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第13章 计算流体力学CFD(3)


第13章 计算流体力学CFD(3)

4 离散化的基本方法

4.1 引言

引言

理论上,根据 偏微分方程的 解能得到流场 中任意点上流 场变量的值。

离散网格点

引言

实际上,我们 采用代数差分 的方式将偏微 分方程组转化 为代数方程组。

离散网格点

引言

通过求解代数 方程组获得流 场中离散网格 节点上的变量 值。

离散网格点

引言

从而,使得原 来的偏微分方 程组被“离散 化”了。

离散网格点

引言

4.2 有限差分基础

有限差分基础

离散网格点

泰勒级数展开:

有限差分基础
泰勒级数展开:

差分表达式

截断误差

有限差分基础

一阶向前差分:

上述差分表达式用到了(i,j)点及其右边(i+1,j)点的 信息,没有左边(i-1,j)点的信息,且精度为一阶

有限差分基础

离散网格点

泰勒级数展开:

有限差分基础
泰勒级数展开:

有限差分基础

一阶向后差分:

上述差分表达式用到了(i,j)点及其左边(i-1,j)点的 信息,没有右边(i+1,j)点的信息,且精度为一阶

有限差分基础

两式相减得:

有限差分基础

得:

有限差分基础

二阶中心差分:

上述差分表达式用到了左边(i-1,j)点及右边(i+1,j) 点的信息, (i,j)点位于它们中间,且精度为二阶

有限差分基础

Y方向的差分表达式:

有限差分基础

两式相加得:

有限差分基础

得:

二阶中心差分(关于二阶导数)

有限差分基础
对Y方向的二阶导数有:

二阶中心差分(关于Y方向二阶导数)

有限差分基础
下面求二阶混合偏导数

上式对y求导得:

有限差分基础
下面求二阶混合偏导数

上式对y求导得:

有限差分基础
下面求二阶混合偏导数

两式相减得:

6

有限差分基础
下面求二阶混合偏导数

6

有限差分基础
二阶混合偏导数的二阶精度中心差分

有限差分基础

有限差分基础

有限差分基础

有限差分基础

有限差分基础

有限差分基础

有限差分基础

有限差分基础

有限差分基础

有限差分基础
二阶偏导数,四阶精度中心差分

高阶精度的差分需要更多的网格点,所以计算中的每一 个时间步或空间步都需要更多的计算机时间。

有限差分基础

在边界上怎样构造差分 近似?

边界网格点

有限差分基础

向前差分,只有一阶精度。

边界网格点

有限差分基础

在边界上如何得到二阶 精度的有限差分呢?

边界网格点

有限差分基础

不同于前面的泰勒级数 分析,下面采用多项式 来分析。

边界网格点

有限差分基础
设 在网格点1,

在网格点2, 在网格点3, 边界网格点

有限差分基础



边界网格点

有限差分基础

对y求导得:

在边界点1,

边界网格点

有限差分基础

得:

边界网格点

有限差分基础
根据



为三阶精度

边界网格点

有限差分基础
为三阶精度 故

为两阶精度

边界网格点

有限差分基础

为单侧差分 边界网格点

4.3 差分方程

差分方程

对一个给定的偏微分方程,如果将其中所有的偏 导数都用有限差分来代替,所得到的代数方程叫 做差分方程,它是偏微分方程的代数表示。

差分方程
考虑非定常一维 热传导方程:

差分方程

差分方程

差分方程

差分方程
偏微分方程:

差分方程:

截断误差:

差分方程

差分方程是一个代数 方程,如果在右图所 示区域内所有网格点 上都列出差分方程, 就得到一个联立的代 数方程组。

差分方程

当网格点的数量趋于 无穷多,也就是

时,差分方程能否还 原为原来的微分方程 呢?

差分方程
截断误差:

截断误差趋于零,从而差分方程确实趋近于原微 分方程。

差分方程
如果, 截断误差趋于零,

从而差分方程确实趋近于原微分方程,
此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相 容的。

差分方程

截断误差: 原微分方程与相应的差分方程之间的区别

差分方程

离散误差: 原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别

4.4 显式方法与隐式方法

4.4.1 显式方法

显式方法

显式方法

上述方程是抛物型方程,可以推进求解,推进变量是时间 t

显式方法

边界条件已知

显式方法

边界条件已知

显式方法

显式方法中每一个差分方程只包含一个未知 数,从而这个未知数可以用直接计算的方法 显式地求解。显式方法是最简单的方法。

4.4.2 隐式方法

隐式方法

克兰克-尼科尔森格式

隐式方法

对于排列在同一时间层 所有网格点上的未知量, 必须将它们联立起来同 时求解,才能求出这些 未知量,这种方法就定 义为隐式方法。

隐式方法

由于需要求解联立的代 数方程组,隐式方法通 常涉及大型矩阵的运算。 隐式方法比显式方法需 要更多、更复杂的计算。

隐式方法

隐式方法

A,B,Ki 均为已知量

隐式方法

A,B,Ki 均为已知量

隐式方法
A,B,Ki 均为已知量

在网格点2:

T1 为边界条件,已知量

隐式方法
A,B,Ki 均为已知量 在网格点3:

