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9.4.2正射影和三垂线定理_图文

复习回顾:
1、直线与平面垂直的定义, 判定定理
判定定理

线⊥线

定义

线⊥面

2、直线与平面垂直的性质
(1)过一点和已知平面垂直的直线只有一条 (2)过一点和已知直线垂直的平面只有一个 (3)若a//b, a ⊥α , 则b ⊥α

一、正射影

P 如图:

F
'

P
A

P ?
'

'

F

?
'

O

1、点P在 ? 内的射影 P ' 图形 F 在 ? 内的射影 F
'

PP ? ?于P

PO ? ?于O

垂线段

PP

'

2、斜线: PA

斜足:A

斜线段:PA

斜线PA在平面的射影为 直线OA

练习1、
①直线l⊥α 于A点,则l在α 内的射影为 点A

②直立的⊿ABC在水平面α 内的射影为 线段
③空间中一条直线在一个平面内的射影可 能是 一个点 或一条直线

④空间中两条直线a,b在同一平面内的射影 可能是 一个点和一条直线; 两条平行线; 一条直线
两条相交直线;
两个点;

二、三垂线定理
1、三垂线定理 在平面内的一条直线,若它 和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也 和这条斜线垂直
已知 PO、PA分别是平面?的垂线、斜线, OA是PA在平面?上的射影.
P

a? ?,a⊥OA。
求证: a⊥PA
A

a

? O

已知 PO、PA分别是平面?的垂线、斜线,OA是 PA在平面?上的射影. a? ?, a⊥ PA a⊥OA

⊥PA 求证:a⊥OA 证明: ∵PO⊥? a ? ?

P

∴PO ⊥a
∵OA⊥a ∵PA⊥

PO ? AO ? O

A

a

? O

∴a⊥平面PAO

∵PA?平面 ∴a⊥OA PAO ∴a⊥PA

二、三垂线定理 ,逆定理
1、三垂线定理 在平面内的一条直线,若它 和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也 和这条斜线垂直 P
a

2、三垂线定理的逆定理

A

? O

在平面内的一条直线,若和这个平面的一 条斜线垂直,则它也和这条斜线的射影垂直

二、三垂线定理, 逆定理 1、三垂:

P

PO ? ? , OA ? a, PA ? a
a 2、 ? ?时, ? OA PO
即: 直线⊥射影

A

a

? O

三垂线定理

a ? PA

三垂线的逆定理

三垂线定理

直线⊥斜线
三垂线的逆定理

练习1、已知:点 O 是 ?ABC 的垂心, PO ? 平面ABC,垂足为 O
求证:PA ? BC

P

A
B

O

C
D

P27 1.已知点O是△ABC的BC边上的高上
的任意一点,且OP⊥平面ABC, P 求证PA⊥BC 证明: ∵OP⊥平面ABC B
D

O AO是PA在平面ABC内的射影, A
又∵AO⊥BC,

C

∴PA ⊥BC。 (三垂线定理)

P27 2.如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为
AB的中点,求证AB⊥PC 证明: ∵AC=BC,D是BC的中点, ∴AB⊥CD, ∵PD⊥平面ABC, A ∴ AB⊥PC(三垂线定理)
D

P
C

B

∴CD是PC在平面ABC内的射影,

P27 3.如图:ABCD是矩形,PA⊥平面AC,
连结PB,PC,PD,指出图中有哪些三角形是 直角三角形,并说明理由 P 解:? PA ? 平面AC, ? PA ? AB,PA ? AD.
??PAB, ?PAD都是直角三形. 又? AB ? BC,

A
C

D

B ??PBC是直角三角形.
同理, ?PDC也是直角三角形.

? PB ? BC,

课本 例4、求证:一个角所在平面外一点
到角的两边距离相等,那么这点在平面内的 射影在这个角的平分线上 已知:∠BAC在平面?内,点P??,PE⊥AB, PF⊥AC,PO⊥? ,垂足分别是E、F、O, PE=PF. 求证:∠BAO=∠CAO P 分析: 要证∠BAO=∠CAO 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
?

E B
A F
C

O

例1、四面体ABCD中,若AB⊥CD, BC⊥AD
求证:AC ⊥BD
证明: 作AO⊥平面BCD于点O, A 连接BO,CO,DO.则BO,CO, DO分别为AB,AC.AD 在平面BCD上的射影。 B ∵AB⊥CD∴BO⊥CD O 同理CO⊥BD, 于是O是△BCD的垂心, ∴DO⊥BC,于是AD⊥BC.
C

D

作业
1、P25 6


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