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2015-2016学年广东省广州市执信中学高二下学期期末考试数学(文)试题


高二级文科数学期末考试试卷
第一部分选择题 (共 50 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合 A ? {0,1, 2,3} , B ? {1, 2,3} ,则 A ? B ? ( A. {0,1, 2,3} B. {0,3} C. {1, 2} ) D. 7 ? 5i ) D. ? )

2.已知 i 是虚数单位,则 (2 ? i )(3 ? i ) ? ( A. 5 ? 5i B. 5 ? 5i C. 7 ? 5i

3.先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8


2 4.命题 p : ?x0 ? 1 ,使得 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p 为(

A. ?x ? 1 ,使得 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 C. ?x ? 1 ,使得 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

2 B. ?x0 ? 1 ,使得 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

D. ?x ? 1 ,使得 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

5. 如图所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆, 那么这个几何体的表面积是( A. ? B. ) D.

3? 2

C. 2?

5? 2

1

6.设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A.11 B.5 C.-8 D.-11

S5 ?( S2



7.把函数 y ? sin x( x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

?
6

个单位长度,再把所得图象上所有 )

点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到图象的函数表达式为( A. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R

B. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R

1 ? 1 ? D. y ? sin( x ? ), x ? R ), x ? R 2 6 2 6 cos 6 x 8.函数 y ? x 的图象大致为( ) 2 ? 2? x
C. y ? sin( x ?

9.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( A. 300 B. 450 C. 600 )

D. 900

10.对任意非零实数 a, b ,定义 a ? b 的算法原理如程序框图所示,设 a 为函数

y ? x 2 ? 2 x ? 3( x ? R ) 的最小值,b 为抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点到准线的距离,则计算机执行
该运算后输出结果是( A. ) C.

2 3

B.

3 2

7 2

D.

1 2

2

11.设单位向量 e1 , e2 对任意实数 ? 都有 e1 ? A.

?? ?? ?

??

?? ?? ? ? ?? 1 ?? e2 ? e1 ? ? e2 ,则向量 e1 , e2 的夹角为( 2



?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6
'

12.定义域为 R 的函数 f ( x) 对任意 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且其导函数 f ( x) 满足

f ' ( x) ? 0 ,则当 2 ? a ? 4 ,有( 2? x
A. f (2a ) ? f (log 2 a ) ? f (2) C. f (2a ) ? f (2) ? f (log 2 a )

) B. f (log 2 a ) ? f (2) ? f (2 a ) D. f (log 2 a ) ? f (2a ) ? f (2)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在机读卡上相 应的位置.)
13.双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的渐近线方程为____________. 3
ax

14.曲线 y ? e 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ___________.

3

?y ? x ? 15.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?6 ,则 ?y ? k ?

k ? ____________.
16.对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解: 2 ? 3 ? 5,3 ? 7 ? 9 ? 11 ,
3 3

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,根据上述规律, 103 的分解式中,最大的数是____________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a2 ? 4, a4 ? a7 ? 15 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b10 的值. an an ?1

18.(本小题满分 12 分) 空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现 出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全 世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位: ? g / m )为 0~50 时,空气质量
3

级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为二级, 空气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别是为三级,空气质量状 况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于 中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污 染; 当空气污染指数为 300 以上时, 空气质量级别为六级, 空气质量状况属于严重污染.2015 年 8 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 (单位:

[0,50]

(50,100]

(100,150]

(150, 200]

? g / m3 )
监测点个数 15 40

y

10

(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x, y 的值,并完成频率分布直方图;
4

(2)在空气污染指数分别为 50 ~ 100 和 150 ~ 200 的监测点中,用分层抽样的方法抽取 5 个监测点,从中任意选取 2 个监测点,事件 A “两个都为良”发生的概率是多少?

