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江苏省扬州中学、溧水高级中学、大港中学等六校2015-2016学年高二12月月考数学试题


省扬高中高二数学试卷

2015 年 12 月 分值:160 分

时间:120 分钟

一、填空题(本大题共 14 小题,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.椭圆 3 x ? 4 y ? 12 的焦距为
2 2





2.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9
2





3.已知抛物线 C : y ? 2016 x ,则它的准线方程是 4.已知函数 f ( x) ? x 2 ?
2 2



. ▲ . ▲ .

1 / , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f (1) 的值是 x
2 2

5.已知圆 O: x ? y ? 1 ,圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 16 ,则两圆的位置关系为 (从相离、相内切、相外切、相交中选择一个正确答案) 6.直线 x ? 2 y ? 0 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 截得的弦长为等于
2 2





7.设 m、n 是两条不同的直线 ? ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ▲ .填序 号). ① m ? ?? n ? ?? m ? n ? ? ? ? ; ③? ? ? ? m ? ?? n ∥ ? ? m ? n ; ②? ∥ ? ? m ? ? ? n ∥ ? ? m ? n ; ④ ? ? ? ? ? ? ? ? m? n ? m ? n ? ? ;

⑤若 m 不垂直于 ? ,则 m 不可能垂直于 ? 内无数条直线. 8.已知函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调减区间为
3 2





9.如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的 体积为 ▲ .cm .
3

10.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f (5) 的值为
/





11.已知圆 ( x ? 2) ? y ? 1 经过椭圆
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点和一个焦点,则此椭 a 2 b2

圆的离心率 e ?


x



12.函数 f ? x ? ? e ? mx 的图象为曲线 C ,若曲线 C 存在与直线 y ? 数 m 的取值范围是 ▲ .

1 x 垂直的切线,则实 2

13.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是





x2 y 2 14.过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B , a b
且点 B 在 x 轴上的射影为右焦点 F ,若

1 1 ? k ? ,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 ▲ . 3 2

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 14 分) 已知三点 P ?

?5 3? 、 B (2,0) 。 , ? ? 、 A (-2,0) ?2 2?

(1)求以 A 、 B 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)求以 A 、 B 为顶点且以(1)中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程.

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是线段 PC 中点,G 为线段 EC 中点. (1)求证:FG//平面 PBD; (2)求证:BD⊥FG.

17. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(?3, 4) ,B (9,0) , 若 C , D 分别为线段 OA , OB 上的动点, 且满足 AC ? BD . (1) 若 AC ? 4 ,求直线 CD 的方程; (2)证明:△ OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O ) . y A C O
(第 17 题)

D

B x

18. (本小题满分 15 分) 如图,在边长为 2 (单位:m)的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形,再把它的四 个角沿着虚线折起,做成一个正四棱锥的模型.设切去的等腰三角形的高为 x m. (1)求正四棱锥的体积 V(x); (2)当 x 为何值时,正四棱锥的体积 V(x)取得最大值?
x x

h

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C :

x2 y 2 6 ,直线 l 与 x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点. 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点 时,弦 AB 的长为

2 6 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 的坐标为 (

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 A 与原点 O 的直线 2

交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积 (3)是否存在点 E ,使得 若不存在,请说明理由.
y A

1 1 为定值?若存在,请指出点 E 的坐标,并求出该定值; ? 2 EA EB 2

F1 P

O

E

F2

x

B

第 19 题

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ( a ? R , e 是自然对数的底数) .
x

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程并研究函数的极值。 (2)讨论函数的单调性;

(3)若对于任意的实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,请比较 e a 与 a e 的大小.

省扬高中高二数学试卷参考答案及评分标准 时间:120 分钟 分值:160 分

一、填空题(本大题共 14 小题,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.椭圆 3 x ? 4 y ? 12 的焦距为
2 2

.2 .y??

2.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9
2

3 x 2
y?? 1 8064
.1

3.已知抛物线 C : y ? 2016 x ,则它的准线方程是 4.已知函数 f ( x) ? x 2 ?
2 2

1 / , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f (1) 的值是 x
2 2

5.已知圆 O: x ? y ? 1 ,圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 16 ,则两圆的位置关系为 (从相离、相内切、相外切、相交中选择一个正确答案)答案:相外切 6.直线 x ? 2 y ? 0 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 截得的弦长为等于
2 2

.4 5

7. 设 m、 n 是两条不同的直线 ? ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是___________(填 序号). ① m ? ?? n ? ?? m ? n ? ? ? ? ②? ∥ ? ? m ? ?? n ∥ ? ? m ? n ③? ? ? ? m ? ?? n ∥ ? ? m ? n ④ ? ? ? ? ? ? ? ? m? n ? m ? n ? ? ⑤若 m 不垂直于 ? ,则 m 不可能垂直于 ? 内无数条直线. 答案:②

8 .已知函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 , 求函数 f ( x) 的单调减区间为
3 2

. ? ?1, ? ( 注

? ?

1? 3?