在网格点4:

在网格点5:

隐式方法
A,B,Ki 均为已知量 在网格点6:

T7 为边界条件,已知量

隐式方法
A,B,Ki 均为已知量 于是有关于T2,T3,T4,T5, T6这五个未知数的五个方程

隐式方法

写成矩阵形式:

隐式方法

系数矩阵是一个三对角矩阵,仅在三条对角线上有非 零元素。 求解线性代数方程组的标准方法是高斯消去法。应用 于三对角方程组,通常采用托马斯算法(国内称为追 赶法)求解。

4.4.3 显式方法与隐式方法的比较

显式方法与隐式方法的比较

对于显式方法,一旦?x取定,那么?t的取值必须受到 稳定性条件的限制,其取值必须小于等于某个值。否 则,计算不稳定。因此,?t必须取得很小,才能保持 计算稳定,要算到某个给定的时间值,程序要运行很 长时间。

显式方法与隐式方法的比较

隐式方法没有稳定性限制,可以取比显式方法大得多 的?t,仍能保持计算稳定。要计算某个给定的时间值, 隐式方法所用的时间步数比显式方法少很多。

显式方法与隐式方法的比较

对某些应用来说,虽然隐式方法一个时间步的计算会 比显式方法花的时间长,但由于时间步数少,总的运 行时间可能比显式方法少。

显式方法与隐式方法的比较

另外,当?t取得较大时,截断误差就大,隐式方法在 跟踪严格的瞬态变化(未知函数随时间的变化)时, 可能不如显式方法精确。 不过,对于以定常态为最终目标的时间相关算法,时 间上够不够精确并不重要。

显式方法与隐式方法的比较
当流场中某些局部区域的网格点分布很密,采用显式 方法,小的时间步长会导致计算时间特别长。 例如,高雷诺数粘性流,物面附近的流场会产生急剧 的变化,因此,物面附近需要更密的空间网格。 在这种情况下,若采用隐式方法,即使对于很密的空 间网格,也能采用较大的时间步长,就会减少程序运 行时间。

4.5 误差与稳定性分析

误差与稳定性分析

在从一个推进步进行到下一步时,如果某个特定的数 值误差被放大了,那么计算就变成不稳定。如果误差 不增长,甚至在从一个推进步进行到下一步时,误差 还在衰减,那么计算通常就是稳定的。

误差与稳定性分析
A=偏微分方程的精确解(解析解)

D=差分方程的精确解 离散误差=A-D

误差与稳定性分析

D=差分方程的精确解
N=在某个有限精度的计算机上实际计算出来的解

(数值解)
舍入误差=?=N-D

N=D+?

误差与稳定性分析

数值解N=精确解D+误差?

数值解N满足差分方程,于是有

误差与稳定性分析

数值解N=精确解D+误差?

精确解D也必然满足差分方程,于是有

误差与稳定性分析

数值解N=精确解D+误差?

两式相减得,误差?也满足差分方程:

误差与稳定性分析
当求解过程从第n步推进到第n+1步时,如果?i衰减,至 少是不增大,那么求解就是稳定的;反之,如果?i增大, 求解就是不稳定的。也就是说,求解要是稳定的,应 该有:

误差与稳定性分析
根据von Neumann(冯?诺伊曼)稳定性分析方法,设 误差随空间和时间符合如下Fourier级数分布: 则

误差与稳定性分析

稳定性要求

故放大因子
G ? e a ?t ? 1

误差与稳定性分析

下面采用von Neumann(冯?诺伊曼)稳定性分析方法 分析如下差分方程的稳定性:

由于误差?也满足差分方程,故有

误差与稳定性分析
由于误差?也满足差分方程,故有





误差与稳定性分析

解得

放大因子

误差与稳定性分析
放大因子 要使

G ?1
必须满足

误差与稳定性分析

上式就是差分方程

的稳定性条件。
对于给定的?x,?t的值必须足够小,才能满足上述稳 定性条件,以保证计算过程中误差不会放大。

误差与稳定性分析
稳定性条件的具体形式取决于差分方程的形式。 比如,一阶波动方程:

的差分方程

是无条件不稳定的。

误差与稳定性分析

但如果用
uin ? 1 n ? ui?1 ? uin?1 ? 2



(Lax方法)

误差与稳定性分析

令误差

则放大因子 式中

误差与稳定性分析

则放大因子

稳定性要求



误差与稳定性分析

稳定性要求

式中的C称为柯朗(Courant)数。

误差与稳定性分析

稳定性要求

上式称为柯朗-弗里德里奇-列维(CourantFriedrichs-Lewy)条件,一般写成CFL条件。

误差与稳定性分析
下面来看CFL条件的物理意义。

CFL条件:

也是二阶波动方程:

的稳定性条件。

误差与稳定性分析
下面来看CFL条件的物理意义。 二阶波动方程:

的特征线为

误差与稳定性分析
CFL条件的物理意义:要保证稳定性,数值解的依赖 区域必须全部包含解析解的依赖区域。

误差与稳定性分析
CFL条件的物理意义:要保证稳定性,数值解的依赖 区域必须全部包含解析解的依赖区域。


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