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定值,定点,定直线专题1

解析几何中“三定”问题
预备知识 不论 a 为何值时,直线(a-1)x-y+2a+1=0 恒过定点 不论 a 为何值时,点 P (4, a ) 在定直线

P(?2,3)

x?4



不论 a 为何值时,点 P(1 ? a, 2 ? a) 在定直线

x ? y ?3 ? 0



x2 y 2 ? ? 1 , F1 , F2 分别为椭圆的左右焦点, A1, A2 分别为椭圆的左 【例题】已知椭圆 C : 4 3
右顶点,P 为椭圆上一异于 A 连接 PF2 并延长与椭圆交于点 Q , 直线 l : x ? 4 . 1, A 2 的动点, (1)如图, PQ 是椭圆的过点 F2 的弦,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 M ,则

| PF1 | ? | PF2 |?
| PF2 | ? | PM |
1 2 ?

4

, ?PF 1F 2 的周长为

6

, ?PQF1 的周长为

8



kPA1 kPA2 ?
1 1 ? ? | PF2 | | QF2 |

3 4 4 3

证明:由题意知 A 1 (?2,0), A2 (2,0) 设 P( x0 , y0 ) ,则 kPA1 kPA2 ?

y0 y y2 ? 0 ? 2 0 …………① x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4
2 x0 y2 x2 3 2 2 ? 3(1 ? 0 ) ? (4 ? x0 ) ? 0 ? 1 ,从而 y0 4 4 4 3

因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,所以

代入①式得 k PA1 k PA2

3 2 (4 ? x0 ) 3 ?4 2 ?? x0 ? 4 4

x2 y 2 P 为椭圆上一异于 A1, A2 的动点, 一般地: A 1, A 2 分别为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的左右顶点, a b
则 k PA k PA ? ? 1 2

b2 ; a2

进一步推广得: A 1, A 2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的一过原 a 2 b2

点的弦的两端点, P 为椭圆上一动点,且 kPA1 , kPA2 都存在, 则 k PA k PA ? ? 1 2

b2 ; a2

证明: (方法一)设 P( x0 , y0 ) , A y1 ) 1 ( x1 , y1 ) ,则 A2 (?x1 , ?
2 2 x0 y0 x12 y12 由点 P, A1 在椭圆上得 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 a b a b 2 2 2 x0 ? x12 y0 ? y12 y0 ? y12 b2 ? ? 0 ,从而 ? ? 2 a2 b2 x0 ? x12 a2

两式作差得

kPA1 kPA2

2 y0 ? y1 y0 ? y1 y0 ? y12 b2 ? ? ? 2 ?? 2 x0 ? x1 x0 ? x1 x0 ? x12 a

(方法二)设 P(a cos ? , b sin ? ) , A 1 (a cos ? , b sin ? ) ,则 A 2 (?a cos ? , ?b sin ? ) 所以 kPA1 kPA2 ?

b sin ? ? b sin ? b sin ? ? b sin ? b2 (sin 2 ? ? sin 2 ? ) b2 ? ? 2 ? ? a cos ? ? a sin ? a cos ? ? a sin ? a (cos2 ? ? cos 2 ? ) a2
b2 b2 x0 ,从而 k ? ? ? (其中 M ( x0 , y0 ) ) PA1 a2 a 2 y0

结论: k PA1 kOM ? ?

证明: (方法一)设 PQ 的直线方程为 x ? my ? 1 ,与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 联立得 4 3

(3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则由韦达定理有 y1 ? y2 ? ?

6m 9 , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 1 1 1 1 | PF2 |? (4 ? x1 ) ? (3 ? my1 ),| QF2 |? (4 ? x2 ) ? (3 ? my2 ) 2 2 2 2



2[6 ? m( y1 ? y2 )] 1 1 2 2 ? ? ? ? | PF2 | | QF2 | 3 ? my1 3 ? my2 (3 ? my1 )(3 ? my2 ) 2[6 ? m( y1 ? y2 )] 4 ? 2 9 ? 3m( y1 ? y2 ) ? m y1 y2 3

?

(方法二)设直线 PQ 的倾斜角为 ?

?1 b2 | PF | ? | PF | cos ? ? 2 2 ? ?e c 则? 2 ? 1 | QF | ? | QF | cos ? ? b 2 2 ? c ?e

b2 b2 b2 a c a 从而 | PF2 |? , | QF2 |? ? ? 1 1 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? ? cos ? ? cos ? e e
所以

b2 c

1 1 2a 4 ? ? 2 ? | PF2 | | QF2 | b 3

(方法二)极坐标法(略)
(2)过点 P, Q 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 M , N ,求证:直线 PN 过 x 轴上的定点,

并求出定点坐标。 证明:取 PQ 垂直于 x 轴,得 PN 过 x 轴上的点 H ( , 0) 下面给出证明
设 PQ 的直线方程为 x ? my ? 1 ,

5 2

与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 联立得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 4 3
6m 9 , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则由韦达定理有 y1 ? y2 ? ? 要证直线 PN 过点 H ,只需证明 kPH

? kNH ? 0 ,又 N (4, y2 )

3 5 y1 ? y2 ( x1 ? ) 2 从而 k PH ? k NH ? ? ?2 5 5 3 5 x1 ? 4? ( x1 ? ) 2 2 2 2 3 3 3 y1 ? y2 (my1 ? ) ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 2 2 ? ? ?0 3 5 3 5 ( x1 ? ) ( x1 ? ) 2 2 2 2 y1 y2
变式:过点 P, Q 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 M , N ,求证:直线 PN 过一定点,并求

出定点坐标。

x2 y 2 ? ? 1 联立得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 证明: 设 PQ 的直线方程为 x ? my ? 1 , 与椭圆 4 3
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则由韦达定理有 y1 ? y2 ? ?

