π . 3 (2)由正弦定理得 b ? a sin B 2 2 ? sin B, c? sin C , sin A 3 3 ∴l ? a ? b ? c ? 1 ? 2 2 (sin B ? sin C ) ? 1 ? [sin B ? sin( A ? B)] 3 3 ? 3 ? 1 π? ? ? 1? 2? sin B ? cos B ? 1 ? 2sin B ? ? ? ?. ? 2 ? 2 6 ? ? ? ? ∵A ? π , 3 π ? π 5π ? ? 2π ? ∴ B ? ? 0, ?,B ? ? ? , ? , 3 ? 6 ?6 6 ? ? π? ?1 ? ? ∴sin ? B ? ? ? ? , 1? . 6? ?2 ? ? 故 △ΑΒC 的周长 l 的取值范围是 (2, 3] . 4.设函数 f ( x) ? 4 cos(? x ? ) sin ? x ? cos(2? x ? ?) ,其中 ? ? 0 . (1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)若 f ( x ) 在区间 [? ? 6 ?? ? , ] 上为增函数,求 ? 的最大值. 2 2 1 【答案】 (1) [1 ? 3,1 ? 3] ; (2) . 6 ? ? , 2k ? ? ](k ? Z) 上为增函数, 2 2 k? ? k? ? ? , ? ](k ? Z) 上为增函数. 所以 f ( x) ? 3 sin 2? x ? 1(? ? 0) 在 [ ? 4? ? 4? 3? ? k? ? k? ? , ]?[ ? , ? ] 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 , 依题意知 [ ? 2 2 ? 4? ? 4? (2)因为 y ? sin x 在 [2k ? ? ? ? 3? ? ?? ? 1 ? 2 4? 于是 ? ,解得 ? ? , 6 ?? ? ? ? ? 2 4? 故 ? 的最大值为 1 . 6 5.在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? a cos C . (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 【答案】 (1) π 4 π π 5π . ; (2)最大值为 2,此时 A ? , B ? 4 3 12 【解析】 (1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? π, 所以 sin A ? 0. 从而 sin C ? cos C. 又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则 C ? π . 4 3π ? A. 4 π π 于是 3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos( π ? A) ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 4 3π ?0 ? A ? , 4 π π 11π ? ? A? ? , 6 6 12 π π π π 从而当 A ? ? , 即 A ? 时, 2 sin( A ? ) 取最大值 2. 6 2 3 6 π π 5π . 综上所述, 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值为 2,此时 A ? , B ? 4 3 12 (2)由(1)知 B ? 6.如图,在 △ABC 中, sinC ? π 15 ,且 ? C ? π, AB ?

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