19.(本小题满分 12 分) 如图,直角三角形 ABC 中, A ? 600 ,沿斜边 AC 上的高 BD ,将 ?ABD 折起到 ?PBD 的 位置,点 E 在线段 CD 上. (1)求证: PE ? BD ; (2) 过点 D 作 DM ? BC 交 BC 于点 M , 点 N 为 PB 中点, 若 PE // 平面 DMN , 求 的值.

DE DC

20.(本小题满分 12 分) 如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T (2, 0) ,与 y 轴正半轴相交于 M , N 两点(点 M 在点 N 的下
5

方) ,且 MN ? 3 . (1)求圆 C 的方程; (2)过点 M 任作一条直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 相交于两点 A, B ,连接 AN , BN ,求证: 8 4

?ANM ? ?BNM .

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 3(a ? 0) . (1)求函数 f ( x) 的极值; (2)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x) ? x ?
3

x2 [m ? 2 f ' ( x)] 在区间 (a,3) 上有最值, 2

求实数 m 的取值范围.

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答 时请写清题号.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D , DE ? AC , 交 AC 的延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (1)求证: DE 是圆 O 的切线; (2)若 ?CAB ? 600 ,圆 O 的半径为 2, EC ? 1 ,求 DE 的值.

6

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以原点为极点, x 轴 ?y ? 3 t ? ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (1)写出圆 C 的直角坐标方程; (2) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.

7

一、选择题
1-5.CBDCB 6-10.DCACB 11-12.CA

二、填空题:
13. y ? ? 3 x 14. 3 15. -2 16. 109

三、解答题
17.解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d , 由已知得 ?

?a1 ? d ? 4 ?a1 ? 3 ,解得 ? , ?d ? 1 ?(a1 ? 3d ) ? (a1 ? 6d ) ? 15

所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 2 .

18.解: (1)∵ 0.003 ? 50 ?

15 ,∴ x ? 100 . x

∵ 15 ? 40 ? y ? 10 ? 100 ,∴ y ? 35 .

40 35 10 ? 0.008 , ? 0.007 , ? 0.002 , 100 ? 50 100 ? 50 100 ? 50
频率分布直方图如图所示:

8

(2)在空气污染指数为 50~100 和 150~200 的监测点中分别抽取 4 个和 1 个监测点,设空 气污染指数为 50~100 的 4 个监测点分别记为 a, b, c, d ;空气污染指数为 150~200 的 1 个监 测点记为 E , 从中任取 2 个的基本事件分别为 (a, b) , ( a, c ) , ( a, d ) , ( a, E ) , (b, c) , (b, d ) , 其中事件 A “两个都为良” 包含的基本事件为 (a, b) , (b, E ) , ( c, d ) , ( c, E ) , (d , E ) 共 10 种,

(a, c) , (a, d ) , (b, c) , (b, d ) , (c, d ) 共 6 种,所以事件 A “两个都为良”发生的概率是

P( A) ?
19.解:

6 3 ? . 10 5

(1)因为 BD 是 AC 边上的高,所以 BD ? CD, BD ? PD ,又 PD ? CD ? D , ∴ BD ? 平面 PCD .∵ PE ? 平面 PCD ,所以 PE ? BD . (2)连接 BE ,交 DM 与点 F ,

PE // 平面 DMN ,且 PE ? 平面 PEB ,平面 PEB ? 平面 DMN ? NF ,∴ PE // NF ,
1 BE ? EF ,又 ?BCD ? 900 ? 600 ? 300 ,∴ ?DEF 是等边三角形 2 DE 1 设 DE ? a ,则 BD ? 3a , DC ? 3BD ? 3a ,∴ ? . DC 3
∴ DF ? 20.解 (1)设圆 C 的半径为 r ( r ? 0 ) ,依题意,圆心坐标为 (2, r ) . ∵ MN ? 3 ,∴ r 2 ? ( ) 2 ? 22 ,解得 r 2 ? ∴圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? ) 2 ?

