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辽宁师范大学附属中学2013届高三三模考试 数学理

辽师附中高三年级第三次模拟考试数学试卷(理)
高三数学备课组 2013.5

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 60 分)和非选择题(共 90 分)两部分 第一部分(选择题 共 60 分) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 复数

4 ? 2i ?4 ? 2 i C 2 ? 4i D k? ,k ? Z },B={ x || x ? 1|? 1 },则 A∩B=( 2.已知集合 A={ x | x ? sin 2
B A {-1,0} B {0,1} C {0} D 1 3. 已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ∥平面 ? , 则“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的 ( )

10i ? 1 ? 2i A 2 ? 4i





)

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A 1 B

(

)

1 3

C

1 2

D

3 2
? 个单位, 6

5. 把函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? ? ) 的图象向左平移 再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变)所得的图象解析式为 y ? sin x ,则 ( ) A C

? ? 2,? ?
? ? 2,? ? ?

?
6
? 3

B D

1 ? ? ? ,? ? 2 6 1 ? ? ? ,? ? 2 12

6. 执行如图所示的程序框图,若输出结果为 3,则可 输入的实数 x 值的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4

?x ? 0 ? 7.已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k 为常数) ,若目标 ?2 x ? y ? k ? 0 ?
z ? ?3 x y 的最大值为 8,则 k=
A ?16 B ( C )





?6

?

8 3
-1-

D

6

8.从男女共有 36 名的大学生中任选 2 名去考“村官”,任何人都有同样的当选机会,若选出的 同性大学生的概率为 A 1

1 ,则男女生相差( 2
B 3 C 6

)名 D 10

9. 已 知 数 列 ?an ? 是 等 比 数 列 , 且 a2 ? 2, a5 ? ( ) A C

1 , 则 a1a 2? a a ???? ? an an? ? 1 2 3 4

16(1 ? 4? n )
32 (1 ? 4? n ) 3

B D

16(1 ? 2? n )
32 (1 ? 2? n ) 3

10. 已知 F 是椭圆 C

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的 a2 b2

延长线交 C 于点 D,且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为 ( A )

2 3

B

3 2

C

6 3

D

3 3

11. 已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? (??,0) 时,

f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立,若 a=(20.2)·f (20.2 ), b ? (1n2) ? f (ln 2),

1 1 c ? (log1 ) ? f (log1 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 4 4 2 2
A C





a?b?c c ? a? b

B D

a?c?b b?a?c

12. 如图, 边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A , D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上移动, OB ? OC 则 的最大值是( A ) B

2

1? 2

C

3 2

D

4

第二部分(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已 知

?an ?



等 .











a3 ? a4 ? a8 ? 9, 则S9 ?
3

14.设 ? 为

?1 2? ? x ? 的展开式中的常数项为 a ,则直线 y ? ax 与曲线 y ? x2 围成图形的面积 ?x ?
.
-2-

15.在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC? ?CDA? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则四面 体 ABCD的外接球的半径为 . 16. 给出下列四个命题: ① 命题“ ?x ? R,cos x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R,cos x ? 0 ”; ② lg a ? lg b ? lg( a ? b ) ,则 a ? b 的最大值为 4; 若 ③ 定义在 R 上的 f ( x ) 满足 f ( xy) ? xf ( y) ? yf ( x) ,则 f (x) 为奇函数; ④ 已知随机变量 ? 服从正态分布 N( 1,? 2 ),P( ? ? 5 ) ? 0.81 ,则 P( ? ? ?3 ) ? 0.19 ;其中真 命题的序号是 (请把所有真命题的序号都 填上).

三、解答题(将正确答案书写在答题纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) (本题满分 12 分)已知向量 a ? ( 3 sin 2x, cos2x) ,

b ? (cos2x,? cos2x)
(Ⅰ )若 x ? (

7? 5? 1 3 , ), a ? b ? ? ? ,求 cos 4x ; 24 12 2 5
2

(Ⅱ )设 ?ABC 的三边 a, b, c 满足 b ? ac ,且边 b 所对应的角为 x ,若关于 x 的方程

a ?b ?

