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云南省腾冲县五中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题


云南省腾冲县第五中学 2014-2015 学年高一上学期期末考试 数学试题
(考试时间:120 分钟 )

考生请注意:把试题所有答案认真填在答题卡上!

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). (A ? B) ?C ? 1.设集合 A={1,2} ,B={1,2,3},C={2,3,4}则
( A ) {1,2,3} ( B ) {1,2,4} ( C ) {2,3,4} ( D ) {1,2,3,4} 2.过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 1 或 3 3.函数 f ( x) ? x3 ? x ? 3 的实数解落在的区间是

( (

) )





A.?0,1?

B.?1, 2?

C.? 2 , ?3

D.?3,4?
( )

4.若三点 A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数 b 等于 A.2 B.3 C.9 D.-9

5.直线 m x ? 4 y ? 2 ? 0 与 2 x ? 5 y ? n ? 0 互相垂直,垂足为 (1, P ) ,则 m ? n ? p 的值为 ( A. 24 6.设 ? ? ?? 1,1, A.1,3 B. 20 C.0 D. ? 4 ) )

? ?

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为( 2 ?
B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 ( )

7.已知两个不同的平面 α,β 和两条不重合的直线 m,n,则下列命题正确的是 A.若 m∥n,n? α,则 m∥α C.若 m? α,n? α,m∥β,n∥β,则 α∥β 8. 已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,C=1.10.9,那么 A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c

B.若 a⊥β,α∩ β=n,m⊥n,则 m⊥β D.若 m⊥β,m? a 则 a⊥β ( D. c<a<b )

9. 已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 , 当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时,则 a ? ( A )

2

B 2? 2

C

2 ?1 D

2 ?1

10.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论: ①AB⊥EF 其中正确的是 ②AB 与 CM 成 60° ③EF 与 MN 是异面直线 ④MN∥CD ( )

-1-

A.①② 11.函数f(x)满足f(x)= ?

B.③④

C.②③

D.①③ ( )

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则f(3)的值为 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
(

A. ?1 B. ? 2 C.1 D. 2 12.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图,则四棱锥P-ABCD的表面积为

)

A. 3 ? 5

B. 2 ? 5

C.5

D.4

二.填空题: (本大题共4小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1引两条切线 PA, PB , 切点分别为 A, B, ?APB ? 60 , 则动点 P
0

的轨迹方程为 14..若两球的表面积之比为 1:2,则它们的体积比为 15. 已知点 P 为直线 4 x ? y ? 1 ? 0 上一点, P 到直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离与原点到这条直线 的距离相等,则点 P 的坐标是 16.已知正四棱锥(顶点在底面的射影在底面的中心,底面是正方形)的体积为 12,底面对角 线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于_______________。

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (本小题满分 10 分)
求 经 过 两 条 直 线 2x ? y ? 3 ? 0 和 4x ? 3 y ? 5 ? 0 的 交 点 , 并 且 与 直 线

2 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直的直线方程(一般式) .

18. (本小题满分 12 分) (1) 求过点 A(2, 4) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程

-2-

(2) 求直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角. 19. (本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 VA⊥底面 ABCD,VA=1,E、F、G 分 别为 VA、VB、BC 的中点.

(1)求证:平面 EFG∥平面 VCD; (2)当二面角 V-BC-A、V-DC-A 依次为 45°、30°时,求直线 VC 与平面 ABCD 所成的角正弦 值.

20. (本小题满分 12 分)
如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)求平面 ABM 与平面 A1B1M.所成的二面角大小

21. (本小题满分 12 分)
如图,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC, AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 中点, 且△PMB 为正三角形.
-3-

(1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D-BCM 的体积.

22. (本小题满分 12 分)
若非零函数 f ( x ) 对任意实数 a , b 均有 (a+b) = (a) · (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . (1)求证: f ( x) ? 0 ; (2)求证: f ( x ) 为减函数; (3)当 f ( 4) ?