6m 9 , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

又 N (4, y2 ) ,所以直线 PN 的方程为 y ?

y2 ?

y2 ? y1 ( x ? 4) 4 ? x1

y?

y2 ? y1 4( y2 ? y1 ) y2 ? y1 y (4 ? x1 ) ? 4( y2 ? y1 ) x ? y2 ? ? x? 2 4 ? x1 4 ? x1 4 ? x1 4 ? x1

?

y2 ? y1 y (3 ? my1 ) ? 4( y2 ? y1 ) x? 2 4 ? x1 4 ? x1 y2 ? y1 ? y ? 4 y1 ? my1 y2 x? 2 4 ? x1 4 ? x1

?

又 2my1 y2

? 3( y1 ? y2 ) ,
3 5 ? y2 ? 4 y1 ? ( y1 ? y2 ) ( y1 ? y2 ) y ? y y ?y 5 2 ? 2 1 x? 2 ? 2 1 (x ? ) 4 ? x1 4 ? x1 4 ? x1 4 ? x1 2
5 2

y ? y1 x? 所以 y ? 2 4 ? x1

因此直线 PN 过定点 H ( , 0) (3)求证:直线 PA1 , QA2 的交点在定直线上。 证明:设 PQ 的直线方程为 x ? my ? 1 ,

与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 联立得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 4 3

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则由韦达定理有

y1 ? y2 ? ?

6m 9 , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

直线 PA1 的方程为

y?

y1 y ( x ? 2) ,直线 QA2 的方程为 y ? 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

2(
联立解得 x ?

y1 y ? 2 ) x1 ? 2 x2 ? 2 2[ y1 ( x2 ? 2) ? y2 ( x1 ? 2)] ? y2 y1 y2 ( x1 ? 2) ? y1 ( x2 ? 2) ? x2 ? 2 x1 ? 2

?

2[ y1 (my2 ? 1) ? y2 (my1 ? 3)] 2(2my1 y2 ? 3 y2 ? y1 ) ? y2 (my1 ? 3) ? y1 (my2 ? 1) 3 y2 ? y1

又 2my1 y2

? 3( y1 ? y2 ) ,所以 x ?

2[3( y1 ? y2 ) ? 3 y2 ? y1 ] 2(6 y2 ? 2 y1 ) ? ?4 3 y2 ? y1 3 y2 ? y1

推广:

(1)本题用到了:点差法,联立方程,韦达定理,整体消元,设直线横截式方程,椭圆的 参数方程,特殊到一般,先猜后证,恒等式法等知识和方法。 (2)设直线时,注意斜率不存在或斜率为零的特殊直线。 定值问题 1.长度或距离有关的 (1)距离为定值(2012 上海理数 22) (2)线段长度和为定值(2011 重庆理数 20,2012 江苏 19) (3)线段倒数和为定值(2010 山东理数 21) (4)线段长度比为定值(2011 辽宁理数 20,2011 重庆文数 21 ,2012 新课标文数 20) 2.面积或周长有关的 (1)面积为定值(2010 重庆理数 20) (2)面积比为定值(2010 北京理数 19,2012 江西文数 20、理数 21,2009 湖北卷理数) 3.角度为定值: (2009 北京理,直角转化为数量积等于 0) 4.斜率有关的定值: (1)斜率为定值(2009 辽宁文数、理数) (2)斜率积为定值(2010 山东理数 21) (3)斜率算式(2013 江西卷(文、理) ,2013 山东理数,2010 山东文数 22) 5.数量积为定值: (2010 重庆文数,2011 四川卷文数 21) 定点问题 (1)直线过定点:2010 江苏,2011 山东文数,2013 陕西理数 (2)圆过定点:2009 江西理数,2010 四川理数,2102 福建文数 21,2012 福建理数 19 动圆过定点(连线垂直从而转化为数量积等于 0 或斜率之积等于-1,恒等式法等) 直线过定点(过坐标轴上的定点即直线与坐标轴交点的横或纵坐标为定值,恒等式法等) 定直线 2013 安徽理数 点在定直线上(点的横坐标或纵坐标为定值,消参法等) 1.无论是定值、定点还是定直线问题,都可采用取特殊位置先猜后证的思想。 2.大部分题目都是把研究的量转化为坐标, 再根据韦达定理将坐标进一步转化为直线或曲线 中的参数表示,最后发现与参数无关即为不变量。 3. 从动态变化过程中探求,确定几何对象的不变性,规律性,很好地反映了数学的理性精 神。 4.圆锥曲线中还有许多不变量,由于时间关系,我们不可能一一研究,这里只能抛砖引玉。


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