1 ? m 有且仅有一个实数根,求 m 的值. 2

18.(本小题满分 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC=CB=1,∠ ABC=60o,四 边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE⊥ 平面 ABCD,CF=1. (1)求证:BC⊥ 平面 ACFE; (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与 平面 FCB 所成二面角的平面角为 ? (? ≤90o) , 试求 cos ? 的取值范围。 19. (本小题满分 12 分)已知盒中有大小相同的 4 个红球 t 个白球,从盒中一次性取出 2 个球,取到白球个数的期望为

6 . 若每次从口袋中任 7

取一球,如果取到红球,那么继续取球,如果取到白球,就停止取球,记取球的次数为 X. (1)若取到红球再放回,求 X 不大于 2 的概率; (2)若取出的红球不放回,求 X 的概率分布与数学期望. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 4 3. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)直线 x=2 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,A、B 是椭圆 O 上位于直线 PQ 两侧的动点,且直线

1 ,短轴长为 2

-3-

AB 的斜率为

1 . 2

① 求四边形 APBQ 面积的最大值; ② 设直线 PA 的斜率为 k1 ,直线 PB 的斜率为 k2 , 判断 k1 + k2 的值是否为常数,并说明理由. 1 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= a x2-2xsin2 ? 和函数 g(x)=ln x, F(x)=f(x)+g(x). 记 2 π (1)当 ? = 时,若 f(x)在[1,2]上的最大值是 f(2),求实数 a 的取值范围; 3 (2)当 a =1 时,判断 F(x)在其定义域内是否有极值,并予以证明; (3)对任意的 ? ∈[ 值范围.

? 2?
6 , 3

) ,若 F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值,试求实 a 的取

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 C 点在⊙ 直径 BE 的延长线上,CA 切⊙ 于 A O O 点,CD 是∠ ACB 的平分线且交 AE 于点 F,交 AB 于 点 D. (1)求∠ ADF 的度数; (2)若 AB=AC,求

AC 的值. BC

2

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方

x 在直角坐标系中, 以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C : ? sin ? ? 2a cos?(a
? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 >0) ,已知过点 P(-2,-4)的直线 L 的参数方程为: ? ,直线 L 与曲线 C 分 2 ? ? y ? ?4 ? 2 t ?

别交于 M,N. ⑴ 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; ⑵ 若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? a . (Ⅰ )若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围。

?

?

-4-

班 级

高三数学答题纸(理科)
姓 名 考 号 二.(每题 5 分,共 20 分) 13. 15. 三. (共 70 分) 17. (12 分) 14. 16.





线











18.(12 分)

-5-

座位号(两位) 19. (12 分)

-6-

20. (12 分)

-7-

21.(12 分)

-8-

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答(10 分) 我所做的题是 24 23 22

-9-

辽师附中高三年级第三次模拟数学试卷(理)
一、选择题 DBABC 27 CBCCD 14. DA 二、填空题 13.

9 2

15. 3

16. ① ④ ③

17. 解: ) a ? b ? (Ⅰ

3 sin 2 x cos 2 x ? cos2 2 x ?

3 1 ? cos 4 x sin 4 x ? 2 2

?

3 1 1 ?? 1 ? sin 4 x ? cos 4 x ? ? sin? 4 x ? ? ? 2 2 2 6? 2 ?
……………2 分

?? 3 ? ? sin? 4 x ? ? ? ? 6? 5 ?
由于 x ? (

? 3? ? 4 7? 5? , ) ,? 4 x ? ? (? , ) , cos( 4 x ? ) ? ? 24 12 6 2 6 5
……………6 分

?? ? ? ? ? 3? 4 3 cos4 x ? cos?? 4 x ? ? ? ? ? 6 ? 6? 10 ??
(Ⅱ )由余弦定理: cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? ac 1 ? ?? ? ? ,? B ? ? 0, ? 2ac 2ac 2 ? 3?
? s i n4 x ? (

…………8 分

? 4x ?

?
6

6 6 ? 7? ? 当x ? 或x ? 时,直线 y ? m 和 y ? sin( 4 x ? ) 有一个交点。 6 6 6 1 则 m ? 1,? ……………12 分 2
D C

? (?

? 7?
,

]

?