1 1 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5) ? 16 4

-4-

腾冲县第五中学 2014—2015 学年度上学期期末考试 高一数学答题卡
6.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 D 2 D 3 B 4 D 5 B 6 A 7 D 8 C 9 C 10 D 11 B 12 A

二、填空题: (本大题共4小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

x2 ? y 2 ? 4

14. 1: 2 2

1 1 3 60? 15. p ( ,? ) 或 p ( ? ,?7) 16. 6 3 2 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17.(10 分)解:

解:由 ?

?2 x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 2 解得? ?4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?y ? 1

则两直线的交点为: (2,1)

2 直线2 x ? 3 y ? 5 ? 0的斜率为? , 3 3 则所求直线的斜率为 。 2 3 故所求直线方程为 y ? 1 ? ( x ? 2) 2 即3x ? 2 y ? 4 ? 0
18.(12 分)解:
解: (1)显然 x ? 2 为所求切线之一;另设 y ? 4 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 4 ? 2k ? 0



4 ? 2k
2

3 ? 2, k ? ,3x ? 4 y ? 10 ? 0 4 k ?1

? x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 为所求
(2) 因为直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 的斜率 K= ? 3
-5-

所以直线的倾斜角为 120 ,故弦、两半径围成一个等边三角形 所以所求的角为 600

0

19.(12 分)解:
(1)∵E、F、G 分别为 VA、VB、BC 的中点, ∴EF∥AB,FG∥VC, 又 ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∴EF∥CD, 又∵EF?平面 VCD,FG?平面 VCD, ∴EF∥平面 VCD,FG∥平面 VCD, 又 EF∩ FG=F,∴平面 EFG∥平面 VCD. (2) 、连接 AC,由题意可知:直线 VC 与平面 ABCD 所成的角为: ∠VCA, ∵二面角 V-BC-A、V-DC-A 依次为 45°、30° ∴∠VBA=45°, ∠VDA=30° ∵VA=1,∴AB=1,AD= 3 ∴AC=2,∴VC= 5 ∴ sin?VCA ?

5 5

20.(12 分)解:
(1)如图,因为 C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90°, 而 A1B1=1,B1M= 2,故 tan∠MA1B1=

B1 M = 2. A1 B1

即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2. (2)由 A1B1⊥平面 BCC1B1,BM? 平面 BCC1B1,得 A1B1⊥BM①
-6-

由(1)知,B1M= 2, 又 BM= 2,B1B=2, 所以 B1M +BM =B1B ,从而 BM⊥B1M② 又 A1B1∩ B1M=B1,∴BM⊥平面 A1B1M,而 BM? 平面 ABM, 因此平面 ABM⊥平面 A1B1M.故平面 ABM 与平面 A1B1M.所成的二面角大小为:900
2 2 2

21.(12 分)解:
(1)∵M 为 AB 中点,D 为 PB 中点, ∴DM∥AP,又 DM?平面 APC,AP? 平面 APC. ∴DM∥平面 APC. (2)∵△PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点, ∴MD⊥PB,又由(1)知 MD∥AP, ∴AP⊥PB 又已知 AP⊥PC,∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC,又∵AC⊥BC ∴BC⊥平面 APC ∴平面 ABC⊥平面 APC. (3)∵AB=20,∴MP=10,∴PB=10 又 BC=4,PC= 100-16=2 21 1 1 1 ∴S△BDC=2S△PBC=4PC· BC=4×4×2 21 =2 21 1 1 又 MD=2AP=2 202 ? 102 =5 3 1 1 ∴VD-BCM=VM-BCD=3S△BDC· DM=3×2 21×5 3 =10 7.

22.(12 分)解:
(1) f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? 0 (2)设 x1 ? x2 则 x1 ? x2 ? 0
2

x 2

x 2

x 2

∵ f ( x1 ) ? f [(x1 ? x2 ) ? x 2 ] ? f ( x1 ? x2 ) f ( x2 )

-7-

? f ( x1 ? x2 ) ?

f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , f ( x) 为减函数 f ( x2 )
2

(3)由 f (4) ? f (2) ? 得: x ? 2 ? 2 ? x ? 0

1 1 ? f (2) ? 原不等式转化为 f ( x ? 3 ? 5) ? f (2) ,结合(2) 16 4

故不等式的解集为 ? x | x ? 0? .

-8-


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