意:写成闭区间也可) 9.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的

体积为 ____ cm . 答案:6 10.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f (5) 的值为
/

3

________.答案 2

11.已知圆 ( x ? 2) ? y ? 1 经过椭圆
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点和一个焦点,则此椭 a 2 b2

圆的离心率 e ?
x



1 3

12.函数 f ? x ? ? e ? mx 的图象为曲线 C ,若曲线 C 存在与直线 y ? 数 m 的取值范围是 . ? 2, ?? ?

1 x 垂直的切线,则实 2

13.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是 15. (本小题满分 14 分) 已知三点 P ?

?5 3? 、 B (2,0) 。 , ? ? 、 A (-2,0) ?2 2?

(1)求以 A 、 B 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)求以 A 、 B 为顶点且以(1)中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程.

解: (1) 2a ? PA ? PB ? 2 10 所以 a ? 10 ,又 c ? 2 ,所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 6

……………2 分 ……………4 分

方程为:

x2 y 2 ? ?1 10 6

……………7 分

(2) a ? 2 , c ? 10 所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 6

……………9 分 ……………11 分

双曲线方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 6

……………14 分

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是线段 PC 中点,G 为线段 EC 中点. (1)求证:FG//平面 PBD; (2)求证:BD⊥FG.

证明: (1)连接 PE,G.、F 为 EC 和 PC 的中点,

? FG // PE , FG ? 平面PBD,PE ? 平面PBD, ? FG//平面 PBD…………6 分
(II)因为菱形 ABCD,所以 BD ? AC ,又 PA⊥面 ABCD, BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? PA ,因为 PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC ,且 PA ? AC ? A ,

? BD ? 平面 PAC ,

……………………………10 分 ………………………………………………14 分

? FG ? 平面 PAC ,BD⊥FG

注意:第一问中:证明了 FG ∥PE 得 2 分,用判定定理的过程中少一个条件扣 2 分,少两个 条件 4 分扣完! 17. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(?3, 4) ,B (9,0) , 若 C , D 分别为线段 OA , OB 上的动点, 且满足 AC ? BD .

(1) 若 AC ? 4 ,求直线 CD 的方程; (2)证明:△ OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O ) . y A C O
(第 17 题)

D

B

x

(1) 因为 A(?3, 4) ,所以 OA ?

(?3) 2 ? 42 ? 5 ,…………………………………1 分

又因为 AC ? 4 ,所以 OC ? 1 ,所以 C (? , ) ,…………………………………3 分

3 4 5 5

4 5 ??1 由 BD ? 4 ,得 D (5, 0) ,所以直线 CD 的斜率 , …………………5 分 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?
所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ,即 x ? 7 y ? 5 ? 0 .…………………………6 分 (2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤ 1) ,则 OC ? 5m .…………………………………………7 分 则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m ,因为 AC ? BD ,所以 OD ? OB ? BD ? 5m +4 , 所以 D 点的坐标为 (5m +4, 0) , ……………………………………………………8 分 又设△ OCD 的外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx +Ey ? F ? 0 ,

1 7

? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ……………………………………………10 分 ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以△ OCD 的外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 ,………12 分 整理得 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y ) ? 0 ,

令?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x +2 y =0

,所以 ?

? x ? 0, ? x ? 2, (舍)或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1.

所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, ?1) .…………………………………………15 分

18. (本小题满分 15 分) 如图,在边长为 2 (单位:m)的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形,再把它的四 个角沿着虚线折起,做成一个正四棱锥的模型.设切去的等腰三角形的高为 x m. (1)求正四棱锥的体积 V(x); (2)当 x 为何值时,正四棱锥的体积 V(x)取得最大值?
x x

h

(第 18 题)

解 (1)设正四棱锥的底面中心为 O,一侧棱为 AN.则 由于切去的是等腰三角形,所以 AN= 1+x ,NO=1-x,……………2 分 在直角三角形 AON 中,AO= AN -NO = 1+x -(1-x) = 2x, ………………………………4 分 1 1 2 2 2 2 所以 V(x)= · · · 2x= (1-x) x, (0<x<1). …………………7 分 3 2 3 (不写 0<x<1 扣 1 分) 2 2 2 2 5x-1 (2)V ′(x)= = (x-1) , 3 3 2 x 1 令 V ′(x)=0,得 x=1(舍去),x= . 5 1 当 x∈(0, )时,V ′(x)>0,所以 V(x)为增函数; 5 1 当 x∈( ,1)时,V ′(x)<0,所以 V(x)为减函数. 5 1 所以函数 V(x)在 x= 时取得极大值,此时为 V(x)最大值.……………14 分 5 ……………10 分
2 2 2 2 2

A

N O

1 答:当 x 为 m 时,正四棱锥的体积 V(x)取得最大值. 5

……………15 分

说明:按评分标准给分,不写函数的定义域扣 1 分,没有答扣 1 分. 19. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C :

x2 y 2 6 ,直线 l 与 x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点. 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点 时,弦 AB 的长为

2 6 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 的坐标为 (

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 A 与原点 O 的直线 2

交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积 (3)是否存在点 E ,使得 若不存在,请说明理由.
y A

1 1 为定值?若存在,请指出点 E 的坐标,并求出该定值; ? 2 EA EB 2

F1 P

O

E

F2

x

B

第 19 题

解: (1)由

c 6 ,设 a ? 3k (k ? 0) ,则 c ? 6k , b 2 ? 3k 2 , ? a 3

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,因直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点,即 9k 2 3k 2
2 6 6 ,即 k ? , 3 3

x A ? xB ? 6k ,代入椭圆方程,解得 y ? ? k ,于是 2k ?