1 ) ? [? ,1] 6 2

18.(1)证明:在梯形 ABCD 中, AB // CD, AD ? DC ? CB ? 1 过 C 作 CE//AD, ?CEB 中, CE ? AD ? BC ? 1 又 ?ABC ? 60 ,? BE ? AE ? 1, AB ? 2
O

A

E z

B

? AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos60 ? 3 ,
2 2 2 o

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? BC ? AC

………2 分

因为:平面 ACFE ? 平面 ABCD, 平面 ACFE∩平面 ABCD=AC, BC ? 平面 ABCD 所以,BC ? 平面 ACFE ……………………………4 分 (2)由(1)可以分别以直线 CA,CB,CF 为 x, y , z 轴建立 x 空间直角坐标系,令 FM= ? (0 ? ? ? 3) ,则 C(0,0,0),A( 3,0,0) ,B(0,1,0),M( ? ,0,1) y

? AB ? (? 3,1,0), BM ? (?,?1,1) ,设 n ? ( x, y, z) 为平面 MAB 的一个法向量,
- 10 -

由?

?n ? AB ? 0 ? ?n ? BM ? 0 ?

得: ?

?? 3 x ? y ? 0 ??x ? y ? z ? 0

取 x ? 1, 则 n ? (1, 3, 3 ? ?)

而平面 FCB 的法向量可取 n1 ? (1,0,0)

? cos? ?

n ? n1 n n1

?

1 (? ? 3 ) 2 ? 4

…………………8 分

由0 ? ? ? 3

,? 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值

7 7

当 ? ? 3 时, cos ? 有最大值

1 7 1 ,? cos ? 的取值范围为[ , ]…………………12 分 2 7 2

19. 解:从盒中一次性取出 2 个球,取到白球个数的分布列是超几何分布,所以期望为

2t 6 ? ,所以 t ? 3 ,即盒中有 4 个红球,3 个白球. 4?t 7
3 3× 12 4 (1)∵ P(X=1)= ,P(X=2)= 2 = , 7 7 49 33 ∴ P=P(X=1)+P(X=2)= . 49 A1 3 3 (2)∵ 可能取值为 1,2,3,4,5,P(X=1)= 1= , X A7 7
1 A1A3 2 4 P(X=2)= 2 = , A7 7 1 A2A3 6 A3A1 3 4 4 3 P(X=3)= 3 = ,P(X=4)= 4 = , A7 35 A7 35 1 A4A3 1 4 P(X=5)= 5 = . A7 35

┅ ┅ ┅ ┅ 分 ┅ ┅ ┅ 2

┅ ┅ ┅ ┅ 分 ┅ ┅ ┅ 6

┅ ┅ ┅ ┅ 分 ┅ ┅ ┅ 8

∴ 的概率分布列为: X X P 1 3 7 2 2 7 3 6 35 4 3 35 5 1 35

3 2 6 3 1 ∴ E(X)=1× +2× +3× +4× +5× =2. 7 7 35 35 35 即 X 的数学期望是 2. ┅ ┅ ┅ ┅ 分 ┅ ┅ ┅ 12

- 11 -

20. 解: )设椭圆 C 的方程为 (Ⅰ 离心率 e ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2

由已知 b= 2 3

c 1 2 ? , a ? b 2 ? c 2 ,得 a ? 4 a 2
…………4 分

所以,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

(Ⅱ )① 由(Ⅰ )可求得点 P、Q 的坐标为 P(2,3) , Q(2,?3) , 则 | PQ |? 6 , 设 A ?x1 , y1 ?, B( x2 , y2 ),直线 AB 的方程为 y ?

1 x2 y2 x ? t ,代人 ? ?1 2 16 12

2 2 得: x ? tx ? t ? 12 ? 0 .由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得

? x1 ? x2 ? ?t ? 2 ? x1 x2 ? t ? 12
四边形 APBQ 的面积 s ? 故当 t ? 0, S max ? 12 3

……………6 分

1 ? 6 ? x1 ? x2 ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 3 48 ? 3t 2 2
…② ………………8 分

由题意知,直线 PA 的斜率 k1 ?

y1 ? 3 y ?3 ,直线 PB 的斜率 k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

1 1 x ?t ?3 x2 ? t ? 3 y1 ? 3 y2 ? 3 2 1 ? ? ?2 则 k1 ? k2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

…………………10 分

1 1 ( x1 ? 2) ? t ? 2 ( x2 ? 2) ? t ? 2 t?2 t?2 2 2 ? ?1? ? = x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
=1 ?