3 2

25 . 4

25 . 4 5 25 (2) 把 x ? 0 代入方程 ( x ? 2) 2 ? ( y ? ) 2 ? , 解得 y ? 1 或 y ? 4 , 即点 M (0,1), N (0, 4) . 2 4
(1)当 AB ? x 轴时,可知 ?ANM ? ?BNM ? 0 .
9

5 2

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 .

联立方程 ?

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? 2 y ? 8

,消去 y 得, (1 ? 2k ) x ? 4kx ? 6 ? 0
2 2

设直线 AB 交椭圆于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 两点,则

x1 ? x2 ?

?4k ?6k . , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

∴ k AN ? k BN ?

y1 ? 4 y2 ? 4 kx1 ? 3 kx2 ? 3 ? ? ? x1 x2 x1 x2

?12k 12k ? 2kx1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? ?0 x1 x2 x1 x2
∴ ?ANM ? ?BNM . 21.解: (1)由已知得 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 f ' ( x) ? 当 a ? 0 时, f ' ( x) ?

1 ?a, x

1 ?a ? 0, x

∴ f ( x) 在 (0, ??) 单调增, f ( x) 无极值; 当 a ? 0 时,

1 1 1 1 ? a ? 0 得: 0 ? x ? ,则 f ' ( x) ? ? a ? 0 得: x ? , x a x a 1 1 ∴ f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减. a a 1 ∴ f ( x) 的极大值 f ( ) ? ?(ln a ? 4) ,无极小值. a
由 f ' ( x) ? 综上:当 a ? 0 时, f ( x) 无极值; 当 a ? 0 时, f ( x) 有极大值 f ( ) ? ?(ln a ? 4) ,无极小值. (2) g ( x) ? x ?
3

1 a

x2 m [m ? 2 f ' ( x)] ? x 3 ? ( ? a) x 2 ? x , 2 2

∴ g ( x ) ? 3 x ? ( m ? 2a ) x ? 1 ,
' 2

∵ g ( x) 在区间 (a,3) 上有最值,

10

∴ g ( x) 在区间 (a,3) 上有极值,即方程 g ( x) ? 0 在 (a,3) 上有一个或两个不等实根,
'

? g ' (a) ? 0 ? 又 g (0) ? ?1 ,∴ ? ' ? ? g (3) ? 0
'

则题意知:对任意 a ? [1, 2] , g (a ) ? 3a ? ( m ? 2a ) ? a ? 1 ? 5a ? ma ? 1 ? 0 恒成立,
' 2 2

∴m ?

1 ? 5a 2 1 19 ? ? 5a ,因为 a ? [1, 2] ,∴ m ? ? , a a 2
'

对任意 a ? [1, 2] , g (3) ? 26 ? 3m ? 6a ? 0 恒成立

?6a ? 26 26 32 ? ? ? 2a ,∵ a ? [1, 2] ,∴ m ? ? 3 3 3 32 19 ∴? ?m?? . 3 2
∴m ? 22. (1)连接 OD ,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC ,∴ OD // AE , 又 AE ? DE ,∴ DE ? OD ,又 OD 为半径, ∴ DE 是圆 O 的切线. (2)连结 BC ,在 Rt ?ABC 中, ?CAB ? 60 , AB ? 4 ,∴ AC ? AB cos 600 ? 2
0

又∵ EC ? 1 ,∴ AE ? EC ? CA ? 3 由圆的切割线定理得: DE 2 ? CE ? EA ? 3 ,∴ DE ? 23.解: (1)由 ? ? 2 3 sin ? ,得 ? 2 ? 2 3? sin ? ,从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y , 所以 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 3 . (2)设 P (3 ?

3

1 3 t, t ) ,又 C (0, 3) , 2 2

则 PC ?

1 3 (3 ? t ) 2 ? ( t ? 3) 2 ? t 2 ? 12 , 2 2

故当 t ? 0 时, PC 取得最小值,此时 P 点的坐标为 (3, 0)

11


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