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………4 分 6 2 x2 y 2 ? ? 1 ,解得 y ? ?1 ,因点 A 在第一象限,从而 A( 3,1) , 6 2

(2)将 x ? 3 代入

由点 E 的坐标为 (

2 2 3 3 ,直线 PA 的方程为 y ? (x ? ), , 0) ,所以 k AB ? 2 2 3 3
3 7 ,? ), 5 5
………7 分

联立直线 PA 与椭圆 C 的方程,解得 B (?

又 PA 过原点 O ,于是 P (? 3, ?1) , PA ? 4 ,所以直线 PA 的方程为 x ? 3 y ? 0 ,

?
所以点 B 到直线 PA 的距离 h ?

3 7 3 ? 5 5 2

?

3 3 , 5
………10 分

S ?PAB ?

1 3 3 6 3 ?4? ? 2 5 5
1 1 为定值,设 E ( x0 , 0) , ? 2 EA EB 2

(3)假设存在点 E ,使得

12 ? 2 x0 2 1 1 1 1 当直线 AB 与 x 轴重合时,有 , ? ? ? ? EA2 EB 2 ( x0 ? 6) 2 ( 6 ? x0 ) 2 (6 ? x0 2 ) 2
当直线 AB 与 x 轴垂直时,

1 1 ? ? 2 EA EB 2

2 2(1 ? x0 ) 6
2

?

6 , 6 ? x0 2



12 ? 2 x0 2 6 6 ,解得 x0 ? ? 3 , ? ? 2, 2 2 2 (6 ? x0 ) 6 ? x0 6 ? x0 2
1 1 为定值 2. ……………12 分 ? 2 EA EB 2

所以若存在点 E ,此时 E (? 3, 0) ,

根据对称性,只需考虑直线 AB 过点 E ( 3, 0) ,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 又设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,与椭圆 C 联立方程组, 化简得 (m 2 ? 3) y 2 ? 2 3my ? 3 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ?

?2 3m ?3 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3



1 1 1 1 ? ? 2 2 ? 2 , 2 2 2 2 EA m y1 ? y1 (m ? 1) y12 ( x1 ? 3) ? y1

所以

( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB 2 (m 2 ? 1) y12 (m 2 ? 1) y2 2 (m 2 ? 1) y12 y2 2

1 1 ? ?2. 2 EA EB 2 1 1 综上所述,存在点 E (? 3, 0) ,使得 为定值 2……………16 分 ? 2 EA EB 2
将上述关系代入,化简可得 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ( a ? R , e 是自然对数的底数) .
x

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程并研究函数的极值。 (2)讨论函数的单调性; (3)若对于任意的实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,请比较 e a 与 a e 的大小. 解: (1) a ? 1 时, f ( x) ? e ? x , f (0) ? 1
x

f / ( x) ? e x ? 1 , f / (0) ? 0
所以: f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为: y ? 1

由 f ( x) ? e ? 1 ? 0 得: x ? 0
/ x / x

…………3 分

当 x ? 0 时, f ( x) ? e ? 1 ? 0 , f ( x) 在 (??,0) 上为减函数; 当 x ? 0 时, f ( x) ? e ? 1 ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上为增函数;
/ x

所以,当 x ? 0 时,函数 f ( x) 有极小值 1,无极大值 注意:不交待单调性,扣 2 分,不说明无极大值扣 1 分! (2) f '( x) ? e ? a ,
x

…………6 分

当 a ? 0 时, f '( x) ? e ? a ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) ,…………8 分
x

当 a ? 0 时,令 f '( x) ? e ? a ? 0 得 x ? ln a ,
x

所以 f ( x) 的单调减区间为 (??, ln a ) ,单调增区间为 (ln a, ??) .…………10 分 (2)由(1)知,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ??) 是单调递增,

又因为 f ( ) ? e a ? 1 ? 0 ,所以不成立. 当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? 0 ,此时 e a ? a e .
x

1 a

1

当 a ? 0 时, f ( x) min ? f (ln a ) ? e ln a ? a ln a ? a ? a ln a ? 0 , 所以 1 ? ln a ? 0 ,可得 0 ? a ? e , 考察函数 h( x) ? x ? e ln x, x ? (0, e] , 因为 h '( x) ? 1 ?

e x?e ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, e] 上单调递减, x x

所以 h( x) ? h(e) ? e ? e ln e ? 0 , 所以 x ? e ln x ,所以 e x ? ee ln x ? x e , 所以 0 ? a ? e 时, e x ? x e , a ? e 时, e x ? x e . 综上可知:当 a ? 0 时, e a ? a e , 当 0 ? a ? e 时, e a ? a e , 当 a ? e 时, e a ? a e .……………………………16 分


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