? x1 ? x2 ? ?t (t ? 2)(x1 ? x2 ? 4) ,由① ? 知 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? x1 x2 ? t ? 12
(t ? 2)(?t ? 4) ? t 2 ? 2t ? 8 ?1? 2 ? 1?1 ? 0 t 2 ? 12 ? 2t ? 4 t ? 2t ? 8
………………………12 分

可得 k1 ? k2 ? 1 ?

所以 k1 ? k2 的值为常数 0. π 1 3 21. 解:(1)α= 时,f(x)= ax2- x. 3 2 2 3 ① a=0 时,f(x)=- x,不合题意; 当 2
- 12 -

3 3 3 1 3 ② a<0 时, 当 f(x)= ax2- x 在?-∞,2a?上递增, ?2a,+∞?上递减, 在? 而[1,2]??2a,+∞?, ? ? ? ? ? 2 2 故不合题意; 3 3 1 3 ③ a>0 时,f(x)= ax2- x 在?-∞,2a?上递减,在?2a,+∞?上递增,f(x)在[1,2]上的最 当 ? ? ? ? 2 2 1 3 大值是 max{f(1),f(2)}=f(2),所以 f(1)≤f(2),即 a- ≤2a-3,所以 a≥1. 2 2 综上所述,实数 a 的取值范围是[1,+∞). 1 (2)a=1 时,F(x)= x2-2xsin2α+ln x 的定义域为(0,+∞), 2 1 F′(x)=x+ -2sin2α≥2-2sin2α=2cos2 α≥0. x ① cos α≠0 时,F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增,从而 F(x)在其定义域内没有极值; 当 ?x-1? 1 ② cos α=0 时,F′(x)=x+ -2= 当 ,令 F′(x)=0,有 x=1,但是 x∈ (0,1)时,F′(x)>0, x x F(x)单调递增,x∈ (1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)也单调递增,所以 F(x)在其定义域内也没有极值. 综上,F(x)在其定义域内没有极值. ………………8 分
2

………………4 分

1 (3)据题意可知,令 F′(x)=ax+ -2sin2α=0,即方程 ax2-2xsin2α+1=0 在(0,+∞)上恒 x
?Δ=4sin α-4a>0, ? ?π 2 ?1 有两个不相等的实数根.即? 恒成立,因为 α∈ 6,3π?,sin α∈ 2,1?,所 ? ? ? ? ? ?a>0
4

1 以 0<a< . 16 1 所以 a 的取值范围为?0,16? ? ? ……………12 分

E 22. . 解 : 1 ) ? AC为 ? O 的 切 线 , ? ?B ? ? A C, 又 DC 是 ?ACE 的 平 分 线 , ( ? ?A C D ? ?D C B 由 ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD ,得 ?ADF ? ?AFD 1 ? ? 又 ?BAE ? 90 ,??ADF ? ?BAE ? 45 2
(2)? AB ? AC , ?B ? ?ACB ? ?EAC , ?ACB ? ?ACB

? ?ACE ∽?BCA

?

AC AE ? BC AB
?

又 ?ACE ? ?ABC ? ?CAE ? ?BAE ? 180

??B ? ?ACB ? 30?
在 Rt ?ABE 中,?

AC AE 3 ? ? tan 30? ? BC AB 3
- 13 -

23. ⑴ y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 …………(5 分)
? ? x ? ?2 ? ? ⑵ 直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t 2 (t 为参数),代入 y 2 ? 2ax 得到 2 t 2

t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 ,
则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a),t1 ? t 2 ? 8(4 ? a) …(8 分)因为 | MN | 2 ?| PM |,| PN | ,所以

(t1 ? t 2 ) 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 解得 a ? 1 ……(10 分)
24. 解:(Ⅰ 2x ? a ? a ? 6 得 2x ? a ? 6 ? a ,∴a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a , )由 即 a ? 3 ? x ? 3 ,∴a ? 3 ? ?2 ,∴a ? 1 . ························ 分 ··········· ·········· ·· 5 ·········· ··········· ·· (Ⅱ )由(Ⅰ f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n? ? f ? n? ? f ? ?n? , )知

1 ? ? 2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则 ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ? 2 ? 4n, 2 ?
∴? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ?4,??? .···············10 分 ··········· ···· ·········· ····

- 14 -


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江西师范大学附属中学2019届高三三模考试数学(理)试题 含解析 - ? ? ? ? .2019 年江西师大附中高考数学三模试卷(理科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每...
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